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Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Mo 25.09.2006
Autor: Riley

HI !
Im Bosch ist ja definiert, dass eine Untergruppe H aus G Normalteiler von G heißt, wenn die zugehörigen Links-und Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
In dem Buch von Michael Artin ist eine Untergruppe N von G als Normalteiler definiert, wenn für jedes a aus N und jedes b aus G das Konjugierte [mm] bab^{-1} [/mm] von a unter b in N liegt.
Kann man dann sagen, dass wenn von einer Untergruppe die zugehörigen nebenklassen übereinstimmen, das Konjugierte (wie oben) in der Untergruppe liegt? würde diese äquivalenz stimmen?
viele grüße
riley

        
Bezug
Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Mi 27.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo Riley,

>  Im Bosch ist ja definiert, dass eine Untergruppe H aus G
> Normalteiler von G heißt, wenn die zugehörigen Links-und
> Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
>  In dem Buch von Michael Artin ist eine Untergruppe N von G
> als Normalteiler definiert, wenn für jedes a aus N und
> jedes b aus G das Konjugierte [mm]bab^{-1}[/mm] von a unter b in N
> liegt.
>  Kann man dann sagen, dass wenn von einer Untergruppe die
> zugehörigen nebenklassen übereinstimmen, das Konjugierte
> (wie oben) in der Untergruppe liegt? würde diese äquivalenz
> stimmen?

Ja, wenn Du mit dem "Übereinstimmen der zugehörigen Nebenklassen" meinst, dass die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen, dann sind Deine beiden Bedingungen äquivalent:

[mm]\begin{array}{llll} \mbox{ $N$ Normatteiler in $G$ } & :\gdw & aN=Na & \forall a\in G \\ & :\gdw & aNa^{-1}=N & \forall a\in G \\ & :\gdw & aNa^{-1}\subset N & \forall a\in G \\ & :\gdw & ana^{-1}\in N & \forall a\in G, \forall n\in N\end{array}[/mm]

(Deine beiden Bedingungen findest Du in der ersten und letzten Zeile ;-))

Gruß, Frusciante

Bezug
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