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Forum "Differenzialrechnung" - Mittelwertsatz, Grenzwert
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Mittelwertsatz, Grenzwert: Aufgabe aus Heuser Analysis 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Mo 21.12.2015
Autor: sandroid

Aufgabe
Berechne die folgenden Grenzwerte mit Hilfe des Mittelwertsatzes:

a) [mm] $\limes_{n \to \infty} n(1-cos(\bruch{1}{n})$ [/mm]

b) [mm] $\limes_{n \to \infty}(\wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}}) [/mm]

Hallo Matheraum,

ich erkenne bei der genannten Aufgabe den Zusammenhang zum Mittelwertsatz nicht. Der Mittelwertsatz besagt ja, dass es auf einer differenzierbaren Funktion in einem kompakten Intervall einen Punkt gibt, an dem die Funktion die gleiche "Steigung" hat wie die durchschnittliche Steigung über das ganze Intervall. Wo ist nun die Verbindung?

Ich weiß leider nicht, wie ich die genannten Grenzwerte ausrechne. Ich hatte den folgenden Ansatz:

[mm] $\limes_{n \to \infty}n(1-cos(\bruch{1}{n}))=\limes_{n \to \infty}\bruch{1-cos(\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}}=\limes_{h \to 0}\bruch{1-cos(\bruch{1}{n})}{h}=\limes_{h \to 0}\bruch{-cos(0+h)+cos(0)}{h}=(-cos)'(0)=sin(0)=0$ [/mm]

Ist das richtig? Darf ich den Limes gegen [mm] $\infty$ [/mm] einfach wie in meiner Rechnung gegen den Limes gegen $0$ ersetzen? Gibt es da eine allgemeine Regel?

Doch zurück zum Thema: Selbst wenn meine Lösung richtig ist, den Mittelwertsatz habe ich da ja wohl recht wenig verwendet. Und zu b) habe ich auch noch keine Lösungsidee.

Ach ja, die Lösung sagt sowohl zu a), als auch b) das Ergebnis $0$. Aber eben leider ohne Rechenweg.

Grenzwerte zu berechnen fällt mir noch etwas schwer. Für allgemeine Tipps bin ich offen.

Vielen Dank schon einmal!


        
Bezug
Mittelwertsatz, Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Di 22.12.2015
Autor: leduart

Hallo
  1 ist so richtig, wenn n gegen [mm] \infty, [/mm] geht 1/n gegen 0 das ist der "Bweweis, nur musst du auch in cos direkt h einsetzen oder 1/n gegen 0 statt h.
in der 2 ten Aufgabe so ähnlich, [mm] n^{2/3} [/mm] ausklammern und als [mm] 1/n^{2/3} [/mm] in den Nenner.
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Mittelwertsatz, Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:48 Di 22.12.2015
Autor: fred97

Zu a) Dem Afgabensteller schwebt folgende Lösung vor ( ich allerdings würde es so machen wie Du):

Setze f(x):=cos(x). Ist dann n [mm] \in \IN, [/mm] so gibt es nach dem Mttelwertsatz ein [mm] s_n [/mm] zwischen 0 und 1/n mit


[mm] $\bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n-0} =f'(s_n)=sin(s_n)$ [/mm]

Wegen [mm] s_n \to [/mm] 0 für (n [mm] \to \infty) [/mm]  folgt  $ [mm] \limes_{n \to \infty} n(1-cos(\bruch{1}{n}))=0 [/mm] $

Zu b) Setze [mm] f(x)=\wurzel[3]{x} [/mm]

Für n [mm] \in \IN [/mm] ist dann, nach dem MWS

[mm] \wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}}=f(n^2+a^2)-f(n^2)=f'(t_n)(n^2+a^2-n^2)=f'(t_n)a^2 [/mm] mit einem [mm] t_n [/mm] zwischen [mm] n^2 [/mm] und [mm] n^2+a^2. [/mm]

Zeige nun Du: [mm] f'(t_n) \to [/mm] 0 für n [mm] \to [/mm] infty

FRED

Bezug
                
Bezug
Mittelwertsatz, Grenzwert: Lösungsvorschlag
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Di 22.12.2015
Autor: sandroid

Danke für eure Antworten! Das hat mir sehr geholfen.

Zu b) habe ich nun die folgende Lösung. Habe ich das richtig verstanden und ist der Weg korrekt?

[mm] $t_{n}$ [/mm] liegt zwischen [mm] $n^{2}$ [/mm] und [mm] $n^{2} [/mm] + [mm] a^{2}$, [/mm] also geht [mm] $t_{n} \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$. [/mm]

[mm] $\limes_{n \to \infty} \wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{t_{n} \to \infty} f'(t_{n})=\limes_{t_{n}\to \infty}\bruch{1}{3 \wurzel[3]{t_{n}^{2}}}=0$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Mittelwertsatz, Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Di 22.12.2015
Autor: fred97


> Danke für eure Antworten! Das hat mir sehr geholfen.
>  
> Zu b) habe ich nun die folgende Lösung. Habe ich das
> richtig verstanden und ist der Weg korrekt?
>  
> [mm]t_{n}[/mm] liegt zwischen [mm]n^{2}[/mm] und [mm]n^{2} + a^{2}[/mm], also geht
> [mm]t_{n} \to \infty[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm].
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}} = \limes_{t_{n} \to \infty} f'(t_{n})=\limes_{t_{n}\to \infty}\bruch{1}{3 \wurzel[3]{t_{n}^{2}}}=0[/mm]

Alles richtig.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Mittelwertsatz, Grenzwert: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Di 22.12.2015
Autor: sandroid

Vielen Dank,

das hat mir sehr geholfen, die nächste Teilaufgabe konnte ich dann auch gleich lösen :)

Ich bin immer wieder froh, dass man hier im Matheraum so schnell kompetente Hilfe bekommt.



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