matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenNiveaumengen, Niveaulinien
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Niveaumengen, Niveaulinien
Niveaumengen, Niveaulinien < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Niveaumengen, Niveaulinien: Skizzieren der Niveaulinien
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Sa 14.01.2017
Autor: kobold123

Aufgabe
Skizzieren sie die Niveaulinien zu bel. Niveaus [mm] \alpha: [/mm]
f(x,y) = [mm] \bruch{x+y}{(x+1-y)^{2}+1+2*x*y} [/mm]

Guten Abend

Zunächst:

[mm] \alpha [/mm] = f(x,y)

[mm] \alpha [/mm] * [mm] [(x+1-y)^{2}+1+2*x*y] [/mm] = x + y

[mm] x^{2}+2*x+y^{2}-2*y+2 [/mm] = [mm] \bruch{x}{\alpha} [/mm] + [mm] \bruch{y}{\alpha} [/mm]

[mm] (x+1)^{2} [/mm] + [mm] (y-1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{\alpha} [/mm] + [mm] \bruch{y}{\alpha} [/mm]

Kreis(e) mit Mittelpunkt (-1;1) und Radius [mm] \wurzel{\bruch{x+y}{\alpha}} [/mm]

und für [mm] \alpha [/mm] = 0 ist x+y = 0 <=> y = -x.

An dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter, da ich jetzt zum Beispiel für [mm] \alpha [/mm] = 1 für den Radius [mm] \wurzel{x+y} [/mm] erhalten würde, aber nicht weiß wie ich das jetzt einzeichnen soll. Also mir feheln konkrete Werte zum skizzieren.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Lg
  


        
Bezug
Niveaumengen, Niveaulinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 So 15.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Skizzieren sie die Niveaulinien zu bel. Niveaus [mm]\alpha:[/mm]
> f(x,y) = [mm]\bruch{x+y}{(x+1-y)^{2}+1+2*x*y}[/mm]
> Guten Abend

>

> Zunächst:

>

> [mm]\alpha[/mm] = f(x,y)

>

> [mm]\alpha[/mm] * [mm][(x+1-y)^{2}+1+2*x*y][/mm] = x + y

>

> [mm]x^{2}+2*x+y^{2}-2*y+2[/mm] = [mm]\bruch{x}{\alpha}[/mm] +
> [mm]\bruch{y}{\alpha}[/mm]

>

> [mm](x+1)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm] = [mm]\bruch{x}{\alpha}[/mm] +
> [mm]\bruch{y}{\alpha}[/mm]

>

> Kreis(e) mit Mittelpunkt (-1;1) und Radius
> [mm]\wurzel{\bruch{x+y}{\alpha}}[/mm]

>

> und für [mm]\alpha[/mm] = 0 ist x+y = 0 <=> y = -x.

>

Das ist ja auch überhaupt nicht zielführend, so lange die Gleichung nicht nach y aufgelöst wird.

Anmerkung:
Deine obige Rechnung ist korrekt.

Gehen wir von einem gemeinsamen Stand aus und nehmen

[mm] \frac{x+y}{(x+1)^2+(y-1)^2}=\alpha[/mm]

Das ist schnell umgeformt zu

[mm]\alpha*(y-1)^2-y=x-\alpha*(x+1)^2[/mm]

Und das musst du jetzt vollends nach y auflösen (Achtung: Fallunterscheidung nicht vergessen!).


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Niveaumengen, Niveaulinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 So 15.01.2017
Autor: HJKweseleit


> Skizzieren sie die Niveaulinien zu bel. Niveaus [mm]\alpha:[/mm]
>  f(x,y) = [mm]\bruch{x+y}{(x+1-y)^{2}+1+2*x*y}[/mm]
>  Guten Abend
>  
> Zunächst:
>  
> [mm]\alpha[/mm] = f(x,y)
>  
> [mm]\alpha[/mm] * [mm][(x+1-y)^{2}+1+2*x*y][/mm] = x + y
>  
> [mm]x^{2}+2*x+y^{2}-2*y+2[/mm] = [mm]\bruch{x}{\alpha}[/mm] +
> [mm]\bruch{y}{\alpha}[/mm]
>  
> [mm](x+1)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm] = [mm]\bruch{x}{\alpha}[/mm] +  [mm]\bruch{y}{\alpha}[/mm]





Setze u=x+1 und v=y-1. Damit erhältst du

[mm]u^{2}[/mm] + [mm]v^{2}[/mm] = [mm]\bruch{u-1}{\alpha}[/mm] +  [mm]\bruch{v+1}{\alpha}[/mm]= [mm]\bruch{u}{\alpha}[/mm] +  [mm]\bruch{v}{\alpha}[/mm]

Nun fasst du die us und vs zusammen (quadratische Ergänzung):

[mm]u^{2}[/mm] - [mm]\bruch{u}{\alpha}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4\alpha^2}[/mm] + [mm]v^{2}[/mm] - [mm]\bruch{v}{ \alpha}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4\alpha^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\alpha^2}[/mm]

[mm] (u-\bruch{1}{2\alpha})^2 [/mm] + [mm] (v-\bruch{1}{2\alpha})^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\alpha^2} [/mm]

Du erhältst somit Kreise mit dem Mittelpunkt [mm] (u|v)=(\bruch{1}{2\alpha}|\bruch{1}{2\alpha}), [/mm] also [mm] (x+1|y-1)=(\bruch{1}{2\alpha}|\bruch{1}{2\alpha}), [/mm] also [mm] (x|y)=(\bruch{1}{2\alpha}-1|\bruch{1}{2\alpha}+1) [/mm] und dem Radius [mm] (u|v)=\bruch{1}{\wurzel{2}\alpha} [/mm]

Für die Mittelpunkte [mm] (x|y)=(\bruch{1}{2\alpha}-1|\bruch{1}{2\alpha}+1) [/mm] gilt: y-x=2, sie liegen also alle auf der Geraden mit y=x+2.

Im u-v-Koordinatensystem erkennt man, dass alle Kreise durch (0|0) gehen:

[mm] (0-\bruch{1}{2\alpha})^2 [/mm] + [mm] (0-\bruch{1}{2\alpha})^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\alpha^2}. [/mm]

Also gehen im x-y-Koordinatensystem alle Kreise durch (-1|1).





Bezug
                
Bezug
Niveaumengen, Niveaulinien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 So 15.01.2017
Autor: kobold123

Vielen Dank für die schnellen Antworten.

Bezug
                
Bezug
Niveaumengen, Niveaulinien: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 So 15.01.2017
Autor: HJKweseleit


>  Also gehen im x-y-Koordinatensystem alle Kreise durch (-1|1).

  

Da  der gemeinsame Punkt (-1|1) ebenfalls auf der Geraden mit y=x+2 liegt, auf der die Mittelpunkte liegen, fallen alle Radien, die von den Mittelpunkten zum gemeinsamen Punkt (-1|1) führen, aufeinander. Das bedeutet, dass alle Kreise in (-1|1) eine gemeinsame Tangente haben (y = - x ) und sich in (-1|1) nur berühren.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 5h 50m 1. sancho1980
STrigoFktn/Cosinus und Arc Cosinus
Status vor 8h 53m 1. Prospekthuellen
UStoc/Galton-Watson mit max. Höhe
Status vor 1d 11h 30m 7. maggieNess
Taschenrechner/Tinspire Cx Cas Einstellungen
Status vor 1d 21h 13m 8. donquijote
DiffGlGew/Lösungsmethode DGL´s
Status vor 2d 9. Eisfisch
S5-7/Gemischte Brüche
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]