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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Möbiustransformation
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Möbiustransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Mi 06.08.2014
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Die Möbiustranfsormation [mm] M_{A}(z)= \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] mit  [mm] A= \pmat{ a & b \\ c & d } \in Gl(2, \IC) [/mm] und [mm] M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) [/mm] ist biholomorph.

Hallo!
Diese Behauptung steht weniger genau formuliert in meinem Funktionentheorieskript.
Kann man die Behauptung so sagen? Oder hab ich etwas falsch formuliert?

Dann habe ich versucht das zu beweisen:

Zuerst muss man noch zwei kleinere Sachen beweisen: [mm] M_{E_{2}}=id [/mm] und [mm] M_{A} \circ M_{B} = M_{AB} [/mm]

Zum ersten:
[mm] M_{E_{2}}(z)=\bruch{1z+0}{0z+1}=z=id(z) [/mm]

Zum zweiten:
[mm] M_{A} \circ M_{B} = M_{AB} [/mm] . Durch Einsetzen von [mm] A= \pmat{ a & b \\ c & d }, B= \pmat{ a' & b' \\ c' & d' } [/mm] folgt das sofort

Man kann also mit A [mm] \in [/mm] Gl(2, [mm] \IC) [/mm] (d.h. A besitzt Inverses) folgern:

[mm] id=M_{E_{2}}=M_{AA^{-1}} = M_{A} \circ M_{A^{-1}} [/mm]

Daher ist [mm] M_{A^{-1}} [/mm] Umkehrabbildung zu [mm] M_{A} [/mm]

Jetzt bleibt zu zeigen, dass [mm] M_{A}, M_{A^{-1}} [/mm] jeweils holomorph sind.
Das hätte ich versucht durch zeigen, dass die partiellen Ableitungen exisitieren und die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen gelten.
Aber das ist ja ein riesiger Rechenaufwand.
Kann man das auch leichter zeigen?

Es wäre super, wenn hier mal jemand drüber schauen würde!

Grüßle, Lily

        
Bezug
Möbiustransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Mi 06.08.2014
Autor: Leopold_Gast

Ich verstehe die gesamte Aussage nicht. Bitte formuliere so, daß man weiß, was Voraussetzung und Behauptung des Satzes sind. Gehört zum Beispiel das [mm]B_1(0) \to B_1(0)[/mm] zur Voraussetzung? Wissen wir also, daß die Möbiustransformation den Einheitskreis auf sich abbildet?

Aber auch damit geht es nicht. So ist die Möbiustransformation [mm]z \mapsto \frac{1}{2} z[/mm] von der Form [mm]B_1(0) \to B_1(0)[/mm], aber natürlich nicht surjektiv.

Die gesamte Aufgabenstellung ist irgendwie Murks.
Überlege noch einmal neu, was du überhaupt willst, und formuliere präzise.

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Möbiustransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Mi 06.08.2014
Autor: Mathe-Lily

Hm... ok, neuer Versuch:

Im Skript steht folgendes als Behauptung:
[mm] M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) [/mm] ist biholomorph, denn die Umkehrabbildung ist [mm] M_{A^{-1}} [/mm] und [mm] A^{-1}= \pmat{ \overline{a} & - \overline{b} \\ - \overline{c} & \overline{d} } \in U(1,1) [/mm]

Dabei heißt [mm] A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in U(1,1) : |a|^2-|c|^2=|b|^2-|d|^2=1, a \overline{b} -c \overline{d} =0 [/mm]

Diese Behauptung möchte ich zeigen.
Das heißt, wir haben gegeben, dass [mm] M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) , A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in Gl(2,\IC) , M_{A}(z)= \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] aus der Bemerkung davor.

Ist das so verständlicher?

Grüßle, Lily

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Möbiustransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Mi 06.08.2014
Autor: fred97


> Hm... ok, neuer Versuch:
>  
> Im Skript steht folgendes als Behauptung:
>  [mm]M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0)[/mm] ist biholomorph, denn die
> Umkehrabbildung ist [mm]M_{A^{-1}}[/mm] und [mm]A^{-1}= \pmat{ \overline{a} & - \overline{b} \\ - \overline{c} & \overline{d} } \in U(1,1)[/mm]

??? Das wird i.a. nicht die Inverse von A sein !

Sag doch bitte, welche Voraussetzungen A erfüllt !

FRED

>  
> Dabei heißt [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in U(1,1) : |a|^2-|c|^2=|b|^2-|d|^2=1, a \overline{b} -c \overline{d} =0[/mm]
>  
> Diese Behauptung möchte ich zeigen.
>  Das heißt, wir haben gegeben, dass [mm]M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) , A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in Gl(2,\IC) , M_{A}(z)= \bruch{az+b}{cz+d}[/mm]
> aus der Bemerkung davor.
>  
> Ist das so verständlicher?
>  
> Grüßle, Lily


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Möbiustransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Mi 06.08.2014
Autor: Mathe-Lily


> > Im Skript steht folgendes als Behauptung:
>  >  [mm]M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0)[/mm] ist biholomorph, denn die
> > Umkehrabbildung ist [mm]M_{A^{-1}}[/mm] und [mm]A^{-1}= \pmat{ \overline{a} & - \overline{b} \\ - \overline{c} & \overline{d} } \in U(1,1)[/mm]
>  
> ??? Das wird i.a. nicht die Inverse von A sein !
>  
> Sag doch bitte, welche Voraussetzungen A erfüllt !
>  
> FRED
>  >  
> > Dabei heißt [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in U(1,1) : |a|^2-|c|^2=|b|^2-|d|^2=1, a \overline{b} -c \overline{d} =0[/mm]
>  

Sagt das nicht zusammen mit dem, was ich vorher schon geschrieben hatte, dass A [mm] \in Gl(2,\IC), [/mm] welche Voraussetzungen es erfüllt?
Tut mir Leid, ich verstehe nicht, was genau hier fehlt! :-/

Grüßle, Lily

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Möbiustransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:25 Do 07.08.2014
Autor: fred97

Irgendwas stimmt mit der Aufgabe nicht.....


Es gilt folgender Satz:

Sei [mm] $f:B_1(0) \to B_1(0)$ [/mm] eine Funktion. Dann ist f biholomorph  

[mm] \gdw [/mm]  

es gibt a,c [mm] \in \IC [/mm] mit |c|=1, |a|<1 und $f(z)=c* [mm] \br{z-a}{1- \overline{a}z}$ [/mm]



FRED

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Möbiustransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Mi 06.08.2014
Autor: hippias


> Jetzt bleibt zu zeigen, dass [mm]M_{A}, M_{A^{-1}}[/mm] jeweils
> holomorph sind.
>  Das hätte ich versucht durch zeigen, dass die partiellen
> Ableitungen exisitieren und die
> Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen gelten.
>  Aber das ist ja ein riesiger Rechenaufwand.
>  Kann man das auch leichter zeigen?

Wie waere es so: [mm] $M_{A}(z)= \bruch{az+b}{cz+d}$ [/mm] ist ein Quotient offensichtlich differenzierbarer Funktionen. Aus der Quotientenregel folgt, dass [mm] $M_{A}(z)$ [/mm] ebenfalls differenzierbar ist.

>  
> Es wäre super, wenn hier mal jemand drüber schauen
> würde!
>  
> Grüßle, Lily


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Möbiustransformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Mi 06.08.2014
Autor: Mathe-Lily

Aaaah, ja super, das ist natürlich einfacher ^^
Danke :-)

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Möbiustransformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Mi 06.08.2014
Autor: fred97


> Aaaah, ja super, das ist natürlich einfacher ^^
> Danke :-)

Freu Dich nicht zu früh....

Erst wenn gezeigt ist, dass [mm] M_A:B_1(0) \to B_1(0) [/mm] bijektiv ist, kann man so argumentieren, wie hippias das vorgeschlagen hat.

FRED


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Möbiustransformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:48 Do 07.08.2014
Autor: hippias

Ich hatte Mathe Lilys Frage so verstanden, dass es ihr um die Differenzierbarkeit der Funktion geht, und sie Cauchy-Riemannsche Diff.gl. usw vermeiden moechte. Dieses Problem sollte doch allein mit der Quotientenregel erledigt sein (wenn auch sonst nichts)?

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Möbiustransformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:13 Do 07.08.2014
Autor: fred97


> Ich hatte Mathe Lilys Frage so verstanden, dass es ihr um
> die Differenzierbarkeit der Funktion geht, und sie
> Cauchy-Riemannsche Diff.gl. usw vermeiden moechte. Dieses
> Problem sollte doch allein mit der Quotientenregel erledigt
> sein (wenn auch sonst nichts)?

Ja, die Holomorphie von [mm] M_A [/mm] steht in meinen Augen nicht zu Debatte (die kann man mit der Quotientenregel erledigen).

Es soll gezeigt werden , dass [mm] M_A [/mm] ein Automorphismus der offenen Einheitskreisscheibe ist.

FRED


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Möbiustransformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Mo 18.08.2014
Autor: Mathe-Lily

Also ich dachte, dass [mm] M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) [/mm] gegeben sei und man dann eben die Holomorphie von [mm] M_{A}[/mm] und ihrer Umkehrabbildung zeigen sollte...

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