Multilineare Abbilung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 16.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Es sei µ : [mm] M_{n}(\IK) \to \IK [/mm] eine multiplikative Abbildung, d.h. für beliebige A,B [mm] \in M_{n}(\IK)
[/mm]
gilt µ(AB) = µ(A) µ(B). Ferner sei µ weder identisch = 0 noch identisch = 1. Zeigen Sie:
µ(A) = 0 [mm] \gdw [/mm] A ist nicht invertierbar. |
Huhu!
Als Ansatz habe ich:
[mm] \Rightarrow [/mm] Wäre A invertierbar, dann gilt:
[mm] µ(A*A^{-1})=µ(A)*µ(a^{-1})=0*µ(A^{-1})=0
[/mm]
[mm] µ(A*A^{-1})= [/mm] µ(E)=??
Aber hilft mir dieser Ansatz überhaupt weiter? Was bedeutet denn, daß weder identisch = 0 noch identisch=1??
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 16.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
hallo iris. ich gehe mal davon aus das [mm] \mu [/mm] eine multilineare und alternierende abbildung sein soll... (*)
für diese richtung [mm] \Rightarrow [/mm] sähe es so aus:
wegen (*) gilt dann nämlich [mm] \mu [/mm] (A)=0 [mm] \gdw [/mm] Rang (A) < n (für A als nxn-Matrix)
[mm] \Rightarrow [/mm] dimension vom Bild von A < n
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist als darstellende Matrix nicht surjektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] A nicht invertierbar, da nicht bijektiv
zur rückrichtung:
A nicht invertierbar
[mm] \Rightarrow [/mm] Rang (A) < n
[mm] \Rightarrow [/mm] A enthält eine nullzeile/spalte oder mindestens eine linear abhängige spalte
[mm] \Rightarrow \mu [/mm] (A) =0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 16.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Erstmal Danke für die Antwort.
Etwas stutzig macht es mich aber schon, daß die Bedingungen der multiplikativen Abbildung (Also $ [mm] \mu [/mm] $(A*B)=$ [mm] \mu [/mm] $(A)+$ [mm] \mu [/mm] $(B) gar nicht gebraucht wird?!
Gruß
Iris
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Hallo Iris,
siehe bitte meine andere Antwort im Strang.
Gruss,
Mathias
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Moin zusammen,
offenbar braucht man ''alternierend'' nicht, denn es ist für alle Matrizen B, insbesondere solche mit [mm] \mu(B)\neq [/mm] 0,
[mm] E\cdot [/mm] B=B
[mm] \mu(B)=\mu(E\cdot B)=\mu(E)\cdot \mu [/mm] (B) , also [mm] \mu(E)=1.
[/mm]
Wenn Du das noch verwendest, hast Du es schon geschafft.
Die Eigenschaft des Alternierend-Seins braucht man, um analoge Eigenschaften für multilineare Abb. zu bekommen, aber
diese Abb. hier ist ja nicht notw. multilinear.
Aus multilinear und unserer Invertierbarkeitseigenschaft hingegen bekommt man auch ''alternierend'', das nur mal so am Rande....
Gruss,
Mathias
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