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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Niveaumengen, Niveaulinien
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Niveaumengen, Niveaulinien: Skizzieren der Niveaulinien
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Sa 14.01.2017
Autor: kobold123

Aufgabe
Skizzieren sie die Niveaulinien zu bel. Niveaus [mm] \alpha: [/mm]
f(x,y) = [mm] \bruch{x+y}{(x+1-y)^{2}+1+2*x*y} [/mm]

Guten Abend

Zunächst:

[mm] \alpha [/mm] = f(x,y)

[mm] \alpha [/mm] * [mm] [(x+1-y)^{2}+1+2*x*y] [/mm] = x + y

[mm] x^{2}+2*x+y^{2}-2*y+2 [/mm] = [mm] \bruch{x}{\alpha} [/mm] + [mm] \bruch{y}{\alpha} [/mm]

[mm] (x+1)^{2} [/mm] + [mm] (y-1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{\alpha} [/mm] + [mm] \bruch{y}{\alpha} [/mm]

Kreis(e) mit Mittelpunkt (-1;1) und Radius [mm] \wurzel{\bruch{x+y}{\alpha}} [/mm]

und für [mm] \alpha [/mm] = 0 ist x+y = 0 <=> y = -x.

An dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter, da ich jetzt zum Beispiel für [mm] \alpha [/mm] = 1 für den Radius [mm] \wurzel{x+y} [/mm] erhalten würde, aber nicht weiß wie ich das jetzt einzeichnen soll. Also mir feheln konkrete Werte zum skizzieren.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Lg
  


        
Bezug
Niveaumengen, Niveaulinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 So 15.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Skizzieren sie die Niveaulinien zu bel. Niveaus [mm]\alpha:[/mm]
> f(x,y) = [mm]\bruch{x+y}{(x+1-y)^{2}+1+2*x*y}[/mm]
> Guten Abend

>

> Zunächst:

>

> [mm]\alpha[/mm] = f(x,y)

>

> [mm]\alpha[/mm] * [mm][(x+1-y)^{2}+1+2*x*y][/mm] = x + y

>

> [mm]x^{2}+2*x+y^{2}-2*y+2[/mm] = [mm]\bruch{x}{\alpha}[/mm] +
> [mm]\bruch{y}{\alpha}[/mm]

>

> [mm](x+1)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm] = [mm]\bruch{x}{\alpha}[/mm] +
> [mm]\bruch{y}{\alpha}[/mm]

>

> Kreis(e) mit Mittelpunkt (-1;1) und Radius
> [mm]\wurzel{\bruch{x+y}{\alpha}}[/mm]

>

> und für [mm]\alpha[/mm] = 0 ist x+y = 0 <=> y = -x.

>

Das ist ja auch überhaupt nicht zielführend, so lange die Gleichung nicht nach y aufgelöst wird.

Anmerkung:
Deine obige Rechnung ist korrekt.

Gehen wir von einem gemeinsamen Stand aus und nehmen

[mm] \frac{x+y}{(x+1)^2+(y-1)^2}=\alpha[/mm]

Das ist schnell umgeformt zu

[mm]\alpha*(y-1)^2-y=x-\alpha*(x+1)^2[/mm]

Und das musst du jetzt vollends nach y auflösen (Achtung: Fallunterscheidung nicht vergessen!).


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Niveaumengen, Niveaulinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 So 15.01.2017
Autor: HJKweseleit


> Skizzieren sie die Niveaulinien zu bel. Niveaus [mm]\alpha:[/mm]
>  f(x,y) = [mm]\bruch{x+y}{(x+1-y)^{2}+1+2*x*y}[/mm]
>  Guten Abend
>  
> Zunächst:
>  
> [mm]\alpha[/mm] = f(x,y)
>  
> [mm]\alpha[/mm] * [mm][(x+1-y)^{2}+1+2*x*y][/mm] = x + y
>  
> [mm]x^{2}+2*x+y^{2}-2*y+2[/mm] = [mm]\bruch{x}{\alpha}[/mm] +
> [mm]\bruch{y}{\alpha}[/mm]
>  
> [mm](x+1)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm] = [mm]\bruch{x}{\alpha}[/mm] +  [mm]\bruch{y}{\alpha}[/mm]





Setze u=x+1 und v=y-1. Damit erhältst du

[mm]u^{2}[/mm] + [mm]v^{2}[/mm] = [mm]\bruch{u-1}{\alpha}[/mm] +  [mm]\bruch{v+1}{\alpha}[/mm]= [mm]\bruch{u}{\alpha}[/mm] +  [mm]\bruch{v}{\alpha}[/mm]

Nun fasst du die us und vs zusammen (quadratische Ergänzung):

[mm]u^{2}[/mm] - [mm]\bruch{u}{\alpha}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4\alpha^2}[/mm] + [mm]v^{2}[/mm] - [mm]\bruch{v}{ \alpha}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4\alpha^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\alpha^2}[/mm]

[mm] (u-\bruch{1}{2\alpha})^2 [/mm] + [mm] (v-\bruch{1}{2\alpha})^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\alpha^2} [/mm]

Du erhältst somit Kreise mit dem Mittelpunkt [mm] (u|v)=(\bruch{1}{2\alpha}|\bruch{1}{2\alpha}), [/mm] also [mm] (x+1|y-1)=(\bruch{1}{2\alpha}|\bruch{1}{2\alpha}), [/mm] also [mm] (x|y)=(\bruch{1}{2\alpha}-1|\bruch{1}{2\alpha}+1) [/mm] und dem Radius [mm] (u|v)=\bruch{1}{\wurzel{2}\alpha} [/mm]

Für die Mittelpunkte [mm] (x|y)=(\bruch{1}{2\alpha}-1|\bruch{1}{2\alpha}+1) [/mm] gilt: y-x=2, sie liegen also alle auf der Geraden mit y=x+2.

Im u-v-Koordinatensystem erkennt man, dass alle Kreise durch (0|0) gehen:

[mm] (0-\bruch{1}{2\alpha})^2 [/mm] + [mm] (0-\bruch{1}{2\alpha})^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\alpha^2}. [/mm]

Also gehen im x-y-Koordinatensystem alle Kreise durch (-1|1).





Bezug
                
Bezug
Niveaumengen, Niveaulinien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 So 15.01.2017
Autor: kobold123

Vielen Dank für die schnellen Antworten.

Bezug
                
Bezug
Niveaumengen, Niveaulinien: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 So 15.01.2017
Autor: HJKweseleit


>  Also gehen im x-y-Koordinatensystem alle Kreise durch (-1|1).

  

Da  der gemeinsame Punkt (-1|1) ebenfalls auf der Geraden mit y=x+2 liegt, auf der die Mittelpunkte liegen, fallen alle Radien, die von den Mittelpunkten zum gemeinsamen Punkt (-1|1) führen, aufeinander. Das bedeutet, dass alle Kreise in (-1|1) eine gemeinsame Tangente haben (y = - x ) und sich in (-1|1) nur berühren.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
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