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Forum "Lineare Abbildungen" - Nachweis für lineare Abbildung
Nachweis für lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nachweis für lineare Abbildung: Skalarmultiplikation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Di 30.01.2007
Autor: ichNicht

Aufgabe
Gegeben K-Vektorraum V mit Unterräumen W und U. Nachweisen, dass y: U -> V/W mit y(u) = u + W eine lineare Abbildung ist

Kann mir jemand helfen ich komme hier nicht weiter...

Wenn ich die Eigenschaft prüfe auf Skalaprodukt kriege ich
y(au) = au + W. Ich müßte aber doch ay(u) bekommen. oder kann ich a aus dem Unterraum einfach ausklammern (aW = W?)

Hat wer ne Idee?

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)

        
Bezug
Nachweis für lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Di 30.01.2007
Autor: ullim

Hi,

eigentlich ist ja nur zu prüfen ob die Abbildung linear ist. Mit dem Skalarprodukt hat das ja alles weniger zu tun.

Nun zur Linearität

I)

[mm] y(\alpha*u)=\alpha*u+W [/mm] und

[mm] \alpha*y(u)=\alpha(u+W)=\alpha*u +\alpha*W [/mm]

mit W ist irgendein Element aus W gemeint. Da W ein Unterraum ist, ist auch [mm] \alpha*W [/mm] ein Element aus W. Also gilt

[mm] \alpha*W=W [/mm] und somit

[mm] y(\alpha u)=\alpha*y(u) [/mm]

II)

y(u+v)=u+v+W und

y(u)+y(v)=u+W+v+W

Da W ein Unterraum ist gilt W+W=W also y(u)+y(v)=u+v+W also

y(u+v)=y(u)+y(v)

mfg ullim

Bezug
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