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Nabla in Zylinderkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Fr 17.02.2017
Autor: Jellal

Guten Abend,

ich bin mir nicht sicher, wie folgender Ausdruck zu berechnen ist:
[mm] (\vec{R}\nabla)\vec{B} [/mm]

Dabei sind [mm] \vec{R}, \vec{B} [/mm] dreidim. Vektoren in Zylinderkoordinaten.

Intuitiv würde ich [mm] \nabla [/mm] nun als Spaltenvektor auffassen und erst mal das Skalarprodukt mit [mm] \vec{R} [/mm] bilden.
Das Ergebnis ist dann eine Summe aus Ableitungen und die werden dann auf den Vektor [mm] \vec{B} [/mm] angewendet, also auf jede seiner Komponenten.

Das Problem ist, dass [mm] \nabla [/mm] in Zylinderkoordinaten anscheinend davon abhängt, ob ich den Gradienten oder die Divergenz berechne... Aber hier mach ich ja weder das eine, noch das andere? Weswegen mein Vorgehen wohl falsch ist...

Jemand eine Antwort?

mfG.


        
Bezug
Nabla in Zylinderkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Sa 18.02.2017
Autor: Infinit

Hllom Jellal,
Deine Interpretation ist so leider nicht richtig. Was Du mit diesem Ausdruck berechnest, ist die Richtungsableitung des Vektorfeldes [mm] \vec{B} [/mm] in Richtung von [mm] \vec{R} [/mm]. Da kommt die Jacobi-Matrix ins Spiel.
[]Hier ist es schön erklärt.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Nabla in Zylinderkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Sa 18.02.2017
Autor: Jellal

Hallo Infinit,

aber am Ende von Unterkapitel "Im n-dimensionalen Raum" steht doch genau mein Fall.
Und da wird es so gemacht, Skalarprodukt von Nabla und dem einen Vektor, angewendet auf den rechten Vektor.

Oder muss ich in Zylinderkoordinaten was bestimmtes beachten?

Bezug
                        
Bezug
Nabla in Zylinderkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Sa 18.02.2017
Autor: Chris84

Huhu,
warum gehst du nicht einfach per Definition :)

Zuerst zerlege [mm] $\vec{R}, \vec{B}$ [/mm] and [mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] in ihre jeweiligen Komponenten, also etwa

[mm] $\vec{R}=R_r \vec{e}_r [/mm] + [mm] R_{\varphi} \vec{e}_{\varphi} [/mm] + [mm] R_z \vec{e}_z$ [/mm]
[mm] $\vec{B}=B_r \vec{e}_r [/mm] + [mm] B_{\varphi} \vec{e}_{\varphi} [/mm] + [mm] B_z \vec{e}_z$ [/mm]
[mm] $\vec{\nabla}=\vec{e}_r \frac{\partial}{\partial_r}+\frac{1}{r} \vec{e}_\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}+\vec{e}_z\frac{\partial}{\partial z}$ [/mm]

Und dann die Definition des Skalarproduktes (ich nehme mal an, dass soll eins sein) bzw. der skalaren Multiplikation ausnutzen, also etwa:

[mm] $\vec{R}\cdot\vec{\nabla}=\vec{e}_r\cdot \vec{e}_r R_r \frac{\partial}{\partial r} [/mm] +...$

und so weiter (habe nun keine Lust alles auszuschreiben ^^ ).

Dann noch die Orthonormalitaet der Zylinderkoordinaten ausnutzen.

Hilft das? :)

Gruss,
Chris

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Bezug
Nabla in Zylinderkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:22 Do 06.04.2017
Autor: Jellal

Vielen Dank Chris,

ja, das hat geholfen :)


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