matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStatistik (Anwendungen)Normalverteilung Abstand
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Statistik (Anwendungen)" - Normalverteilung Abstand
Normalverteilung Abstand < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Statistik (Anwendungen)"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Normalverteilung Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Di 15.03.2016
Autor: capron02

Aufgabe
Es sei die Variable X normalverteilt, mit beliebigen [mm] $\mu\in\mathrm{R}, \sigma>0$. [/mm] Sie nehmen 9 unabhängige Werte von X.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens einer der neun Werte mindestens [mm] $2\sigma$ [/mm] von [mm] $\mu$ [/mm] entfernt?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat das arithmetische Mittel der X-Werte von [mm] $\mu$ [/mm] mindestens den Abstand [mm] $\sigma$ [/mm] von [mm] $\mu$? [/mm]

Lösungsidee für die a)

zuerst habe ich die Wahrscheinlichkeit für den Abstand berechnet:

[mm] $P(\mu-2\sigma\leq [/mm] X [mm] \leq \mu+2\sigma)=1-2\cdot\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}\right) [/mm] = [mm] 1-2\cdot\phi_{0,1}(-2)=1-2\cdot [/mm] 0{,}02275=0{,}9545$

Dann habe ich das ganze als Binomialverteilung interpretiert:

[mm] $P(X\leq1)=\sum_{k=0}^1 {9\choose k} 0{,}9545^k\cdot (1-0{,}9545)^{9-k} [/mm] = [mm] 1{,}58\cdot 10^{-10} \approx [/mm] 0$

Jetzt weiß ich leider nicht, ob das so korrekt war.

Für die b) habe ich leider keinerlei Ahnung wie ich das arithmetische Mittel darstellen kann.

Vielen Dank im Voraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Normalverteilung Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Di 15.03.2016
Autor: statler


> Es sei die Variable X normalverteilt, mit beliebigen
> [mm]\mu\in\mathrm{R}, \sigma>0[/mm]. Sie nehmen 9 unabhängige Werte
> von X.
>  
> (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens einer der
> neun Werte mindestens [mm]2\sigma[/mm] von [mm]\mu[/mm] entfernt?
>  (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat das arithmetische
> Mittel der X-Werte von [mm]\mu[/mm] mindestens den Abstand [mm]\sigma[/mm]
> von [mm]\mu[/mm]?

Hallo, willkommen im Matheraum!

>  Lösungsidee für die a)
>  
> zuerst habe ich die Wahrscheinlichkeit für den Abstand
> berechnet:
>  
> [mm]P(\mu-2\sigma\leq X \leq \mu+2\sigma)=1-2\cdot\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}\right) = 1-2\cdot\phi_{0,1}(-2)=1-2\cdot 0{,}02275=0{,}9545[/mm]
>  
> Dann habe ich das ganze als Binomialverteilung
> interpretiert:
>  
> [mm]P(X\leq1)=\sum_{k=0}^1 {9\choose k} 0{,}9545^k\cdot (1-0{,}9545)^{9-k} = 1{,}58\cdot 10^{-10} \approx 0[/mm]
>  
> Jetzt weiß ich leider nicht, ob das so korrekt war.

Was sagt denn deine Intuition (= gesunder Menschenverstand) zu dieser Lösung? Du hast jetzt die W. dafür ausgerechnet, daß höchstens 1 Wert im [mm] 2$\sigma$-Bereich [/mm] liegt. Die ist allerdings klein.

>  
> Für die b) habe ich leider keinerlei Ahnung wie ich das
> arithmetische Mittel darstellen kann.

Es gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen dem [mm] \sigma [/mm] von X und dem [mm] \sigma [/mm] des Mittelwertes.

Gruß Dieter


Bezug
                
Bezug
Normalverteilung Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Di 15.03.2016
Autor: capron02

Vielen Dank erstmal für die Antwort!

W. dafür ausgerechnet, daß höchstens 1 Wert im 2$ [mm] \sigma [/mm] $-Bereich liegt.


Sollte wegen des Wortes "mindestens $ [mm] 2\sigma [/mm] $" nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ausgerechnet, dass höchstens einer außerhalb des [mm] $2\sigma [/mm] $-Bereiches liegt?

Dann hätte ich bei der Rechnung aber auch einen Fehler und zwar müsste es dann so lauten:

$ P(X [mm] \leq \mu -2\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}\right) [/mm] = [mm] \phi_{0,1}(-2)=0{,}02275$ [/mm]
$ P(X [mm] \geq \mu +2\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}\right) [/mm] = [mm] 1-\phi_{0,1}(+2)=1-0{,}977250=0{,}02275$ [/mm]

[mm] $P(|x-\mu|\geq2\sigma)=2\cdot [/mm] 0{,}02275=0{,}0455$

Intuitiv macht das Sinn, dass die Wahrscheinlichkeit sehr klein ist, weil es ja die Randbereiche der Glockenkurve sind,
und diese keine große Fläche haben.

Dann wäre:

$ [mm] P(X\leq1)=\sum_{k=0}^1 {9\choose k} 0{,}0455^k\cdot (1-0{,}0455)^{9-k} [/mm] = 0{,}9398 $

Ich hoffe ich habe jetzt keinen weiteren Fehler gemacht.

Bei der b) mag ich die Hoffnung leider nicht aufgeben, da dies eine ehemalige Klausuraufgabe ist und die Studenten
dies in annehmbarer Zeit irgendwie lösen können mussten.



Bezug
                        
Bezug
Normalverteilung Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Mi 16.03.2016
Autor: luis52


> Vielen Dank erstmal für die Antwort!
>  
> W. dafür ausgerechnet, daß höchstens 1 Wert im 2[mm] \sigma [/mm]-Bereich
> liegt.
>
> Sollte wegen des Wortes "mindestens [mm]2\sigma [/mm]" nicht die
> Wahrscheinlichkeit dafür ausgerechnet, dass höchstens
> einer außerhalb des [mm]2\sigma [/mm]-Bereiches liegt?
>  
> Dann hätte ich bei der Rechnung aber auch einen Fehler und
> zwar müsste es dann so lauten:
>  
> [mm]P(X \leq \mu -2\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}\right) = \phi_{0,1}(-2)=0{,}02275[/mm]
>  
> [mm]P(X \geq \mu +2\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}\right) = 1-\phi_{0,1}(+2)=1-0{,}977250=0{,}02275[/mm]
>  
> [mm]P(|x-\mu|\geq2\sigma)=2\cdot 0{,}02275=0{,}0455[/mm]
>  
> Intuitiv macht das Sinn, dass die Wahrscheinlichkeit sehr
> klein ist, weil es ja die Randbereiche der Glockenkurve
> sind,
>  und diese keine große Fläche haben.
>  
> Dann wäre:
>  
> [mm]P(X\leq1)=\sum_{k=0}^1 {9\choose k} 0{,}0455^k\cdot (1-0{,}0455)^{9-k} = 0{,}9398[/mm]
>  

[ok]

> Ich hoffe ich habe jetzt keinen weiteren Fehler gemacht.
>  
> Bei der b) mag ich die Hoffnung leider nicht aufgeben, da
> dies eine ehemalige Klausuraufgabe ist und die Studenten
>  dies in annehmbarer Zeit irgendwie lösen können
> mussten.

  
Wo ist das Problem? Weisst du denn nicht, dass [mm] $\bar [/mm] X$ normalverteilt ist mit [mm] $\operatorname{E}[\bar X]=\mu$ [/mm] und  [mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\sigma^2/9$? [/mm] Die Loesung $0.0027$ *kann* man  annehmbarer Zeit finden.


Bezug
                                
Bezug
Normalverteilung Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Mi 16.03.2016
Autor: capron02

Vielen Dank für die Antwort. Dann müsste das ja so gehen:

$ P(X [mm] \leq \mu -\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-\sigma-\mu}{\frac{1}{\sqrt{9}}\sigma}\right) [/mm] = [mm] \phi_{0,1}(-\sqrt{9})=\phi_{0,1}(-3)=0{,}00135$ [/mm]

$ P(X [mm] \geq \mu +\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu+\sigma-\mu}{\frac{1}{\sqrt{9}}\sigma}\right) [/mm] = [mm] 1-\phi_{0,1}(\sqrt{9})=1-\phi_{0,1}(3)=1-0{,}99865 [/mm] =0{,}00135 $

$ [mm] P(|X-\mu|\sigma)=2\cdot [/mm] 0{,}00135=0{,}0027 $

Bezug
                                        
Bezug
Normalverteilung Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Mi 16.03.2016
Autor: luis52


> Vielen Dank für die Antwort. Dann müsste das ja so
> gehen:
>  
> [mm]P(X \leq \mu -\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-\sigma-\mu}{\frac{1}{\sqrt{9}}\sigma}\right) = \phi_{0,1}(-\sqrt{9})=\phi_{0,1}(-3)=0{,}00135[/mm]
>
> [mm]P(X \geq \mu +\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu+\sigma-\mu}{\frac{1}{\sqrt{9}}\sigma}\right) = 1-\phi_{0,1}(\sqrt{9})=1-\phi_{0,1}(3)=1-0{,}99865 =0{,}00135[/mm]
>
> [mm]P(|X-\mu|\sigma)=2\cdot 0{,}00135=0{,}0027[/mm]

[ok] Geht doch! ;-)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Statistik (Anwendungen)"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 10h 14m 2. fred97
UAnaR1FunkDiff/Polynomfunktion differenzierba
Status vor 10h 27m 1. Stephan30
Maxima/Indizes zählen mit Funktion
Status vor 12h 03m 1. mathenoob3000
UStoc/Markov Kette: Definitionen
Status vor 15h 05m 1. tc_engineer
Algebra/Hash für Bloom-Filter
Status vor 16h 46m 4. Diophant
ULinASon/Lineare Optimierung
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]