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Multiple Choice: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:36 Di 18.07.2017
Autor: James90

Hi, ich gehe gerade Multiple Choice Aufgaben durch und würde mich über eine Verbesserung freuen

1) Jedes lineare Gleichungssystem mit n Gleichungen in n Unbestimmten besitzt genau eine Lösung.

-> Falsch, es muss nichtmal eine Lösung geben

2) Seien [mm] $A,B\in K^{n,n}$. [/mm]

a) det(AB)=det(A)det(B)

-> Richtig, Determinantenmultiplikationssatz

b) det(A+B)=det(A)+det(B)

-> Offensichtlich falsch

3) [mm] K^{n\times n} [/mm] ist Gruppe unter Matrizenmultiplikation.

-> Falsch, da für das [mm] $0\in K^{n\times n}$ [/mm] kein inverses Element existiert

4) Seien [mm] $f:V\to [/mm] W$, [mm] $g:W\to [/mm] V$ Abbildungen und V,W endlichdimmensionale Vektorräume.

a) U Untervektorraum von V, so ist f(U) ein Untervektorraum von W.

-> Ich bitte um einen Tipp!

b) Kern(f)=0 -> dim(V)=dim(W)

-> Ich glaube die meinten [mm] Kern(f)=\{0\}. [/mm] Trotzdem falsch. f wäre injektiv

c) f surjektiv -> dim (V)=dim(W)

-> Falsch, f müsste bijektiv sein

d) f ein Endomorphismus in V, so ist [mm] Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\} [/mm]

Hier brauche ich einen Tipp bitte!

e) [mm] f\circ g=Id_V [/mm] -> [mm] g=f^{-1} [/mm]

-> nur, wenn f bijektiv ist?

Vielen Dank!

        
Bezug
Multiple Choice: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:20 Do 20.07.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Multiple Choice: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Fr 29.09.2017
Autor: James90

Hallo!

Hier nochmal meine Fragen. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir hier jemand helfen könnte!

1) Jedes lineare Gleichungssystem mit n Gleichungen in n Unbestimmten besitzt genau eine Lösung.

-> Falsch, es muss nichtmal eine Lösung geben

2) Seien $ [mm] A,B\in K^{n,n} [/mm] $.

a) det(AB)=det(A)det(B)

-> Richtig, Determinantenmultiplikationssatz

b) det(A+B)=det(A)+det(B)

-> Offensichtlich falsch

3) $ [mm] K^{n\times n} [/mm] $ ist Gruppe unter Matrizenmultiplikation.

-> Falsch, da für das $ [mm] 0\in K^{n\times n} [/mm] $ kein inverses Element existiert

4) Seien $ [mm] f:V\to [/mm] W $, $ [mm] g:W\to [/mm] V $ Abbildungen und V,W endlichdimmensionale Vektorräume.

a) U Untervektorraum von V, so ist f(U) ein Untervektorraum von W.

-> Ich bitte um einen Tipp!

b) Kern(f)=0 -> dim(V)=dim(W)

-> Ich glaube die meinten $ [mm] Kern(f)=\{0\}. [/mm] $ Trotzdem falsch. f wäre injektiv

c) f surjektiv -> dim (V)=dim(W)

-> Falsch, f müsste bijektiv sein

d) f ein Endomorphismus in V, so ist $ [mm] Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\} [/mm] $

Hier brauche ich einen Tipp bitte!

e) $ [mm] f\circ g=Id_V [/mm] $ -> $ [mm] g=f^{-1} [/mm] $

-> nur, wenn f bijektiv ist?

Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Multiple Choice: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Fr 29.09.2017
Autor: tobit09

Hallo James90!


> 1) Jedes lineare Gleichungssystem mit n Gleichungen in n
> Unbestimmten besitzt genau eine Lösung.
>
> -> Falsch, es muss nichtmal eine Lösung geben

[ok] (Außer im Falle n=0.)


> 2) Seien [mm]A,B\in K^{n,n} [/mm].
>
> a) det(AB)=det(A)det(B)
>
> -> Richtig, Determinantenmultiplikationssatz

[ok]


> b) det(A+B)=det(A)+det(B)
>
> -> Offensichtlich falsch

[ok] (zumindest im Allgemeinen)



> 3) [mm]K^{n\times n}[/mm] ist Gruppe unter Matrizenmultiplikation.
>
> -> Falsch, da für das [mm]0\in K^{n\times n}[/mm] kein inverses
> Element existiert

[ok] (Außer im Falle n=0.)


> 4) Seien [mm]f:V\to W [/mm], [mm]g:W\to V[/mm] Abbildungen und V,W
> endlichdimmensionale Vektorräume.
>
> a) U Untervektorraum von V, so ist f(U) ein Untervektorraum
> von W.
>
> -> Ich bitte um einen Tipp!

Wie ist $f(U)$ definiert?
Wie ist "$f(U)$ ist ein Unterraum von W" definiert?
Prüfe die entsprechenden Kriterien nach.


> b) Kern(f)=0 -> dim(V)=dim(W)
>
> -> Ich glaube die meinten [mm]Kern(f)=\{0\}.[/mm]

Der triviale Unterraum [mm] $\{0\}$ [/mm] wird häufig einfach mit 0 bezeichnet.


> Trotzdem falsch.

[ok]

> f wäre injektiv

Ja, wenn Kern(f)=0, ist f injektiv. Aber warum folgt nun nicht dim(V)=dim(W)? Gib ein konkretes Gegenbeispiel.


> c) f surjektiv -> dim (V)=dim(W)
>
> -> Falsch,

[ok]

> f müsste bijektiv sein

Die Bijektivität von f wäre hinreichend für dim(V)=dim(W).
Ist "f surjektiv" vielleicht auch hinreichend für dim(V)=dim(W)?
Nein, wie du dir durch ein Gegenbeispiel klarmachen kannst.


> d) f ein Endomorphismus in V, so ist [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}[/mm]
>  
> Hier brauche ich einen Tipp bitte!

Finde ein Gegenbeispiel. Du könntest z.B. [mm] $V=\IR^2$ [/mm] verwenden. Du benötigst einen von 0 verschiedenen Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $v\in Kern(f)\cap [/mm] Bild(f)$.


> e) [mm]f\circ g=Id_V[/mm] -> [mm]g=f^{-1}[/mm]
>  
> -> nur, wenn f bijektiv ist?

In der Tat ist für [mm] $g=f^{-1}$ [/mm] notwendig, dass f überhaupt bijektiv ist.
Es stellt sich daher die Frage, ob aus [mm] $f\circ g=id_V$ [/mm] die Bijektivität von $f$ folgt.
Beantworte diese Frage mithilfe eines Gegenbeispiels negativ.


Etwas Vorsicht würde ich dir vor Argumentationen der Art "ich sehe keinen Grund für diese Folgerung, ALSO gilt sie nicht" raten.
Damit kann man schnell baden gehen.
Sicher kannst du dir erst sein, dass eine Folgerung im Allgemeinen nicht gilt, wenn du ein Gegenbeispiel gefunden hast.


Der Übung halber möchte ich noch folgende Aufgabe ergänzen:

Sei [mm] $f\colon V\to [/mm] V$ ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen $K$-Vektorraumes V mit $Bild(f)=V$. Ist dann f stets injektiv?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Multiple Choice: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Fr 29.09.2017
Autor: James90

Vielen Dank für deine Hilfe Tobias!

> > 4) Seien [mm]f:V\to W [/mm], [mm]g:W\to V[/mm] Abbildungen und V,W
> > endlichdimmensionale Vektorräume.
> >
> > a) U Untervektorraum von V, so ist f(U) ein Untervektorraum
> > von W.
> >
> > -> Ich bitte um einen Tipp!
>  Wie ist [mm]f(U)[/mm] definiert?
>  Wie ist "[mm]f(U)[/mm] ist ein Unterraum von W" definiert?
>  Prüfe die entsprechenden Kriterien nach.

Ich bin mir nicht sicher, aber ich denke, dass stillschweigend davon ausgegangen wird, das f linear ist. Ansonsten macht auch zum Beispiel b) keinen Sinn.

Sei U ein Untervektorraum von V
Zu zeigen ist f(U) ist Untervektorraum von W, d.h.

i) [mm] f(U)\not=\emptyset [/mm]
ii) Aus [mm] $a,b\in [/mm] f(U)$ folgt [mm] a+b\in [/mm] f(U)
iii) Aus [mm] $a\in [/mm] f(U)$ und [mm] $\lambda\in [/mm] K$ folgt [mm] $a*\lambda\in [/mm] f(U)$

Zu i)
Wegen [mm] $U\subseteq [/mm] V$ ist es klar
Zu ii)
Es ist [mm] $f(U)=\{f(u):u\in U\}\subseteq [/mm] W$
Seien [mm] $a,b\in [/mm] f(U)$, d.h. es existieren [mm] $u_1,u_2\in [/mm] U$ mit [mm] a=f(u_1) [/mm] und [mm] b=f(u_2) [/mm]
Mit der Linearität von f folgt [mm] a+b=f(u_1)+f(u_2)=f(u_1+u_2) [/mm]
Nach Voraussetzung ist U ein Untervektorraum, also ist [mm] $u_1+u_2\in [/mm] U$
Somit ist [mm] a+b=f(u_1+u_2) [/mm] wohldefiniert und [mm] $a+b\in [/mm] f(U)$

zu iii)
Sei [mm] $a\in [/mm] f(U)$ und [mm] $\lambda\in [/mm] K$, d.h. es existiert ein [mm] $u\in [/mm] U$ mit $a=f(u)$
Mit der Linearität von f folgt $ [mm] a*\lambda=f(u)*\lambda=f(u*\lambda) [/mm] $
Nach Voraussetzung ist U ein Untervektorraum, also ist $ [mm] u*\lambda\in [/mm] U $
Somit ist $ [mm] a*\lambda=f(u*\lambda) [/mm] $ wohldefiniert und $ [mm] a*\lambda\in [/mm] f(U) $


> > b) Kern(f)=0 -> dim(V)=dim(W)
> >
> > -> Ich glaube die meinten [mm]Kern(f)=\{0\}.[/mm]
>  Der triviale Unterraum [mm]\{0\}[/mm] wird häufig einfach mit 0
> bezeichnet.
>  
>
> > Trotzdem falsch.
>  [ok]
>  
> > f wäre injektiv
>  Ja, wenn Kern(f)=0, ist f injektiv. Aber warum folgt nun
> nicht dim(V)=dim(W)? Gib ein konkretes Gegenbeispiel.

[mm] f:\IR\to\IR^2,x\mapsto \vektor{x \\ 0}$ [/mm]

Nun ist Ker(f)=0, aber [mm] dim\IR^1=1\not=2=dim\IR^2 [/mm]

> > c) f surjektiv -> dim (V)=dim(W)
> >
> > -> Falsch,
>  [ok]
>  
> > f müsste bijektiv sein
>  Die Bijektivität von f wäre hinreichend für
> dim(V)=dim(W).
>  Ist "f surjektiv" vielleicht auch hinreichend für
> dim(V)=dim(W)?
>  Nein, wie du dir durch ein Gegenbeispiel klarmachen
> kannst.

[mm] $f:\IR^2\to\IR, \vektor{x \\ y} \mapsto [/mm] 0$

Nun ist f surjektiv, aber [mm] dim\IR^2=2\not=1=dim\IR^1 [/mm]

> > d) f ein Endomorphismus in V, so ist [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}[/mm]
>  
> >  

> > Hier brauche ich einen Tipp bitte!
>  Finde ein Gegenbeispiel. Du könntest z.B. [mm]V=\IR^2[/mm]
> verwenden. Du benötigst einen von 0 verschiedenen Vektor
> [mm]v\in V[/mm] mit [mm]v\in Kern(f)\cap Bild(f)[/mm].

[mm] $f:\IR\to\IR,x\mapsto [/mm] x-1$

Dann ist [mm] Ker(f)=\{1\} [/mm] und [mm] Im(f)=\IR [/mm]
Also ist [mm] Ker(f)\cap Im(f)=\{1\}\not=0 [/mm]

> > e) [mm]f\circ g=Id_V[/mm] -> [mm]g=f^{-1}[/mm]
>  >  
> > -> nur, wenn f bijektiv ist?
> In der Tat ist für [mm]g=f^{-1}[/mm] notwendig, dass f überhaupt
> bijektiv ist.
>  Es stellt sich daher die Frage, ob aus [mm]f\circ g=id_V[/mm] die
> Bijektivität von [mm]f[/mm] folgt.
>  Beantworte diese Frage mithilfe eines Gegenbeispiels
> negativ.

Irgendwie fällt mir nichts ein, da ich immer wieder auf eine bijektive Funktion f komme.

> Etwas Vorsicht würde ich dir vor Argumentationen der Art
> "ich sehe keinen Grund für diese Folgerung, ALSO gilt sie
> nicht" raten.
>  Damit kann man schnell baden gehen.
>  Sicher kannst du dir erst sein, dass eine Folgerung im
> Allgemeinen nicht gilt, wenn du ein Gegenbeispiel gefunden
> hast.
>  
>
> Der Übung halber möchte ich noch folgende Aufgabe
> ergänzen:
>  
> Sei [mm]f\colon V\to V[/mm] ein Endomorphismus eines
> endlich-dimensionalen [mm]K[/mm]-Vektorraumes V mit [mm]Bild(f)=V[/mm]. Ist
> dann f stets injektiv?

Nein, dann wäre ja f sogar ein Automorphismus... ;)

Ein Gegenbeispiel habe ich bislang auch noch nicht gefunden... Tipp? :)

Danke für die Korrekturen!


Bezug
                                        
Bezug
Multiple Choice: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Fr 29.09.2017
Autor: tobit09


> > > 4) Seien [mm]f:V\to W [/mm], [mm]g:W\to V[/mm] Abbildungen und V,W
> > > endlichdimmensionale Vektorräume.
> > >
> > > a) U Untervektorraum von V, so ist f(U) ein Untervektorraum
> > > von W.
> > >
> > > -> Ich bitte um einen Tipp!
>  >  Wie ist [mm]f(U)[/mm] definiert?
>  >  Wie ist "[mm]f(U)[/mm] ist ein Unterraum von W" definiert?
>  >  Prüfe die entsprechenden Kriterien nach.
>  
> Ich bin mir nicht sicher, aber ich denke, dass
> stillschweigend davon ausgegangen wird, das f linear ist.
> Ansonsten macht auch zum Beispiel b) keinen Sinn.

Hoppla, da habe ich mich doch glatt verlesen und war auch davon ausgegangen, dass f und g als linear vorausgesetzt sind...
In einer Klausur würde ich hier lieber nachfragen.
Ich schlage vor, wir nehmen weiterhin an, dass f und g als linear vorausgesetzt sind.

  

> Sei U ein Untervektorraum von V
>  Zu zeigen ist f(U) ist Untervektorraum von W, d.h.
>  
> i) [mm]f(U)\not=\emptyset[/mm]
>  ii) Aus [mm]a,b\in f(U)[/mm] folgt [mm]a+b\in[/mm] f(U)
>  iii) Aus [mm]a\in f(U)[/mm] und [mm]\lambda\in K[/mm] folgt [mm]a*\lambda\in f(U)[/mm]

(Oh, ihr multipliziert Skalare von rechts statt von links? Damit schwimmt dein(e) Dozent(in) wohl gegen den Strom und du musst dich beim Literaturstudium umstellen...)


> Zu i)
>  Wegen [mm]U\subseteq V[/mm] ist es klar

Wegen [mm] $U\not=\emptyset$, [/mm] nicht wegen [mm] $U\subseteq [/mm] V$.


>  Zu ii)
>  Es ist [mm]f(U)=\{f(u):u\in U\}\subseteq W[/mm]
>  Seien [mm]a,b\in f(U)[/mm],
> d.h. es existieren [mm]u_1,u_2\in U[/mm] mit [mm]a=f(u_1)[/mm] und [mm]b=f(u_2)[/mm]
>  Mit der Linearität von f folgt
> [mm]a+b=f(u_1)+f(u_2)=f(u_1+u_2)[/mm]
>  Nach Voraussetzung ist U ein Untervektorraum, also ist
> [mm]u_1+u_2\in U[/mm]
>  Somit ist [mm]a+b=f(u_1+u_2)[/mm] wohldefiniert und
> [mm]a+b\in f(U)[/mm]

[ok] Sehr schön!

(Nur an dem Begriff wohldefiniert in der letzten Zeile störe ich mich etwas: Ich sehe nichts, dessen Wohldefiniertheit in Zweifel zu ziehen wäre. Schreibe lieber einfach "Somit gelten [mm] $a+b=f(u_1+u_2)$ [/mm] und damit [mm] $a+b\in [/mm] f(U)$".)

> zu iii)
>  Sei [mm]a\in f(U)[/mm] und [mm]\lambda\in K[/mm], d.h. es existiert ein [mm]u\in U[/mm]
> mit [mm]a=f(u)[/mm]
>  Mit der Linearität von f folgt
> [mm]a*\lambda=f(u)*\lambda=f(u*\lambda)[/mm]
>  Nach Voraussetzung ist U ein Untervektorraum, also ist
> [mm]u*\lambda\in U[/mm]
> Somit ist [mm]a*\lambda=f(u*\lambda)[/mm] wohldefiniert und
> [mm]a*\lambda\in f(U)[/mm]

[ok] Wieder sehr schön (mit gleicher Anmerkung zur Formulierung "wohldefiniert")!


> > > b) Kern(f)=0 -> dim(V)=dim(W)

> > Gib ein konkretes Gegenbeispiel.
>  
> [mm]f:\IR\to\IR^2,x\mapsto \vektor{x \\ 0}$[/mm]
>  
> Nun ist Ker(f)=0, aber [mm]dim\IR^1=1\not=2=dim\IR^2[/mm]

[ok] Sehr schön!


> > > c) f surjektiv -> dim (V)=dim(W)

> [mm]f:\IR^2\to\IR, \vektor{x \\ y} \mapsto 0[/mm]
>  
> Nun ist f surjektiv,

Nein. Aber wenn du z.B. die 0 am Ende der Definition von f durch x ersetzt, passt es.

> aber [mm]dim\IR^2=2\not=1=dim\IR^1[/mm]

Ja.


> > > d) f ein Endomorphismus in V, so ist [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Hier brauche ich einen Tipp bitte!
>  >  Finde ein Gegenbeispiel. Du könntest z.B. [mm]V=\IR^2[/mm]
> > verwenden. Du benötigst einen von 0 verschiedenen Vektor
> > [mm]v\in V[/mm] mit [mm]v\in Kern(f)\cap Bild(f)[/mm].
>  
> [mm]f:\IR\to\IR,x\mapsto x-1[/mm]

Diese Abbildung ist nicht [mm] $\IR$-linear [/mm] und ist damit für ein Gegenbeispiel nicht geeignet.



> > > e) [mm]f\circ g=Id_V[/mm] -> [mm]g=f^{-1}[/mm]
>  >  >  
> > > -> nur, wenn f bijektiv ist?
> > In der Tat ist für [mm]g=f^{-1}[/mm] notwendig, dass f überhaupt
> > bijektiv ist.
>  >  Es stellt sich daher die Frage, ob aus [mm]f\circ g=id_V[/mm]
> die
> > Bijektivität von [mm]f[/mm] folgt.
>  >  Beantworte diese Frage mithilfe eines Gegenbeispiels
> > negativ.
>  
> Irgendwie fällt mir nichts ein, da ich immer wieder auf
> eine bijektive Funktion f komme.

Da wir sicherstellen wollen, dass [mm] $f\circ g=id_V$ [/mm] gilt (also insbesondere [mm] $f\circ [/mm] g$ bijektiv ist), muss g injektiv und f surjektiv sein.
Die lineare Abbildung $f$ soll also surjektiv, aber nicht injektiv sein.

Wie wäre es z.B. mit

      [mm] $f\colon\IR^2\to\IR,\quad f(\vektor{x \\ y})=x$ [/mm]

und

      [mm] $g\colon\IR\to\IR^2,\quad f(x)=\vektor{x\\0}$ [/mm] ?


> > Etwas Vorsicht würde ich dir vor Argumentationen der Art
> > "ich sehe keinen Grund für diese Folgerung, ALSO gilt sie
> > nicht" raten.
>  >  Damit kann man schnell baden gehen.
>  >  Sicher kannst du dir erst sein, dass eine Folgerung im
> > Allgemeinen nicht gilt, wenn du ein Gegenbeispiel gefunden
> > hast.
>  >  
> >
> > Der Übung halber möchte ich noch folgende Aufgabe
> > ergänzen:
>  >  
> > Sei [mm]f\colon V\to V[/mm] ein Endomorphismus eines
> > endlich-dimensionalen [mm]K[/mm]-Vektorraumes V mit [mm]Bild(f)=V[/mm]. Ist
> > dann f stets injektiv?
>  
> Nein,

[notok]


> dann wäre ja f sogar ein Automorphismus... ;)

Weil die Antwort auf meine Frage ja lautet (Begründung siehe unten), ist f ein Automorphismus.
Was spricht dagegen?


> Ein Gegenbeispiel habe ich bislang auch noch nicht
> gefunden... Tipp? :)

Da kannst du lange suchen, es gibt nämlich keines!

Du hast offenbar richtig erkannt, dass $Bild(f)=V$ die Surjektivität von f bedeutet.
Nun sollte aus der Vorlesung bekannt sein, dass Endomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume (oder allgemeiner: lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension) genau dann injektiv sind, wenn sie surjektiv sind! (*)
(Das leitet man üblicherweise als Korollar aus der Dimensionsformel für lineare Abbildungen her.)

Die richtige Antwort auf meine Frage lautet also: Ja!

Ich habe diese Aufgabe gewählt, weil ich mir gut vorstellen könnte, dass dieser Zusammenhang (*) in einer Klausur abgefragt wird, und weil hier der "Schluss" "ich finde kein Argument für diese Folgerung, also gilt sie nicht" in die Hose gehen kann.

Bezug
                                                
Bezug
Multiple Choice: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:08 Sa 30.09.2017
Autor: James90

Vielen lieben Dank für deine ausführliche Hilfe!

Ich bin mir weiterhin unsicher bei der Teilaufgabe d):

Behauptung:
Sei f ein Endomorphismus in V, so ist [mm] $Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}$. [/mm]

Gegenbeispiel:
[mm] $f:\IR\to\IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x(x-1)$
Dann ist [mm] Kern(f)=\{0,1\} [/mm] und [mm] Bild(f)=[-1,\infty) [/mm]
Also [mm] $Kern(f)\cap Bild(f)=\{0,1\}\not=\{0\}$ [/mm]



Verstehe ich folgendes richtig?

Sei f ein Endomorphismus in V.

Aussage 1) Dann gilt [mm] $Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}$ [/mm]
Aussage 2) Dann gilt [mm] $Kern(f\circ [/mm] f)=Kern(f)$
Aussage 3) Dann gilt [mm] $Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}\gdw Kern(f\circ [/mm] f)=Kern(f)$

-> Aussage 1) ist falsch. Aussagen 2) und 3) ist richtig.



Sei f ein Endomorphismus in V. Dann gilt [mm] $Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}\gdw Kern(f\circ [/mm] f)=Kern(f)$.

[mm] "\Rightarrow": [/mm]
Voraussetzung ist [mm] $Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}$ [/mm]

Sei [mm] $v\in Kern(f\circ [/mm] f)$, d.h. es gilt f(f(v))=0
Aus der Linearität von f folgt [mm] $f(f(v))=0\gdw [/mm] f(v)=0$
Also ist [mm] $v\in [/mm] Kern(f)$

Sei [mm] $v\in [/mm] Kern(f)$, d.h. es gilt f(v)=0
Dann folgt [mm] $(f\circ [/mm] f)(v)=f(f(v))=f(0)=0$ (*)
Also ist [mm] $v\in Kern(f\circ [/mm] f)$

Bei (*) ist f(0)=0 wegen der Linearität, aber wie genau begründet man die linksseitige "Ansetzung" von f? Also warum ist $f(v)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(f(v))=f(0)$?

(Hier sieht man nun auch, dass die Voraussetzung [mm] $Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}$ [/mm] nicht benötigt wird
Also gilt für einen Endomorphismus f in V immer [mm] $Kern(f\circ [/mm] f)=Kern(f)$)



[mm] "\Leftarrow": [/mm]
Voraussetzung ist [mm] $Kern(f\circ [/mm] f)=Kern(f)$

Sei [mm] $v\in Kern(f)\cap [/mm] Bild (f)$, d.h. es gilt $f(v)=0$ und es existiert ein [mm] $w\in [/mm] V$ mit $f(w)=v$
Damit folgt f(f(w))=f(v)=0
Aus der Linearität von f folgt [mm] $f(v)=0\gdw [/mm] v=0$ und damit ist [mm] v\in\{0\} [/mm]

(Die Voraussetzung habe ich hier wieder nicht genutzt?!)

Sei $v=0$
Zu zeigen ist [mm] $0\in Kern(f)\cap [/mm] Bild (f)$
Also ist zu zeigen [mm] $0\in [/mm] Kern(f)$ und [mm] $0\in [/mm] Bild(f)$
Nach Voraussetzung ist [mm] Kerf(f)=Kerf(f\circ [/mm] f)

Hier komme ich leider nicht weiter. Ich glaube ehe, dass ich hier etwas nicht verstanden habe und von Anfang an Fehler mache...


Viele Grüße
James


Bezug
                                                        
Bezug
Multiple Choice: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Sa 30.09.2017
Autor: tobit09


> Ich bin mir weiterhin unsicher bei der Teilaufgabe d):
>  
> Behauptung:
>  Sei f ein Endomorphismus in V, so ist [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}[/mm].
>  
> Gegenbeispiel:
>  [mm]f:\IR\to\IR, x \mapsto x(x-1)[/mm]

Wieder ist dein f keine lineare Abbildung und somit als Gegenbeispiel nicht geeignet.

>  Dann ist [mm]Kern(f)=\{0,1\}[/mm]

Folgerichtig.

> und [mm]Bild(f)=[-1,\infty)[/mm]

Nein, [mm] $Bild(f)=[-\frac14,\infty)$. [/mm]

>  Also [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0,1\}\not=\{0\}[/mm]

Ja.


Mit [mm] $V=\IR$ [/mm] wird dir kein
Gegenbeispiel gelingen, aber z.B. mit [mm] $V=\IR^2$. [/mm]
Vorüberlegung: Wie sehen die Endomorphismen von [mm] $V=\IR^2$ [/mm] aus?



> Verstehe ich folgendes richtig?
>  
> Sei f ein Endomorphismus in V.
>  
> Aussage 1) Dann gilt [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}[/mm]
>  Aussage 2)
> Dann gilt [mm]Kern(f\circ f)=Kern(f)[/mm]
>  Aussage 3) Dann gilt
> [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}\gdw Kern(f\circ f)=Kern(f)[/mm]
>  
> -> Aussage 1) ist falsch. Aussagen 2) und 3) ist richtig.

Aussagen 1) und 2) sind im Allgemeinen falsch. Aussage 3) ist richtig.


> Sei f ein Endomorphismus in V. Dann gilt [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}\gdw Kern(f\circ f)=Kern(f)[/mm].
>  
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>  Voraussetzung ist [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}[/mm]
>  
> Sei [mm]v\in Kern(f\circ f)[/mm], d.h. es gilt f(f(v))=0

Bis hierhin sieht es gut aus.

>  Aus der Linearität von f folgt [mm]f(f(v))=0\gdw f(v)=0[/mm]

Nein.

>  Also
> ist [mm]v\in Kern(f)[/mm]

Folgerichtig.


> Sei [mm]v\in Kern(f)[/mm], d.h. es gilt f(v)=0
>  Dann folgt [mm](f\circ f)(v)=f(f(v))=f(0)=0[/mm] (*)
>  Also ist [mm]v\in Kern(f\circ f)[/mm]

Ja genau.


> Bei (*) ist f(0)=0 wegen der Linearität, aber wie genau
> begründet man die linksseitige "Ansetzung" von f? Also
> warum ist [mm]f(v)=0 \Rightarrow f(f(v))=f(0)[/mm]?

Das ist trivial: Wenn f(v) das Gleiche wie 0 ist, ist der Funktionswert von f an der Stelle f(v) das Gleiche wie der Funktionswert von f an der Stelle 0; f(f(v)) und f(0) sind nur unterschiedliche Schreibweisen für den gleichen Funktionswert von f.


> (Hier sieht man nun auch, dass die Voraussetzung
> [mm]Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}[/mm] nicht benötigt wird
>  Also gilt für einen Endomorphismus f in V immer
> [mm]Kern(f\circ f)=Kern(f)[/mm])

Folgerichtig.


> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
>  Voraussetzung ist [mm]Kern(f\circ f)=Kern(f)[/mm]
>  
> Sei [mm]v\in Kern(f)\cap Bild (f)[/mm], d.h. es gilt [mm]f(v)=0[/mm] und es
> existiert ein [mm]w\in V[/mm] mit [mm]f(w)=v[/mm]
>  Damit folgt f(f(w))=f(v)=0

Bis hierhin sieht es gut aus.

>  Aus der Linearität von f folgt [mm]f(v)=0\gdw v=0[/mm]

Nein.

> und damit
> ist [mm]v\in\{0\}[/mm]

Folgerichtig.


> (Die Voraussetzung habe ich hier wieder nicht genutzt?!)

In der Tat...


> Sei [mm]v=0[/mm]
>  Zu zeigen ist [mm]0\in Kern(f)\cap Bild (f)[/mm]
>  Also ist zu
> zeigen [mm]0\in Kern(f)[/mm] und [mm]0\in Bild(f)[/mm]

Ja. Beides folgt aus f(0)=0 (was wiederum aus der Linearität von f folgt).

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