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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Normalform orthogonaler Matrix
Normalform orthogonaler Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Normalform orthogonaler Matrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Di 30.09.2008
Autor: Noki-2003

Aufgabe
Geben Sie mit Beweis die Normalform folgender Matrix [mm] A\in [/mm] O(4)an:

[mm] A=\pmat{0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0} [/mm]

Hallo,

ich weiß leider nicht so genau, wie ich an die Aufgabe richtig heran gehen soll. Liegt wahrscheinlich daran, dass ich nicht so genau weiß, was mit der Normalform gemeint ist. Das charakteristische Polynom und die Eigenwerte hab ich schon mal bestimmt - [mm] P(x)=(x^2+1)^2 [/mm]    Eigenwerte sind dann i und -i jeweils mit algebraischer Vielfachheit 2. Wie ich jetzt weiter zu der gesuchten Matrix komme, weiß ich leider nicht. Vielleicht gibt es ja auch noch einen anderen Weg. Es handelt sich ja auch um eine Drehmatrix, da die Matrix orthogonal ist und die Determinante 1.

Vielen Dank schon mal für die Hilfe.

Viele Grüße
Noki-2003

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)



        
Bezug
Normalform orthogonaler Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Di 30.09.2008
Autor: EasyLee

Hallo!

Sorry erst ma.  
du musst jetzt zu den eigenwerten die eigenvektoren bestimmen. Dann sind wenn du alle erhaltenen Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix packst diese Matrix gesuchte Form.

gruß
EasyLee


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Normalform orthogonaler Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Di 30.09.2008
Autor: Noki-2003

Hi!

Vielen Dank für die Antwort.
Hab jetzt mal die Eigenvektoren ausgerechnet -
[mm] Eig(A,i)=<\vektor{0\\-i\\0\\1}&\vektor{-i\\0\\1\\0}> [/mm]
Entsprechend konjugiert für -i.
Wenn ich die vier Vektoren jetzt als meine Spalten der Matrix nehme, komme ich aber leider nicht auf die Lösung die raus kommen sollte. Die Matrix die rauskommen sollte, ist
[mm] A=\pmat{0&-1&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0} [/mm]
Weiß nur leider nicht wie man dort hin kommt :-(

Viele Grüße
Noki-2003

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Bezug
Normalform orthogonaler Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Di 30.09.2008
Autor: EasyLee

mist, ich bin zu doof. du musst vier eigenwerte erhalten haben (i,-i,i,-i) dann hast du auch vier Eigenvektoren. Als spalten der neuen matrix ist das [mm] \pmat{ -i & 0 & 0 & i \\ 0 & -i & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0}. [/mm]

Das ist die Matrix mit der du diagonalisieren kannst. Zum beweis must du dann nur Def nachrechnen mit deinen Matrizen.

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Normalform orthogonaler Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Di 30.09.2008
Autor: Noki-2003

Sorry, bin gerade völlig verwirrt...klingt so einfach, aber ich weiß leider immer noch nicht wie ich von meiner Matrix mit den i zu der Lösungsmatrix komme:-(
Wie meinst du das mit dem diagonalisieren?

Bezug
                                        
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Normalform orthogonaler Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Di 30.09.2008
Autor: vivo

aber prüf mal die eigenvektoren ... ich glaube die stimmen nicht

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Bezug
Normalform orthogonaler Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Di 30.09.2008
Autor: Noki-2003

Hab die Eigenvektoren überprüft...müssten m.E. stimmen...

Bezug
                                        
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Normalform orthogonaler Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Di 30.09.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

vorausgesetzt, Deine Eigenvektoren stimmen, dann ergibt


$ [mm] \pmat{ -i & 0 & 0 & i \\ 0 & -i & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0}^{-1}A \pmat{ -i & 0 & 0 & i \\ 0 & -i & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0}. [/mm] $

eine Diagonalmatrix, welche die gesuchte Normalform ist.


Du hast zunächst die Eigenvektoren bestimmt und festgestellt: es gibt eine Basis, die aus Eigenvektoren besteht.

Bzgl. dieser Basis hat die darstellende Matrix der durch A repräsentierten Abbildung Diagonalgestalt.

Gruß v. Angela

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Normalform orthogonaler Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Di 30.09.2008
Autor: vivo

Hallo,

also deine Matrix A, die gesuchte nennen wir mal A' dann:

A' = [mm] C^{-1} [/mm] A C

wobei C die Matrix ist, welche als Spalten die Eigenvektoren zu den Eigenwerten von A hat. Die Matrix A' die dabei rauskommt ist diagonal und hat als einträge auf der diagonale die Eigenwerte stehen.

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