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Forum "Uni-Stochastik" - Münzwurf
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Münzwurf: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Sa 31.01.2015
Autor: PeterPaul

Aufgabe
Eine faire Münze wird dreimal geworfen.

[mm] $Y:=\begin{cases} 1, & falls im 1. und 3.Wurf die gleiche Seite oben liegt \\ 0, & sonst \end{cases}$ [/mm]

[mm] $X:=\begin{cases} 1, & falls im 2. und 3.Wurf Zahl oben liegt \\ 0, & sonst \end{cases}$ [/mm]

Berechnen sie Verteilung ,Erwartungswert und Varianz von $X,Y$ ,sowie $Cov(X,Y)$. Bestimmen sie außerdem $Var(5x-2) $und$ [mm] Var(X^{50}+Y-100)$ [/mm]

$Y$ und$ X $sind Bernoulliverteilung mit  gleicherwahrscheinlich

$Y [mm] \sim B(1,\frac{1}{8})$ [/mm] wegen $ [mm] \frac{1}{2}*(1- \frac{1}{2})* \frac{1}{2} [/mm] =  [mm] \frac{1}{8}$ [/mm]

$X [mm] \sim B(1,\frac{1}{8}) [/mm] $wegen $(1- [mm] \frac{1}{2})*\frac{1}{2}* \frac{1}{2} [/mm] =  [mm] \frac{1}{8}$ [/mm]

da bernoulli ist$ E(Y) =E(X)= [mm] \frac{1}{8} [/mm] , Var(X)=Var(Y)=  [mm] \frac{7}{64}$ [/mm]

ist das bis hier hin alles richtig?


ich weis jetzt nicht was ich machen soll mit $Cov(X,Y)$

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Sa 31.01.2015
Autor: luis52


>
>
> [mm]Y \sim B(1,\frac{1}{8})[/mm] wegen [mm]\frac{1}{2}*(1- \frac{1}{2})* \frac{1}{2} = \frac{1}{8}[/mm]


[notok]

[mm]Y \sim B(1,\frac{\red{2}}{8})[/mm]

>  
> [mm]X \sim B(1,\frac{1}{8}) [/mm]

[ok]

>  
>
> ich weis jetzt nicht was ich machen soll mit [mm]Cov(X,Y)[/mm]

Bestimme die gemeinsame Verteilung von $(X,Y)$.


Bezug
                
Bezug
Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Sa 31.01.2015
Autor: PeterPaul

Hi danke für deine antwort


also

$ Y [mm] \sim B(1,\frac{2}{8}) \Rightarrow E[Y]=\frac{2}{8} [/mm] $und $Var(Y) [mm] =\frac{12}{64} [/mm] $

$ X [mm] \sim B(1,\frac{1}{8}) \Rightarrow E[X]=\frac{1}{8}$ [/mm] und $Var(Y) [mm] =\frac{7}{64} [/mm] $


jetzt wird gefaltet

$P(X+Y=z)= [mm] \sum_{X\in\{0,1\}} [/mm] P(X=x,Y=z-x) $

ich weis jetzt nicht ,ob die unabhängig sind weil wenn ja könnte ich sie auseinander ziehen

Bezug
                        
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Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Sa 31.01.2015
Autor: luis52

Wie gesagt, bestimme die gemeinsame Verteilung von $ (X,Y) $.

Bezug
                                
Bezug
Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Sa 31.01.2015
Autor: PeterPaul

die geimsame verteilung von $(X,Y)$ ist


$Z=X+Y$

$F(Z)= [mm] \begin{cases} \frac{1}{2}*z, & \mbox{für }X=0 \\ \frac{1}{2}*z-1, & \mbox{für } X = 1 \end{cases}$ [/mm]

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Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:11 Sa 31.01.2015
Autor: luis52

Ich schlage vor, dass du erst einmal in deine Unterlagen schaust. So wird das hier nichts.

Bezug
                                                
Bezug
Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:56 Sa 31.01.2015
Autor: PeterPaul

ja war ein kleiner trottel ,hab mal ins skirpt geguckt

[mm] $\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline Y/X& 1&0 & \sum\\ \hline 1 & 2/64&14/64&16/64 \\ \hline 0 & 6/64&42/64&48/64 \\ \hline \sum&8/64&56/64 &1 \end{tabular}$ [/mm]

ich weis das  $Cov(X,Y)= E[X*Y]-E[X]*E[Y] ,$ aber ich bekomme $ E[X*Y] $net hin .. :/

Bezug
                                                        
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Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 So 01.02.2015
Autor: luis52


> ja war ein kleiner trottel ,hab mal ins skirpt geguckt

Prima.

  
  
Du hast die Tabelle anscheinend unter der Annahme erstellt,
dass $X_$ und $Y_$ unabhaengig sind und errechnest $P(X=1,Y=1)=1/32_$.
Das stimmt aber nicht, $P(X=1,Y=1)=1/8_$.


>  
> ich weis das  [mm]Cov(X,Y)= E[X*Y]-E[X]*E[Y] ,[/mm] aber ich bekomme
> [mm]E[X*Y] [/mm]net hin .. :/

$X*Y_$ ist Bernoulli-verteilt ...



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Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 So 01.02.2015
Autor: PeterPaul

Luis52, ich komme einfach nicht drauf wie man die gemeinsame Verteilung von zwei abhängig Zufallsvariblen berechnet. Ich hab das noch nie gemacht und ich verstehe es nicht ,pardon..:/

Bezug
                                                                        
Bezug
Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 So 01.02.2015
Autor: luis52


> Ich hab das noch nie gemacht und ich verstehe es
> nicht ,pardon..:/

Es gibt acht moegliche Ausgaenge, wenn eine Muenze dreimal geworfen wird. Bezeichnet 0 Wappen und 1 Zahl, so geben die ersten drei Spalten die Ausgange an. Spalte 4 bzw. 5 sind die zugehoerigen Realisationen von $Y_$ bzw. $X_$:

1:      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
2: [1,]    0    0    0    1    0
3: [2,]    1    0    0    0    0
4: [3,]    0    1    0    1    0
5: [4,]    1    1    0    0    0
6: [5,]    0    0    1    0    0
7: [6,]    1    0    1    1    0
8: [7,]    0    1    1    0    1
9: [8,]    1    1    1    1    1



So erkennt man: $P(X=0,Y=0)=3/8_$, $P(X=1,Y=0)=P(X=0,Y=1)=2/8$ und $P(X=1,Y=1)=1/8_$.

Ich sehe gerade, dass man mit der Bestimmung der gemeinsamen etwas mit Kanonen auf Spatzen schiesst. Habe es hier aber noch einmal gezeigt, weil das anscheinend Neuland fuer dich ist.

Wie gesagt, es genuegt zu erkennen, dass $X*Y$ Bernoull-verteilt ist mit $P(X*Y=1)=1/8$. Also ist [mm] $\operatorname{E}[X*Y]=1/8$ [/mm]

Bezug
                                                                                
Bezug
Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 So 01.02.2015
Autor: PeterPaul

also ist [mm] $Cov(X,Y)=\frac{1}{32} [/mm] $?

die Zusatzaufgabe wollte ich nicht bearbeiten die ist laut prof. -Klausur irrelevant-

Vielen dank dir Luis52 für deine Hilfe und deine Geduld!!:)

Bezug
                                                                                        
Bezug
Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 So 01.02.2015
Autor: luis52


> also ist [mm]Cov(X,Y)=\frac{1}{32} [/mm]?

*Ich* rechne so: [mm] $\operatorname{E}[X*Y]-\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[Y]=\frac{1}{8}-\frac{1}{8}*\frac{2}{8}=\frac{3}{32}$ [/mm]

>
> die Zusatzaufgabe wollte ich nicht bearbeiten die ist laut
> prof. -Klausur irrelevant-
>  
> Vielen dank dir Luis52 für deine Hilfe und deine
> Geduld!!:)

Gerne.


Bezug
                
Bezug
Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 Mo 02.02.2015
Autor: luis52

Moin, fuer alle, die diesen Thread verfolgen: In einer PN hat ein Mitglied darauf hingewiesen, dass auch mein Beitrag fehlerhaft ist. Korrekt muss es heissen: $P(Y=1)=1/2$ und $P(X=1)=1/4$. Ich bitte, diese Korrektur in den  folgenden Diskussionen zu beruecksichtigen.

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