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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Monotonie durch Induktion nw.
Monotonie durch Induktion nw. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Monotonie durch Induktion nw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Do 07.01.2016
Autor: Mino1337

Aufgabe
[mm] a_{n}=\bruch{3n-1}{n^{2}} [/mm]

Monotonie nachweisen ...

Hallo, wie ein Induktionsbeweis geht weiss ich für mehrere Fälle allerdings fehlt hier etwas weswegen ich es nicht verstehe nämlich die Induktionsvorraussetzung welche bei allen Beispielen im Netz durch die Induktionsannahme ersetzt wurde welche ich so nicht kenne und meiner Meinung nach auch keinen Beweis inne hat.

Also:

Zeigen muss ich ja das [mm] a_{n}\ge a_{n+1} [/mm] oder [mm] a_{n}\le a_{n+1} [/mm] ist um Monotonie zu haben.

[mm] a_{n}=\bruch{3n-1}{n^{2}} [/mm]

I.A

[mm] a_{1}=\bruch{3*1-1}{1^{2}}=\bruch{2}{1}=2 [/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{3*2-1}{2^{2}}=\bruch{5}{4} [/mm]
[mm] \Rightarrow a_{1} [/mm] > [mm] a_{2} [/mm]

Ich habe hier also schonmal herrausgefunden das [mm] a_{1} [/mm] > [mm] a_{2} [/mm] weiss aber nicht was ich dann vorraussetzen sollte, ich kann ja nicht vorraussetzen das [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] weil das ja die Behauptung wäre die aus der Vorraussetzung folgen sollte. Ohne Behauptung kein Schluss da der Schluss unter der Induktionsvorraussetzung gezogen wird und diese aus der Aufgabenstellung folgt.

Aus diesen Überlegungen herraus könnte ich so weitermachen:

I.V
[mm] a_{n}=\bruch{3n-1}{n^{2}} [/mm]

I.B
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm]

I.S

Und beim Schluss hänge ich mich dann auf ... Ich könnte zeigen das [mm] a_{n+1}-a_{n}>0 [/mm] ist und somit [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] aber dann folgt die Behauptung nicht aus der Vorraussetzung und somit ist das ganze kein Induktionsbeweis mehr ...

Ich raffs nicht... ist die Induktionsannahme zulässig ? Wenn ja wieso ?





        
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Monotonie durch Induktion nw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Do 07.01.2016
Autor: statler

Guten Abend!

Erstmal ein Nebenthema, die Rechtschreibung: heraus und voraus, auch wenn es anders klingt. Und getrennt übrigens her-aus und vor-aus, ich bin da furchtbar altmodisch.

Und nun zur Sache: A(n) sei eine Aussage über alle natürlichen Zahlen n. Wenn wir zeigen wollen, daß sie (für alle n) wahr ist, können wir das so machen, daß wir zeigen, daß sie für 1 wahr ist und daß aus der Richtigkeit für ein beliebiges n die Richtigkeit für n+1 folgt.
Die Aussage A(n) ist hier (nach meiner Vermutung):
[mm]a_{n+1} \le a_{n}[/mm]
(Daß das nicht nur eine 'Formel', sondern eine Aussage ist, erkennst du daran, daß in der Textversion ein Prädikat vorkommt.)

A(1) hast du abgearbeitet.
Jetzt mußt du zeigen: Wenn A(n) wahr ist, dann ist auch A(n+1) wahr.
Wenn die Aussage stimmt, dann sollte dir das mittels geeigneter Termumformungen gelingen, sonst müßtest du dich wieder melden.

Grüße aus HH
Dieter


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Monotonie durch Induktion nw.: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:25 Do 07.01.2016
Autor: Mino1337

Du schreibst es selbst "Wenn A(n) wahr ist" ... Ich habe nirgends zu stehen das A(n) wahr ist, ich habe nur Bewiesen das A(1) wahr ist und A(2) also so gesehen das A(n) und A(n+1) wahr sind.
Was aber so nicht stimmen kann es fehlt die Vorraussetzung da ich ja nicht schreiben kann das mein Schluss zutrifft weil meine Annahme wahr ist. Das habe ich damit ja doch garnicht Bewiesen ?

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Monotonie durch Induktion nw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Do 07.01.2016
Autor: fred97


> Du schreibst es selbst "Wenn A(n) wahr ist" ... Ich habe
> nirgends zu stehen das A(n) wahr ist, ich habe nur Bewiesen
> das A(1) wahr ist und A(2) also so gesehen das A(n) und
> A(n+1) wahr sind.
> Was aber so nicht stimmen kann es fehlt die Vorraussetzung
> da ich ja nicht schreiben kann das mein Schluss zutrifft
> weil meine Annahme wahr ist. Das habe ich damit ja doch
> garnicht Bewiesen ?

Leider verstehe ich aus sprachlichen  Gründen obige Ausfuehrung nicht.

Sachlichst FRED




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Monotonie durch Induktion nw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Do 07.01.2016
Autor: Mino1337

Ich habe mir gerade ein paar weiterführende Gedanken zu meiner obigen Frage gemacht und kann sie in einer kürzeren zusammenfassen.
Meine Grundfrage ist also folgende:

Ist es so das man mit der vollständigen Induktion nicht den Wahrheitswert der Grundaussage bestimmt sondern NUR Aussagt das sofern die Grundaussage stimmt auch die durch Induktion gezeigten Aussagen stimmen?

Also wenn n=n wahr ist ist auch n=(n+1) wahr ?

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Monotonie durch Induktion nw.: einfach formuliert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Do 07.01.2016
Autor: pauker99817

Ich versuche es mal einfach, wenn auch nicht ganz mathematisch exakt, zu formulieren:

Mit dem Induktionsanfang hat man die ersten 2 Elemente einer "Kette" untersucht und für diese 2 gilt, dass der Nachfolger  [mm] a_{2} [/mm] kleiner ist als  [mm] a_{1}. [/mm] Für dieses konkrete ("erste") Paar der Folge ist also monoton fallend gesichert. Damit ist die Voraussetzung gegeben, dass es konkrete Elemente der Folge gibt, bei denen der Nachfolger kleiner ist. Anschaulich nennt man jetzt [mm] a_{2} [/mm] in [mm] a_{k} [/mm] um und zeigt, das auch [mm] a_{k+1} [/mm] kleiner ist als [mm] a_{k}. [/mm]  
Da dies allgemein mit der Formel geschieht, ist das in Gedanken auf alle folgenden "Paare" übertragbar also auch auf das (3. und 4.), das (4. und 5.), das (5. und 6.) ...

Ich hoffe, es hilft etwas und ist nicht zu "umgangssprachlich" beschrieben!  ;-)

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Monotonie durch Induktion nw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Fr 08.01.2016
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

Ich kann mich Fred nur anschließen : deine Texte sind so formuliert, dass man wirklich raten muss um herauszufinden was gemeint ist.

Zur vollständigen Induktion :

Die vollständige Induktion beweist eine Aussage, der Notation von Statler folgend, A(n) für alle natürlichen Zahlen.

Die Methode teilt sich in folgende wesentliche Schritte : (Gegeben sei also eine Aussage A(n) über alle natürlichen Zahlen $n [mm] \in \mathbb{N}$) [/mm]

1) Induktionsanfang - man zeigt die Aussage für eine kleinste Zahl (n=0, n=1, .. )

2)Formulieren der Induktionsvoraussetzung - es gelte also A(n)

wenn du so möchtest noch als EInschub 3) Formulieren einer Induktionsbehauptung - zu zeigen ist A(n+1)

4)Beweisen des Induktionsschritts A(n)-->A(n+1)


Wir machen ein kleines Beispiel :

Aussage [mm] $A(n):3^{n}-3$ [/mm] ist durch 6 teilbar.

Beweis :

I.A. für n=1 gilt $3-3=0$ und 0 ist durch 6 teilbar.
I.S. Für ein $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] gelte die Induktionsvoraussetzung [mm] A(n):3^{n}-3 [/mm] ist durch 6 teilbar

Zu zeigen ist also nun, dass auch A(n+1) also [mm] 3^{n+1}-3 [/mm] durch 6 teilbar ist.

Ein Einschub zur Übersichtlichkeit : [mm] A(n):3^{n}-3 [/mm] ist durch 6 teilbar ist gleichbedeutend mit [mm] $3^{n}-3 [/mm] = 6x$ mit x [mm] \in \mathbb{N} [/mm]

so also dann legen wir mal los

[mm] $3^{n+1}-3 [/mm] = [mm] 3\cdot 3^{n} [/mm] -3 = 3 [mm] \cdot (3^{n}-3+3)-3 [/mm] = [mm] 3(3^n [/mm] -3) + [mm] 3\cdot [/mm] 3 -3 = [mm] 3(3^n [/mm] -3) +6$

da nun [mm] $3^n [/mm] - 3 = 6x$ erhalten wir

$3 [mm] \cdot [/mm] 6x +6 = 6(3x+1)$

Und offensichtlich ist dies durch 6 teilbar.


Lg




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Monotonie durch Induktion nw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Do 07.01.2016
Autor: abakus

Hallo,
warum willst du unbedingt einen Induktionsbeweise?
Bilde die Differenz [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] und untersuche, ob sie positiv oder negativ ist- damit hast du deine Monotonie.
[mm] $\frac{3(n+1)-1}{(n+1)^2}-\frac{3n-1}{n^2}=\frac{3n+2}{(n+1)^2}-\frac{3n-1}{n^2}$ [/mm] musst du nur noch gleichnamig machen und dann die Differenz im Zähler weitestgehend vereinfachen.

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Monotonie durch Induktion nw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:02 Do 07.01.2016
Autor: Mino1337

Naja ich will das nicht sondern es wird von mir gefordert. Ich muss es mit vollständiger Induktion machen. Das macht natürlich keiner weswegen ich im Netz auch nichts dazu finde =(

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