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Forum "mathematische Statistik" - Multivariate Normalverteilung
Multivariate Normalverteilung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Multivariate Normalverteilung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:37 Mi 28.01.2015
Autor: luis52

Aufgabe
Der Zufallsvektor [mm] $\mathbf{x}$ [/mm] sei $p$-variat normalverteilt mit [mm] $\operatorname{E}[\mathbf{x}]=\mathbf{\mu}$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[\mathbf{x}]=\mathbf{\Sigma}$. [/mm]

(a) Ist [mm] $\mathbf{a}\in\IR^p$ [/mm] ein fester Vektor, so  ist

[mm] $f=\frac{\mathbf{a}'(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})}{\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}}$ [/mm]

standardnormalverteilt.

(b) Sei [mm] $\mathbf{a}\in\IR^p$ [/mm] ein Zufallsvektor, der unabhaengig ist von [mm] $\mathbf{x}$. [/mm] Gilt [mm] $P(\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}=0)=0$, [/mm] so ist $f_$ standardnormalverteilt und unabhaengig von [mm] $\mathbf{x}$. [/mm]

(c) Ist [mm] $\mathbf{\mu}=\mathbf{0}$ [/mm] und [mm] $\mathbf{\Sigma}=\mathbf{I}_3$, [/mm] so ist

[mm] $\frac{x_1\exp(x_3)+x_2\log|x_3|}{\exp(2x_3)+\sqrt{\log|x_3|}} [/mm]

standardnormalverteilt.

Moin allerseits, heute stelle ich mal eine Aufgabe rein, ueber deren
Loesung ich schon einige Zeit nachdenke. Vielleicht ist sie ja
offensichtlich, aber ich bin wie vernagelt.

Sie stammt aus

@BOOK{Mardia79,
  title = {Multivariate Analysis},
  publisher = {Academic Press},
  year = {1979},
  author = {K.V. Mardia and J.T. Kent and J.M. Bibby},
  address = {London, San Diego}
}

Seite 86.


(a) ist klar.

(b) Hier koennte man vielleicht ueber die bedingte Verteilung argumentieren und  (a) anwenden ...

(c) Keinen Schimmer ...
              

P.S. und Off-Topic: Wieso liefert $\mathbf{\Sigma}$ ein fettes [mm] $\mathbf{\Sigma}$,[/mm]  $\mathbf{\mu}$ aber kein fettes [mm] $\mathbf{\mu}$? [/mm]

        
Bezug
Multivariate Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Mi 28.01.2015
Autor: hanspeter.schmid

Was meinst Du mit $ [mm] P(\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}=0)=0 [/mm] $ genau?

[mm] $\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}$ [/mm] ist eine reelle Zahl, oder?

Zur off-topic-Frage: verwende pmb statt mathbf:

[mm] $\pmb{\mu}$ [/mm] vs [mm] $\mathbf{\mu}$ [/mm]

Gruss,
Hanspeter

Bezug
                
Bezug
Multivariate Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Mi 28.01.2015
Autor: luis52


> Was meinst Du mit
> [mm]P(\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}=0)=0[/mm] genau?
>  
> [mm]\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}[/mm] ist eine reelle Zahl,
> oder?
>
>

Moin, bei bei (b) ist [mm] $\mathbf{a}$ [/mm] ein $p$-elementiger Zufallsvektor.

Danke fuer TeXnische Hilfe.

Bezug
                        
Bezug
Multivariate Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:54 Do 29.01.2015
Autor: hanspeter.schmid


> > Was meinst Du mit
> > [mm]P(\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}=0)=0[/mm] genau?
>  >  
> > [mm]\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}[/mm] ist eine reelle Zahl,
> > oder?
>
> Moin, bei bei (b) ist [mm]\mathbf{a}[/mm] ein [mm]p[/mm]-elementiger
> Zufallsvektor.

Du hättest also auch "ja" schreiben können, denn dann ist [mm]\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}[/mm] ist eine reelle Zahl.

Nun ist aber [mm]P(\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}=0)=0[/mm] immer der Fall, wenn die W'keitsdichte von  [mm]\mathbf{a}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{a}[/mm] an dem Punkt endlich ist. Es bräuchte einen Diracstoss oder ähnlich damit das nicht eintritt. Was soll also diese Bedingung?

> Danke fuer TeXnische Hilfe.

Gern geschehen.


Bezug
        
Bezug
Multivariate Normalverteilung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 30.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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