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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Nicht-resonante Terme entferne
Nicht-resonante Terme entferne < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nicht-resonante Terme entferne: Wie transformieren?
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:22 Mi 20.01.2016
Autor: sick_of_math

Aufgabe
Bringe das System
$$
[mm] x'=y+xz,\quad y'=x^2+y^2+z^2,\quad [/mm] z'=-2z+xy
$$
in eine Normalform der zweiten Ordnung, d.h. finde Transformationen, die alle nicht-resonanten quadratischen Terme entfernt.


Nabend,

die Ruhelage ist $(0,0,0)$ mit Linearisierungsmatrix
$$
[mm] A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & -2\end{pmatrix}, [/mm]
$$
d.h. die Eigenwerte sind
$$
[mm] \lambda_1=\lambda_2=0,\lambda_3=-2. [/mm]
$$

Somit ist in der ersten Gleichung der Term $xz$, in der zweiten Gleichung der Term [mm] $z^2$ [/mm] und in der dritten Gleichung der Term $xy$ zu entfernen.

Ansatz:

Koordinatentransformation
$$
[mm] X=x+a_1y^2+a_2yz+a_3z^2,\quad Y=y+b_1x^2+b_2xz+b_3 z^2,\quad Z=z+c_1x^2+c_2xy+c_3 y^2. [/mm]
$$

Dies eingesetzt in das Systeme ergibt
$$
[mm] X'=Y+XZ=y+b_1x^2+b_2xz+b_3z^2+xz+\text{ Terme der Ordnung 3 oder höher}~~(1), [/mm]
$$
$$
[mm] Y'=X^2+Y^2+Z^2=x^2+y^2+z^2+\text{ Terme der Ordnung 3 oder höher}~~(2) [/mm]
$$
and
$$
[mm] Z'=-2z-2c_1x^2-2c_2xy-2c_3y^2+xy+\text{ Terme der Ordnung 3 oder höher}~~~(3). [/mm]
$$

Jetzt muss man die Koeffizienten [mm] $a_i,b_i,c_i, [/mm] i=1,2,3$ so bestimmen, dass die Terme der Ordnung 2 alle wegfallen.

(1) ergibt doch
$$
[mm] b_1=b_3=0, b_2=-1. [/mm]
$$

Aber wie ich die anderen Koeffizienten bestimmen kann, weiß ich nicht, denn z.B. in (2)  tauchen bei den quadratischen Termen ja gar keine der Koeffizienten auf!



Komisch! Weiß jemand Rat?


        
Bezug
Nicht-resonante Terme entferne: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Mi 20.01.2016
Autor: Hias

Hallo,
ich bin mir jetzt auch nicht 100%-ig sicher, aber aus Gleichung (3) sollte man doch noch die [mm] $c_i$´s [/mm] ablesen können und was genau hindert dich daran, die [mm] $a_i$´s [/mm] =0 zu setzen?
Wenn ich mir die Gleichung so ansehe, dann taucht das x immer zusammen mit einem y oder z, oder im Quadrat auf. Somit kann mit deinem Ansatz deine $ [mm] a_i$'s [/mm] frühestens ab der Ordnung 3 auftauchen.
MfG
Hias

Bezug
        
Bezug
Nicht-resonante Terme entferne: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Fr 22.01.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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