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Newton-Raphson Fehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Di 31.10.2017
Autor: Paivren

Guten Tag,

ich habe eine Verständnisschwierigkeit zum Fehler bei der  Newton-Raphson-Methode (ein iteratives Verfahren zur Nullstellensuche einer Funktion f).

Wenn die Iteration gegeben ist durch [mm] x_{k+1}=x_{k}-\bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})} [/mm]

dann gilt für den Fehler [mm] e_{k}=x_{0}-x_{k} [/mm] mit [mm] x_{0} [/mm] als exakter Nullstelle zunächst [mm] e_{k+1}=e_{k}+\bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})} [/mm]   (*).

Nun setzt man voraus, dass die Iteration konvergiert. Um die Ordnung der Konvergenz zu erhalten, reicht (*) scheinbar nicht, da auf der rechten Seite ja ein Produkt aus Konstante und [mm] e_{k} [/mm] stehen muss.
Also benutzt man die ersten Glieder der Taylorreihe von [mm] f(x_{k}) [/mm] und setzt [mm] x_{0} [/mm] darin ein und erhält leicht

[mm] e_{k+1}=\bruch{e_{k}^{2}}{2} \bruch{f''(x_{k})}{f'(x_{k})} [/mm]

Und wenn f' und f'' bei [mm] x_{0} [/mm] beschränkt bleiben ist die Ordnung der Konvergenz quadratisch.

Meine Frage:

Wer sagt mir denn, dass der Bruch aus den beiden Ableitungen nicht selbst wieder von [mm] e_{k} [/mm] abhängt? In (*) gab es ja immerhin auch noch eine verborgene Abhängigkeit von [mm] e_{k}. [/mm]


mfG.

Paivren

        
Bezug
Newton-Raphson Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Di 31.10.2017
Autor: leduart

Hallo
wieso sollte denn [mm] f''(x_k)/f'(x_k) [/mm] von der Abweichung der [mm] x_k [/mm] von der Nullstele abhängen?
wenn du f(x) durch g(x)=f(x)+k ersetzt ist g''/g'=f''/f' und nirgends in der Nähe von [mm] x_k [/mm] ne Nullstelle.
Gruß ledum

Bezug
        
Bezug
Newton-Raphson Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:06 Di 31.10.2017
Autor: HJKweseleit


> Guten Tag,
>  
> ich habe eine Verständnisschwierigkeit zum Fehler bei der  
> Newton-Raphson-Methode (ein iteratives Verfahren zur
> Nullstellensuche einer Funktion f).
>  
> Wenn die Iteration gegeben ist durch
> [mm]x_{k+1}=x_{k}-\bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})}[/mm]
>  
> dann gilt für den Fehler [mm]e_{k}=x_{0}-x_{k}[/mm] mit [mm]x_{0}[/mm] als
> exakter Nullstelle zunächst
> [mm]e_{k+1}=e_{k}+\bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})}[/mm]   (*).
>  
> Nun setzt man voraus, dass die Iteration konvergiert. Um
> die Ordnung der Konvergenz zu erhalten, reicht (*)
> scheinbar nicht, da auf der rechten Seite ja ein Produkt
> aus Konstante und [mm]e_{k}[/mm] stehen muss.
>  Also benutzt man die ersten Glieder der Taylorreihe von
> [mm]f(x_{k})[/mm] und setzt [mm]x_{0}[/mm] darin ein und erhält leicht
>  
> [mm]e_{k+1}=\bruch{e_{k}^{2}}{2} \bruch{f''(x_{k})}{f'(x_{k})}[/mm]
>  
> Und wenn f' und f'' bei [mm]x_{0}[/mm] beschränkt bleiben ist die
> Ordnung der Konvergenz quadratisch.
>  
> Meine Frage:
>
> Wer sagt mir denn, dass der Bruch aus den beiden
> Ableitungen nicht selbst wieder von [mm]e_{k}[/mm] abhängt? In (*)
> gab es ja immerhin auch noch eine verborgene Abhängigkeit
> von [mm]e_{k}.[/mm]
>  
>
> mfG.
>  
> Paivren


Du hast völlig Recht: wegen [mm]e_{k}=x_{0}-x_{k}[/mm] ist [mm] x_k=x_0-e_k [/mm] und damit

[mm] e_{k+1}=\bruch{e_{k}^{2}}{2} \bruch{f''(x_k)}{f'(x_{k})}=\bruch{e_{k}^{2}}{2} \bruch{f''(x_0-e_k)}{f'(x_0-e_k)} [/mm]

Im Anhang findest du eine genauere Betrachtung zur Konvergenzabschätzung.
[a]1

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Newton-Raphson Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Mi 01.11.2017
Autor: Paivren

Hallo HJKWeseleit,

danke dir für die Rechnung!
Bei meiner Formel
[mm] e_{k+1}=\bruch{e_{k}^{2}}{2} \bruch{f''(x_{k})}{f'(x_{k})} [/mm]

stand ja noch die Bedingung für quadratische Konvergenz dabei, dass der Bruch der Ableitungen beschränkt sein muss. Dies ist bei mehrfachen Nullstellen ja nicht mehr gegeben.
Durch deine Rechnung sieht man dann, dass die Konvergenz schlechter wird.

Danke dir!

Bezug
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