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Forum "Funktionalanalysis" - Nicht-lin. GL-System Newton-V
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Nicht-lin. GL-System Newton-V: Fehlersuche/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Mi 31.08.2016
Autor: merrie

Aufgabe
Das nichtlineare GL-System
e^-x=e^-y+0.9
x⋅e^−y⋅e^-y=0
hat genau eine LSG. Bestimmen Sie diese näherungsweise mit dem Newton-Verfharen. Führen Sie bei Ihrer Rechnung mind. 6 Nachkommastellen mit und beenden Sie die Iteration, wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe zerbricht mir den Kopf:
e^-x=e^-y+0.9
x⋅e^−y⋅e^-y=0

hat genau eine LSG. Bestimme diese mit Newton.

Mein Vorgehen bisher:

f1(x,y)=e^-x−e^-y−0.9
f2(x,y)=x⋅e^-x−y⋅e^-y
Jacobi-Matrix =
11:−e^-x    12:e^-y
21:e^−x⋅(1−x)22:−e^−y⋅(1−y)

Determinante: e^−x⋅e^−y⋅(x−y)

Inverse Jacobi-Matrix
11:−1/(e^−y⋅(x−y))
12:1/(e^−x⋅(x−y))
21:(1−x)/(e^−y⋅(x−y))
22:−(1−y)/(e^−x⋅(x−y))

Nach ein paar Iterationsschritten bin ich schon im Tausender-Bereich und bekomme keine Näherungs-LSG. Hab auch mit ln gerechnet, leider erfolglos:
f1(x,y):
e^−x=e^−y+0.9→⋅ln
−x=ln(e^−y+0.9)

f2(x,y):
x⋅e^-x=y⋅e^-y→⋅ln
ln(x⋅e^−x)=ln(y⋅e^−y)
ln(x)+ln(e^−x)=ln(y)+ln(e^−y)
ln(x)+(−x)=ln(y)+(−y)

Für die Jacobi-Matrix muss ich f1(x,y) und f2(x,y) jew. ableiten, das ergibt:
Jf11=1→Jf12=−(e^−y)/(e^−y+0.9)
Jf21=1/x−1→Jf22=1−1/y

Daraus det und inverse Jacobi bestimmen und wieder rechnen. aber es kommen groooße Zahlen raus und nicht die laut einem schlauen Programm herausgegebene LSG 0,083814786/3,9321459493).

Kann mir jemand helfen? Ich sehe meine(n) Fehler nicht.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Nichtlineares-Gleichungssystem-LSG-mit-Newton

lieben Dank
marina

        
Bezug
Nicht-lin. GL-System Newton-V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Do 01.09.2016
Autor: meili

Hallo marina,

und [willkommenmr]

> Das nichtlineare GL-System
> e^-x=e^-y+0.9
>  x⋅e^−y⋅e^-y=0
>  hat genau eine LSG. Bestimmen Sie diese näherungsweise
> mit dem Newton-Verfharen. Führen Sie bei Ihrer Rechnung
> mind. 6 Nachkommastellen mit und beenden Sie die Iteration,
> wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.
>  Hallo zusammen,
>  
> folgende Aufgabe zerbricht mir den Kopf:

mit den Eingabehilfen zu Formeln lässt es sich besser lesen
und ist eindeutiger:

>  [mm] $e^{-x}=e^{-y}+0.9$ [/mm]
>  [mm] $x⋅e^{-y}⋅e^{-y}=0$ [/mm]

aber ich bin mir nicht sicher, ob ein Tippfehler dabei ist, da unten bei
[mm] $f_2(x,y)$ [/mm] etwas anderes steht.

>  
> hat genau eine LSG. Bestimme diese mit Newton.
>  
> Mein Vorgehen bisher:
>  
> f1(x,y)=e^-x−e^-y−0.9
>  f2(x,y)=x⋅e^-x−y⋅e^-y
>  Jacobi-Matrix =
>  11:−e^-x    12:e^-y
>  21:e^−x⋅(1−x)22:−e^−y⋅(1−y)

[ok]

>  
> Determinante: e^−x⋅e^−y⋅(x−y)

[ok]
Jetzt habe ich leider keine Zeit, das weiter nachzuvollziehen.

>  
> Inverse Jacobi-Matrix
>  11:−1/(e^−y⋅(x−y))
>  12:1/(e^−x⋅(x−y))
>  21:(1−x)/(e^−y⋅(x−y))
>  22:−(1−y)/(e^−x⋅(x−y))
>  
> Nach ein paar Iterationsschritten bin ich schon im
> Tausender-Bereich und bekomme keine Näherungs-LSG. Hab
> auch mit ln gerechnet, leider erfolglos:
>  f1(x,y):
>  e^−x=e^−y+0.9→⋅ln
>  −x=ln(e^−y+0.9)
>  
> f2(x,y):
>  x⋅e^-x=y⋅e^-y→⋅ln
>  ln(x⋅e^−x)=ln(y⋅e^−y)
>  ln(x)+ln(e^−x)=ln(y)+ln(e^−y)
>  ln(x)+(−x)=ln(y)+(−y)
>  
> Für die Jacobi-Matrix muss ich f1(x,y) und f2(x,y) jew.
> ableiten, das ergibt:
>  Jf11=1→Jf12=−(e^−y)/(e^−y+0.9)
>  Jf21=1/x−1→Jf22=1−1/y
>  
> Daraus det und inverse Jacobi bestimmen und wieder rechnen.
> aber es kommen groooße Zahlen raus und nicht die laut
> einem schlauen Programm herausgegebene LSG
> 0,083814786/3,9321459493).
>  
> Kann mir jemand helfen? Ich sehe meine(n) Fehler nicht.
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Nichtlineares-Gleichungssystem-LSG-mit-Newton
>  
> lieben Dank
>  marina

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Nicht-lin. GL-System Newton-V: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:52 Do 01.09.2016
Autor: chrisno

[mm] $e^{−x} =e^{−y}+0.9$ [/mm]
[mm] $x⋅e^{−x}$ [/mm] − [mm] $y⋅e^{−y}=0$ [/mm]
vermute ich als korrekte Darstellung des Gleichungssystems.
(Der Formeleditor schluckt das Minuszeichen in der zweiten Gleichung.)

Ob das Newton-Verfahren konvergiert, hängt durchaus auch von den Startwerten ab. Hast Du es einmal mit Startwerten in der Nähe des Ziels probiert?

Bezug
        
Bezug
Nicht-lin. GL-System Newton-V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Do 01.09.2016
Autor: meili

Hallo marina,

> Das nichtlineare GL-System
> e^-x=e^-y+0.9
>  x⋅e^−y⋅e^-y=0
>  hat genau eine LSG. Bestimmen Sie diese näherungsweise
> mit dem Newton-Verfharen. Führen Sie bei Ihrer Rechnung
> mind. 6 Nachkommastellen mit und beenden Sie die Iteration,
> wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.
>  Hallo zusammen,
>  
> folgende Aufgabe zerbricht mir den Kopf:
>  e^-x=e^-y+0.9
>  x⋅e^−y⋅e^-y=0
>  
> hat genau eine LSG. Bestimme diese mit Newton.
>  
> Mein Vorgehen bisher:
>  
> f1(x,y)=e^-x−e^-y−0.9
>  f2(x,y)=x⋅e^-x−y⋅e^-y
>  Jacobi-Matrix =
>  11:−e^-x    12:e^-y
>  21:e^−x⋅(1−x)22:−e^−y⋅(1−y)
>  
> Determinante: e^−x⋅e^−y⋅(x−y)
>  
> Inverse Jacobi-Matrix
>  11:−1/(e^−y⋅(x−y))
>  12:1/(e^−x⋅(x−y))
>  21:(1−x)/(e^−y⋅(x−y))
>  22:−(1−y)/(e^−x⋅(x−y))

Wenn man die obige Jacobi-Matrix und diese inverse Jacobi-Matrix
multipliziert, ergibt es keine Einheitsmatrix.

Für die Inverse Jacobi-Matrix komme ich auf:

[mm] $\pmat{\bruch{e^x(1-y)}{y-x} & \bruch{e^x}{y-x} \\ \bruch{e^y(1-x)}{y-x} & \bruch{e^y}{y-x} }$ [/mm]

>  
> Nach ein paar Iterationsschritten bin ich schon im
> Tausender-Bereich und bekomme keine Näherungs-LSG. Hab
> auch mit ln gerechnet, leider erfolglos:
>  f1(x,y):
>  e^−x=e^−y+0.9→⋅ln
>  −x=ln(e^−y+0.9)
>  
> f2(x,y):
>  x⋅e^-x=y⋅e^-y→⋅ln
>  ln(x⋅e^−x)=ln(y⋅e^−y)
>  ln(x)+ln(e^−x)=ln(y)+ln(e^−y)
>  ln(x)+(−x)=ln(y)+(−y)
>  
> Für die Jacobi-Matrix muss ich f1(x,y) und f2(x,y) jew.
> ableiten, das ergibt:
>  Jf11=1→Jf12=−(e^−y)/(e^−y+0.9)
>  Jf21=1/x−1→Jf22=1−1/y
>  
> Daraus det und inverse Jacobi bestimmen und wieder rechnen.
> aber es kommen groooße Zahlen raus und nicht die laut
> einem schlauen Programm herausgegebene LSG
> 0,083814786/3,9321459493).
>  
> Kann mir jemand helfen? Ich sehe meine(n) Fehler nicht.
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Nichtlineares-Gleichungssystem-LSG-mit-Newton
>  
> lieben Dank
>  marina

Gruß
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Bezug
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