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Minimum "tiefer" setzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Di 07.11.2017
Autor: Crashday

Hallo Leute,

ich habe mal eine Frage.

Ich habe die Folgende Funktion:

f(x,y) = [mm] (x^{2} [/mm] + y - [mm] 11)^{2} [/mm] + (x + [mm] y^{2} [/mm] - [mm] 7)^{2} [/mm] (Himmelblau-Funktion)

Die Funktion besitzt 4 lokale Minimas. Ist es möglich, ein Minima "tiefer" mit einem Faktor zu machen als die anderen Minimas. Sozusagen, dass ich 1 globales Minimum und 3 lokale Minima habe? Ich habe auch so eine Funktionsvorschrift gefunden:

f(x,y) = [mm] (x^{2} [/mm] + y - [mm] 11)^{2} [/mm] + (x + [mm] y^{2} [/mm] - [mm] 7)^{2} [/mm] + 0.2 * [mm] (x-3)^{2} [/mm] * [mm] (y-2)^{2} [/mm]

Ich dachte, dass man da vielleicht am Faktor etwas rumspielen könnte, aber wirklich tut sich nicht was.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand die Frage beantworten könnte.

Crashday


        
Bezug
Minimum "tiefer" setzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:10 Mi 08.11.2017
Autor: HJKweseleit

Wenn bei (x|y)=(a|b) ein Minimum vorliegt, multiplizierst du die gesamte Funktion mit [mm] ((x-a)^2+1)*((y-b)^2+1). [/mm]

a) Die Funktionswerte waren [mm] \ge [/mm] 0, die beiden neuen Faktoren sind >0, das Ganze bleibt positiv.
b) Der erste Faktor ist am kleinsten, wenn (x-a)=0 ist, der zweite, wenn (y-b)=0 ist, also bei (a|b). Dann wird das Produkt 1, ansonsten ist es immer größer.

Das bedeutet, dass der Funktionswert bei (a|b) erhalten bleibt, bei allen anderen Minima aber angehoben wird.

Fazit: Zwar wird das bevorzugte Minimum nicht heruntergezogen, aber die anderen werden angehoben. Man kann nun noch einen weiteren Faktor <1 hinzufügen, dann wird das bevorzugte Minimum kleiner, die anderen sind dann gößer, haben aber i.A. auch ihre Werte verändert.


Bezug
                
Bezug
Minimum "tiefer" setzen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:12 Mi 08.11.2017
Autor: Crashday

Hallo,

vielen Dank für die Rückantwort. "Erzwingen" konnte ich es, dass z. B. das Minimum (3|2) sich deutlicher als globales Minimum kennzeichnet als die anderen (es ist ja eigentlich genau die zweite Funktion, die ich im Anfangsthread erstellt habe). Problem ist aber hier, dass die Form der Himmelblau-Funktion deutlich verloren geht, sozusagen, diese ist nicht mehr wirklich erkennbar ist.

Gibt es denn nicht eine Möglichkeit, dass man sozusagen nur den Bereich um das Minimum verändert, der Rest aber sozusagen nur "angehoben" wird (sozusagen die Form soll weiterhin erkennbar sein).

Als Funktion hatte ich nun Folgendes:

f(x,y) = $ [mm] (x^{2} [/mm] $ + y - $ [mm] 11)^{2} [/mm] $ + (x + $ [mm] y^{2} [/mm] $ - $ [mm] 7)^{2} [/mm] $ + (0.4 * $ [mm] (x-3)^{2} [/mm] + 1 $ * $ [mm] (y-2)^{2} [/mm] + 1$)

Mit 0.4 wird es extremer, da geht aber die Form der Funktion verloren. Mit 0.2 erkennt man noch die Funktion, aber der Unterschied zwischen den gesamten lokalen Minima ist nicht wirklich deutlich.

Bezug
                        
Bezug
Minimum "tiefer" setzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:57 Mi 08.11.2017
Autor: chrisno

Für eine ganze Antwort fehlt mir gerade die Zeit.
Mein Vorschlag: addiere passend zu dem Minimum eine zweidimensionale invertierte Gaußglocke

Bezug
                        
Bezug
Minimum "tiefer" setzen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Fr 10.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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