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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Neue Aufgaben Nr. 8
Neue Aufgaben Nr. 8 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Neue Aufgaben Nr. 8: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:33 Sa 19.02.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Quelle: Kanadische Mathematik Olympiade 1969.

Sei [mm] $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$ [/mm] und [mm] $p_1,p_2,p_3$ [/mm] alle von Null verschieden. Beweise, dass dann
[mm] $\left(\frac{a_1}{b_1}\right) ^n=\frac{p_1 a_1^n+p_2 a_2^{n}+p_3 a_3^{n}}{p_1 b_1^n+p_2 b_2^{n}+p_3 b_3^{n}}$ [/mm]
für alle [mm] $n\geq [/mm] 1$ gilt.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Neue Aufgaben Nr. 8: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 So 20.02.2005
Autor: Christian

Hallo nochmal

>  
> Quelle: Kanadische Mathematik Olympiade 1969.

Wo war Kanada eigentlich in der PISA-Studie, ist doch eigentlich ganz simpel... ;-) (nicht, daß das irgendwelche Relevanz hätte...)
  

> Sei [mm]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}[/mm] und
> [mm]p_1,p_2,p_3[/mm] alle von Null verschieden.

Diese Eigenschaft sei im Folgenden mit (*) bezeichnet.

[mm]\frac{p_1 a_1^n+p_2 a_2^{n}+p_3 a_3^{n}}{p_1 b_1^n+p_2 b_2^{n}+p_3 b_3^{n}}=\frac{p_1 b_1^n\left(\frac{a_1}{b_1}\right) ^n+p_2 b_2^{n}\left(\frac{a_2}{b_2}\right) ^n+p_3 b_3^{n}\left(\frac{a_3}{b_3}\right) ^n}{p_1 b_1^n+p_2 b_2^{n}+p_3 b_3^{n}}[/mm]  und dann, nach (*) (Ausklammern):
[mm]=\left(\frac{a_1}{b_1}\right) ^n[/mm]

Ein Zweizeiler, sozusagen.

Gute Nacht,
Christian

Bezug
                
Bezug
Neue Aufgaben Nr. 8: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 So 20.02.2005
Autor: Hanno

Hallo Christian!

Ja, einige Aufgaben sind ziemlich einfach. Diese Aufgabe hier ist zum Beispiel eine direkte Konsequenz aus [mm] $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$. [/mm]

Schön gemacht.

Liebe Grüße,
Hanno

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