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Metrischer Raum, Offene Mengen: Rückrichtung
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:53 So 19/11/2017
Author: Son

Aufgabe
Ist (Ω,d) ein metrischer Raum und A⊆Ω ≠ ∅. Dann (A, d|_(AxA)) metrischer Raum. Zz:
Menge B⊆A offen ⇔ es gibt offene Menge U mit B=U∩A.

Die Hinrichtung habe ich bewiesen.
Wüsste vllt jemand wie die Rückrichtung bewiesen wird?

        
Bezug
Metrischer Raum, Offene Mengen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:17 So 19/11/2017
Author: UniversellesObjekt

Sei [mm] $x\in A\cap [/mm] U$. Insbesondere [mm] $x\in [/mm] U$. Da $U$ offen ist, gilt...
Da $x$ beliebig war, ist [mm] $A\cap [/mm] U$ offen in $A$.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Metrischer Raum, Offene Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:59 Mo 20/11/2017
Author: Son

Da U offen, ist der Schnitt offener Mengen offen --> Also ist B offen , da B=A [mm] \cap [/mm] U
geht es so?

Bezug
                        
Bezug
Metrischer Raum, Offene Mengen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:02 Mo 20/11/2017
Author: Son

Ich merk grad dass der Beweis völlig falsch ist.

Bezug
                        
Bezug
Metrischer Raum, Offene Mengen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:15 Di 21/11/2017
Author: fred97


> Da U offen, ist der Schnitt offener Mengen offen --> Also
> ist B offen , da B=A [mm]\cap[/mm] U
>  geht es so?

Nein.

Ich zeig Dir mal wie man das macht.

Dazu einige Bezeichnungen:ich Bezeichne mit [mm] d_0 [/mm] die Metrik [mm] d_{| A \times A} [/mm] und für $w [mm] \in \Omega$ [/mm] und r>0 sei

   [mm] $K(w,r)=\{v \in \Omega; d(v,w)
(offene Kugel (in [mm] \Omega) [/mm] um $w$ mit Radius r).

Für a [mm] \in [/mm] A sei [mm] K_0(a,r)=\{b \in A: d_0(b,a)
(offene Kugel (in A ) um $a$ mit Radius r).

Mache Dir klar: [mm] K_0(a,r)= [/mm] K(a,r) [mm] \cap [/mm] A.

Nun sei B eine Teilmenge von A. Zu zeigen ist:

B ist offen in A  [mm] \gdw [/mm] es ex. ein U offen in [mm] \Omega [/mm] mit B=A [mm] \cap [/mm] U.


Beweis:

1. Sei B offen in A. Zu jedem b [mm] \in [/mm] B gibt es also ein [mm] r_b>0 [/mm] mit [mm] K_0(b,r_b) \subseteq [/mm] B. Setze

U:= [mm] \bigcup_{b \in B}K(b,r_b). [/mm]

Dann ist U offen in [mm] \Omega [/mm]  (warum ?) und B=A [mm] \cap [/mm] U (warum ?).

2. Sei U offen in [mm] \Omega [/mm] und B=A [mm] \cap [/mm] U.

Ist dann b [mm] \in [/mm] B, so ist b [mm] \in [/mm] U. Also ex. ein r>0 mit K(b,r) [mm] \subset [/mm] U.

Dann ist [mm] K_0(b,r) \subset [/mm] B (warum ?).

Damit ist gezeigt: B ist offen in A.

Wenn Du nun die drei "warums ?" richtig beantwortest, hast Du den gewünschten Beweis.




Bezug
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