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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Neue Aufgaben Nr. 9
Neue Aufgaben Nr. 9 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Neue Aufgaben Nr. 9: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:35 Sa 19.02.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Mathematik-Olympiade, 4. Stufe (Bundesrunde) Klasse 12-13

Es sei $ABC$ ein Dreieck und [mm] $\alpha,\beta,\gamma$ [/mm] seine Innenwinkel. Man zeige, dass $ABC$ genau dann rechtwinklig ist, wenn
[mm] $\frac{sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma}{cos^2 \alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma}=2$ [/mm]
gilt.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Neue Aufgaben Nr. 9: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Mo 21.02.2005
Autor: moudi

Hallo Hanno

Ich forme zuerst einmal um, indem ich die Gleichung mit dem Nenner multipliziere und indem ich [mm] $\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)$ [/mm] etc. ersetze.
Man erhält, dass die Ausgangsgleichung äquivalent ist zur Bedingung
[mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1$. [/mm]


Sei jetzt ABC ein rechtwinkliges Dreieck und sei oBdA [mm] $\gamma=90°$, [/mm] dann ist [mm] $\cos(\gamma)=0$ [/mm] und [mm] $\cos(\beta)=\sin(\alpha)$. [/mm] Das eingesetzt ergibt
[mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$. [/mm]


Sei jetzt umgekehrt [mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1$. [/mm] Subtraktion mit [mm] $\cos^2(\gamma)$ [/mm] ergibt:

[mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)=1-\cos^2(\gamma)=\sin^2(\gamma)=\sin^2(\alpha+\beta)$ [/mm]

Die letzte Gleichung folgt aus [mm] $\sin(\gamma)=\sin(180°-(\alpha+\beta))=\sin(\alpha+\beta)$. [/mm]
Anwendung des Additionstheorems des Sinus: [mm] $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$ [/mm] ergibt:

[mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)=\sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)+\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)+ 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)$ [/mm]

Wir subtrahieren mit [mm] $\sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)+\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)$ [/mm] und erhalten:

[mm] $\cos^2(\alpha)-\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)+\cos^2(\beta)-\sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)= 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)$ [/mm]

Und daraus:

[mm] $\cos^2(\alpha)(1-\sin^2(\beta))+\cos^2(\beta)(1-\sin^2(\alpha))= 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)$ [/mm]

Und weiter:

[mm] $2\cos^2(\alpha)\cos^2(\beta)= 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)$ [/mm]

Entweder ist [mm] $\cos(\alpha)=0$ ($\alpha=90°$) [/mm] oder [mm] $\cos(\beta)=0$ ($\beta=90°$) [/mm] oder sonst darf man durch [mm] $2\cos^2(\alpha)\cos^2(\beta)\neq [/mm] 0$ dividieren und erhält:

[mm] $1=\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}=\tan(\alpha)\tan(\beta)$. [/mm]

Es ist bekannt, dass wenn [mm] $\tan(\alpha)\tan(\beta)=1$ [/mm] ist (und [mm] $0°<\alpha+\beta<180°$), [/mm]  dann [mm] $\alpha+\beta=90°$ [/mm] (und damit [mm] $\gamma=90°$). [/mm] Diese Tatsache kann man dem Additionstheorem des Tangens entnehmen: [mm] $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$. [/mm]
In diesem Fall ist die rechte Seite (Nenner 0) nicht definiert, was nur der Fall ist, wenn [mm] $\alpha+\beta=90°$ [/mm] ist.

mfG Moudi

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Neue Aufgaben Nr. 9: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mo 21.02.2005
Autor: Hanno

Hallo Moudi!

Klasse, so in der Art hab ichs auch gemacht :-)

Liebe Grüße,
Hanno

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