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Forum "Geraden und Ebenen" - Normalenvektor der xy-Ebene
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Normalenvektor der xy-Ebene: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Fr 02.12.2005
Autor: Heidschnucke

Hallo!
Ich habe einige Probleme mit folgender Aufgabe:

Gegeben sind die 4 Punkte P1 (2/-3/2), P2 (-1/3/6), P3 (5/-5/0) und P4 (6/-7/15). Bestimme den Winkel, den E mit der xy-Ebene einschließt.

Die Ebenengleichung habe ich schon berechnet:
E =  [mm] \pmat{ 2 \\ -3 \\ 2 } [/mm] +  [mm] \lambda \pmat{ -3 \\ 6 \\ 4 } [/mm] +  [mm] \mu \pmat{ 3 \\ -2 \\ -2 } [/mm]
Der Normalenvektor der Ebene lautet:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{ -4 \\ 6 \\ -12 } [/mm]
Den Winkel zwischen 2 Ebenen berechnet man doch mithilfe von den Normalvektoren der beiden Ebenen, also so, oder?!
cos  [mm] \delta [/mm] = ( [mm] \vmat{ \vec{n1} * \vec{n2} }) [/mm] / (  [mm] \vmat{ n1 } [/mm] *  [mm] \vmat{ n2 }) [/mm]
Was ist denn jetzt der Normalenvektor der xy-Ebene? Das ist doch nicht der Nullvektor (oder irgendein andrer Vektor, der dann 0 ist), sonst wäre das Ergebnis ja 0 und daher der Winkel 90°, aber dann wäre der Winkel ja immer 90°, das kann es ja auch nicht sein...
Sorry, dass ich mich hier so kompliziert ausgedrückt hab, ich hoffe, dass ihr mich irgendwie verstehen konntet... =)
Vielen Dank,
Heidschnucke

        
Bezug
Normalenvektor der xy-Ebene: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Fr 02.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Heidschnucke!


> Die Ebenengleichung habe ich schon berechnet:
> E =  [mm]\pmat{ 2 \\ -3 \\ 2 }[/mm] +  [mm]\lambda \pmat{ -3 \\ 6 \\ 4 }[/mm] +  [mm]\mu \pmat{ 3 \\ -2 \\ -2 }[/mm]

[ok] Zumindest ist das die Ebene durch die Punkte [mm] $P_1$ [/mm] , [mm] $P_2$ [/mm] und [mm] $P_3$ [/mm] .


> Der Normalenvektor der Ebene lautet:
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\pmat{ -4 \\ 6 \\ -12 }[/mm]

[ok] Genauer: das ist ein Normalenvektor, schließlich gibt es unendlich viele.


> Den Winkel zwischen 2
> Ebenen berechnet man doch mithilfe von den Normalvektoren
> der beiden Ebenen, also so, oder?!
> cos  [mm]\delta[/mm] = ( [mm]\vmat{ \vec{n1} * \vec{n2} })[/mm] / (  [mm]\vmat{ n1 }[/mm] *  [mm]\vmat{ n2 })[/mm]

Ich denke, Du meinst das richtige: im Nenner werden die Beträge der entsprechenden Vektoren eingesetzt:

[mm] $\cos(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\vec{n_1}*\vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right|*\left|\vec{n_2}\right|}$ [/mm]


> Was ist denn jetzt der Normalenvektor der xy-Ebene?

Stell Dir vor, Du stehst innerhalb des Koordinatensystem vor der xy-Ebene. Das heißt, eigentlich stehst Du dann direkt drauf mit Deinen Schuhsohlen.

Welche der drei Koordinatenachsen steht nun senkrecht auf diese Ebene, d.h. verläuft exakt senkrecht?

Richtig ... die z-Achse. Kannst Du einen Vektor benennen, der exakt auf der z-Achse verläuft?
Das ist Dein gesuchter Normalenvektor für die xy-Ebene.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Normalenvektor der xy-Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Sa 03.12.2005
Autor: Heidschnucke

Hallo Loddar!
Vielen Dank für deine Hilfe, ich hoffe, dass ich jetzt alles richtig gemacht habe...

> Stell Dir vor, Du stehst innerhalb des Koordinatensystem
> vor der xy-Ebene. Das heißt, eigentlich stehst Du dann
> direkt drauf mit Deinen Schuhsohlen.
>  
> Welche der drei Koordinatenachsen steht nun senkrecht auf
> diese Ebene, d.h. verläuft exakt senkrecht?
>  
> Richtig ... die z-Achse. Kannst Du einen Vektor benennen,
> der exakt auf der z-Achse verläuft?
>  Das ist Dein gesuchter Normalenvektor für die xy-Ebene.

Ist dann  [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] ein Normalenvektor (von vielen) der xy-Ebene?
Wenn ich in die Gleichung

> [mm]\cos(\alpha) = \bruch{\vec{n_1}*\vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right|*\left|\vec{n_2}\right|}[/mm]

die konkreten Werte einsetze
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }*\pmat{ -4 \\ 6 \\ -12 }}{1*14} [/mm]
erhalte ich dann als Ergebnis - [mm] \bruch{6}{7}. [/mm]
Als Winkel folgt doch dann  [mm] \alpha [/mm] = 148,99° oder?!
Nochmal ein großes Dankeschön für die Hilfe!!
Viele Grüße,
Heidschnucke

Bezug
                        
Bezug
Normalenvektor der xy-Ebene: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 So 04.12.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Heidschnucke!


So stimmt es [ok] ...


Gruß
Loddar


Bezug
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