matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenExtremwertproblemeMinimaler Umfang
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Extremwertprobleme" - Minimaler Umfang
Minimaler Umfang < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Minimaler Umfang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Fr 20.06.2014
Autor: Ice-Man

Aufgabe
Ein Fenster aus einem Rechteck und einem Halbkreis sollte eine Fläche von [mm] 2m^{2} [/mm] bei minimalen Umfang besitzen. Wie groß ist der Umfang?

Die waagerechte Seite des "Rechtecks" besitzt die Bezeichnung 2r und die längliche Seite die Bezeichnung y.


Hallo,

ich bin mir gerade nicht sicher ob mein Vorgehen stimmt. Aus diesem Grund wollte ich hier mal bitte nachfragen ob mein Rechenweg nachvollziehbar ist.
Über eure Hilfe wäre ich dankbar.

Hauptbedingung:

[mm] U=2r+2y+\pi*r [/mm]

Nebenbedingung:

[mm] A=2r*y+\pi*r^{2} [/mm]

[mm] y=\bruch{A}{2r}-\bruch{\pi*r}{4} [/mm]

[mm] U=2r+2(\bruch{A}{2r}-\bruch{\pi*r}{4})+\pi*r=\bruch{1}{2}\pi*r+2r+\bruch{A}{r} [/mm]

[mm] U'=\bruch{1}{2}\pi+2-\bruch{A}{r^{2}} [/mm]

U'=0

[mm] r_{1,2}=(+/-)0,74 [/mm]

[mm] U''=2*\bruch{A}{r^{3}} [/mm]

Und jetzt würde ja nur noch folgen y ausrechnen und dann den Umfang berechnen....
Wäre das soweit richtig?

Vielen Dank schon einmal

        
Bezug
Minimaler Umfang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Fr 20.06.2014
Autor: wauwau

Die Umformung für y ist nicht richtig

Bezug
        
Bezug
Minimaler Umfang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 Fr 20.06.2014
Autor: Fulla

Hallo Ice-Man!

> Ein Fenster aus einem Rechteck und einem Halbkreis sollte
> eine Fläche von [mm]2m^{2}[/mm] bei minimalen Umfang besitzen. Wie
> groß ist der Umfang?

>

> Die waagerechte Seite des "Rechtecks" besitzt die
> Bezeichnung 2r und die längliche Seite die Bezeichnung y.

>

> Hallo,

>

> ich bin mir gerade nicht sicher ob mein Vorgehen stimmt.
> Aus diesem Grund wollte ich hier mal bitte nachfragen ob
> mein Rechenweg nachvollziehbar ist.
> Über eure Hilfe wäre ich dankbar.

>

> Hauptbedingung:

>

> [mm]U=2r+2y+\pi*r[/mm]

>

> Nebenbedingung:

>

> [mm]A=2r*y+\pi*r^{2}[/mm]

Da addierst du einen ganzen Kreis. Es ist aber ein Halbkreis. Ist bestimmt nur ein Tippfehler, weil das hier

> [mm]y=\bruch{A}{2r}-\bruch{\pi*r}{4}[/mm]

stimmt.


> [mm]U=2r+2(\bruch{A}{2r}-\bruch{\pi*r}{4})+\pi*r=\bruch{1}{2}\pi*r+2r+\bruch{A}{r}[/mm]

>

> [mm]U'=\bruch{1}{2}\pi+2-\bruch{A}{r^{2}}[/mm]

>

> U'=0

>

> [mm]r_{1,2}=(+/-)0,74[/mm]

Alles richtig (sind beide Lösungen sinnvoll?)

> [mm]U''=2*\bruch{A}{r^{3}}[/mm]

Ja, aber das brauchst du eigentlich nicht...


EDIT: Das kannst du schon brauchen. Mit der zweiten Ableitung kannst du bestimmen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.


> Und jetzt würde ja nur noch folgen y ausrechnen und dann
> den Umfang berechnen....
> Wäre das soweit richtig?

Genau! Du kennst schon r, jetzt musst du noch y ausrechnen und damit den minimalen Umfang bestimmen.



Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Minimaler Umfang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:16 Sa 21.06.2014
Autor: Ice-Man

Danke für eure Hilfe. Trotzdem bin ich ein wenig verwirrt. Es heist unter anderem das die Umformung für y nicht richtig ist.Und dann heist es aberdoc das mein Vorgehen stimmt.
Was ist denn nun ok?

Bezug
                        
Bezug
Minimaler Umfang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Sa 21.06.2014
Autor: meili

Hallo,

Für die Fläche (Nebenbedingung) hast du angegeben:
$ [mm] A=2r\cdot{}y+\pi\cdot{}r^{2} [/mm] $

Da es ein Rechteck plus Halbkreis ist müsste es
$ [mm] A=2r\cdot{}y+\bruch{1}{2}*\pi\cdot{}r^{2} [/mm] $
heißen.

Bei der Umformung nach y taucht das fehlende [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] bei
dir wieder auf.

Also hattest du wahrscheinlich das [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] beim Abtippen nur
vergessen, aber damit gerechnet. So war dein $y = [mm] \ldots$ [/mm] richtig.

Sah man aber nur deine angegebenen Formel für A,
schien die Umformung nach y fehlerhaft.

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Minimaler Umfang: Begriff "Hauptbedingung"
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:53 Sa 21.06.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Ein Fenster aus einem Rechteck und einem Halbkreis sollte
> eine Fläche von [mm]2m^{2}[/mm] bei minimalen Umfang besitzen. Wie
> groß ist der Umfang?
>  
> Die waagerechte Seite des "Rechtecks" besitzt die
> Bezeichnung 2r und die längliche Seite die Bezeichnung y.
>  

> .......
> .......

>  
> Hauptbedingung:
>  
> [mm]U=2r+2y+\pi*r[/mm]
>  
> Nebenbedingung:
>  
> [mm]A=2r*y+\pi*r^{2}[/mm]

> .......
> .......





Hallo zusammen,

bei dieser Aufgabe möchte ich mal meine Ansicht zum
Begriff "Hauptbedingung" loswerden, der in derartigen
Extremwertaufgaben von so vielen Leuten in einer
meiner Meinung nach inhaltlich nicht wirklich passenden
Weise verwendet wird.

Der Irrtum kommt vermutlich daher, dass sich manche
Leute eine "Nebenbedingung" ohne eine "Hauptbedingung"
nicht vorstellen können, so wie es etwas "Nebensächliches"
nur neben einer "Hauptsache" geben kann.

Es scheint mir sprachlich und mathematisch gesehen
wesentlich besser, mit dem Begriff "Zielfunktion" umzu-
gehen, wie es beispielsweise in diesem Text gehandhabt
wird:

[]Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

Auf den Begriff "Hauptbedingung" kann man also schlicht
verzichten - und damit den Hauptinhalt einer Extremalaufgabe
dieser Art besser verständlich rüberbringen !

Wenn schon von einer "Hauptbedingung" die Rede sein
soll, dann würde ich diese etwa in der vorliegenden
Aufgabe mit dem Fenster so formulieren:

   HB:   Wir möchten, dass der Wert der Zielfunktion,
         also hier der Umfang des Fensters (bzw. der Figur
         aus dem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis)
         minimal wird.

Diese "Hauptbedingung" wäre also keine Gleichung, sondern
eine Extremalitäts-Forderung.

LG ,    Al-Chwarizmi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 1h 38m 2. Diophant
ZahlTheo/Vollständige Induktion
Status vor 5h 19m 2. Diophant
UStoc/Zweistufiges Zufallsexperiment
Status vor 7h 29m 7. Diophant
UAnaR1FolgReih/Rekursive Darstellung Folgen
Status vor 7h 41m 2. Diophant
UKomplx/Addition Exponentialform
Status vor 20h 29m 2. X3nion
UAnaR1FolgReih/Konvergenz
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]