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Modularität eines Graphen best: "Modularität", "Communities"
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:00 Mo 20.11.2017
Autor: MK234

Aufgabe
Gegeben sei ein ungerichteter Graph mit Knoten a,b,c,d,e und Kanten (a,b), (a,c),(b,c), (d-e) und (c-d).
In diesem Graphen wurden bereits zwei Communities entdeckt. Die erste Communitiy besteht aus den Knoten a,b,c und die zweite aus den Knoten d,e.
Bestimmen Sie die Modularität zu diesem Graphen.

Die Modularität wird nach folgender Formel bestimmt, mit welcher ich jedoch Probleme habe:

Q = [mm] \summe_{i} [/mm] (e_ii - [mm] a_i^2) [/mm] = Tr e - ||e²||,

Tr e soll die Spur der Matrix sein.
||e|| soll dabei die Summe aller Elemente der Matrix e sein.
Das Netzwerk ist nun in 2 Communities unterteilt. Man definiert eine symmetrische 2x2 Matrix "e" , welche aus Elementen e_ij besteht, d.h. jedes e_ij besteht aus dem Bruchteil der Kanten welche jeweils einen Knoten in Community i und einen Knoten in Community j haben.
[mm] a_i [/mm] = [mm] \summe_{j} [/mm] e_ij, d.h. sie besteht aus der Summe der Zeile oder Spalte der Matrix mit den Elementen welchen den Bruchteil der Kanten bilden welche mit einem Knoten mit Community i verbunden sind.

Die Matrix zu o.g. Formel müßte wie folgt aussehen:

[mm] \pmat{3/5 & 0 \\1/5 & 1/5}. [/mm]

Wenn ich nun die Formel Q anwende erhalte ich:

Q = (3/5 - (1/5)²) + (1/5 - (1/5)²) = 0.72

Wenn ich jedoch Tr e - ||e²|| anwende erhalte ich:
(3/5 + 1/5) - || (3/5)² + (1/5)² + (1/5)²|| = 4/5 - 0,44 = 0.36.

Was verstehe ich falsch, kann mir jemand weiterhelfen.
Wäre sehr dankbar


        
Bezug
Modularität eines Graphen best: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mi 22.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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