matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenSonstigesNullkommaneunperiode
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Sonstiges" - Nullkommaneunperiode
Nullkommaneunperiode < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nullkommaneunperiode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 So 10.10.2004
Autor: Mathmark

Servus Mathe-Fans !!!

Ich habe bis heute ein Verständnisproblem mit der Unendlichkeit.
Laut Definition gilt:
[mm] $\bruch{1}{9}=0,11\overline{1}$ [/mm]  beide Seiten mit Neun multipliziert ergibt:
[mm] $1=0,99\overline{9}$. [/mm]
Dieser Nachweis über die Gleichheit der beiden Seiten lässt mich nicht los.
Stellt Euch z.B. den Koordinatenursprung vor.
Die Koordinaten lauten $P(0/0)$.
Was hat aber der Punkt, der sich unmittelbar neben dem Ursprung befindet (auf der positiven x-Achse) für Koordinaten ?
Nach meiner Meinung müsste es der Punkt [mm] $P(1-0,99\overline{9}/0)$ [/mm] sein.
Theoretisch ist mir schon klar, dass es im Bereich der reellen Zahlen zwischen zwei noch so kleinen Zahlen sich immernoch eine Zahl befindet.
Aber was ist mit der Tatsache, dass wenn [mm] $0,99\overline{9}=1$ [/mm] ist und Eins ja bekanntlich ein Element der natürlichen Zahlen ist, führte das nicht zum Widerspruch, da [mm] $0,99\overline{9}$ [/mm] im Bereich der natürlichen Zahlen gar nicht existiert ?
Würde man nun [mm] $0,99\overline{9}$ [/mm] immer mit sich selbst addieren, so würde letztenendes die Diskrepanz im Vergleich zur Eins immer größer. Bei einer Summation bis ins unendliche gäbe es dann eine unendliche Differenz !!!

        
Bezug
Nullkommaneunperiode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 10.10.2004
Autor: andreas

hi Mark

also insofern du den beweis akzeptierst, dass [m] 0, \overline{9} = 1 [/m], existiert die zahl [m] 0,\overline{9} [/m]  im bereich der natürlichen zahlen, da sie ja gleich $1$ ist. damit ist aber der von dir angegeben punkt [m] (1 - 0, \overline{9} | 0 ) = (0 | 0) [/m] aber auch wieder gelich dem koordinaten ursprung und die argumentation mit dem abstand zwischen [m] 1 [/m] und [m] 0,\overline{9} [/m] gegenstandslos, da dieser abstand [m] | 1 - 0,\overline{9} | = |1 - 1| = |0| = 0 [/m] dann null ist.

mir ist aus deiner frage also nicht ganz klar, ob dir die oben erwähnte gleichheit nicht klar ist, oder was genau deine frage ist. vielleicht kannst du das ja nochmal etwas präzisieren!

grüße
andreas

Bezug
                
Bezug
Nullkommaneunperiode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 So 10.10.2004
Autor: Josef

Hallo Mark,

vergleiche auch:

[]http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/sek1/arithmetik/periode/periode.htm

Bezug
                
Bezug
Nullkommaneunperiode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Mo 11.10.2004
Autor: Mathmark

Servus alle mitenand !!!

Also nochmals: Mir ist schon klar, dass [mm] $0,99\overline{9}=1$ [/mm] ist (aufgrund des Nachweises).
Das Problem ist, dass theoretisch jede Zahl im Bereich der reellen Zahlen eindeutig bestimmt ist. Die Zahl [mm] $0,99\overline{9}$ [/mm] ist ein Resultat aus einer Rechnung mit rationalen Zahlen, was dadurch die natürlichen Zahlen nicht mehr berücksichtigt. Nehmen wir einmal die Definition:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=0,99\overline{9}=1$ [/mm]
Verbleiben wir aber beim Ergebniss [mm] $0,99\overline{9}$ [/mm] .
Weiterhin sei
[mm] $2\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=2\cdot 0,99\overline{9}$, [/mm]
Dann folgt
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}$ [/mm]
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{9}{10^n}+\bruch{9}{10^n}\right)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{18}{10^n}=1,99\overline{9}$ [/mm]
Betrachtet man die einzelnen Summationsglieder, sieht man, dass die "letzte" Zahl immer eine Acht ist $(1,8+0,18+0,018.....usw)$
Die Diskrepanz am "Ende" wird bei erhöhter Summation also immer grösser. Beispiel:
[mm] $99\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=99\cdot 0,99\overline{9}$ [/mm]
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{99\cdot 9}{10^n}\right)$ [/mm]
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{891}{10^n}\right)=98,99...$ [/mm]
Wobei ich an dieser Stelle die Periodenschreibweise vermieden habe.
Die Summationsglieder sehen wie folgt aus :
$(89,1+8,91+0,891+0,0891...$usw$)$.
Die "letzten" beiden Zahlen sind hier Null und Eins. $(98,99...01)$
Es kann folglich nicht das gleiche sein wie Eins (außer man geht davon aus, dass [mm] $0,99\overline{9}=1$ [/mm] ist)!!!
MfG   Mathmark



P.S. Die kürzester Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade !?

Bezug
                        
Bezug
Nullkommaneunperiode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Mo 11.10.2004
Autor: Julius

Hallo Mathmark!

Du operierst hier mit Grenzwerten. Die unendlichen Reihen sind Grenzwerte von Summen. Wie weit die einzelnen Summen vom Grenzwert entfernt sind, spielt keine Rolle, wichtig ist allein der Grenzwert selbst, denn dessen Wert ist die dargestellte reelle Zahl.

Es gilt ja zum Beispiel auch

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} [/mm] = 0 = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$. [/mm]

d.h. beide Grenzwerte stellen die gleiche reelle Zahl dar, obwohl die Abweichungen der Folgenglieder zur $0$ jeweils unterschiedlich groß sind.

> Also nochmals: Mir ist schon klar, dass [mm]0,99\overline{9}=1[/mm]
> ist (aufgrund des Nachweises).

Warum eigentlich die beiden "Vorneunen"?

Einfach: [mm]0,\overline{9} = 1[/mm].

>  Das Problem ist, dass theoretisch jede Zahl im Bereich der
> reellen Zahlen eindeutig bestimmt ist. Die Zahl
> [mm]0,99\overline{9}[/mm] ist ein Resultat aus einer Rechnung mit
> rationalen Zahlen, was dadurch die natürlichen Zahlen nicht
> mehr berücksichtigt.

[kopfkratz3]

> Nehmen wir einmal die Definition:
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=0,99\overline{9}=1[/mm]
>  Verbleiben wir aber beim Ergebniss [mm]0,99\overline{9}[/mm] .
>  Weiterhin sei

> [mm]2\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=2\cdot 0,99\overline{9}[/mm],

  

> Dann folgt
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}[/mm]
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{9}{10^n}+\bruch{9}{10^n}\right)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{18}{10^n}=1,99\overline{9}[/mm]
>  Betrachtet man die einzelnen Summationsglieder, sieht man,
> dass die "letzte" Zahl immer eine Acht ist
> [mm](1,8+0,18+0,018.....usw)[/mm]
> Die Diskrepanz am "Ende" wird bei erhöhter Summation also
> immer grösser.

Also, wichtig ist allein der Grenzwert. Es gilt:

[mm]2\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=[/mm]

[mm]=18 \cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{10}} - 1 \right)[/mm]

[mm]= 18 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}[/mm]

[mm]= 2[/mm].

Beispiel:

>  [mm]99\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=99\cdot 0,99\overline{9}[/mm]
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{99\cdot 9}{10^n}\right)[/mm]
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{891}{10^n}\right)=98,99...[/mm]
>  Wobei ich an dieser Stelle die Periodenschreibweise
> vermieden habe.
>  Die Summationsglieder sehen wie folgt aus :
>  [mm](89,1+8,91+0,891+0,0891...[/mm]usw[mm])[/mm].
>  Die "letzten" beiden Zahlen sind hier Null und Eins.
> [mm](98,99...01)[/mm]

Wiederum geht es nur um den Grenzwert, nicht um eventuelle Abweichungen einzelner Summen. Die dazugehörige Rechnung lautet:

[mm]99\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=[/mm]

[mm]=891 \cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{10}} - 1 \right)[/mm]

[mm]= 891 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}[/mm]

[mm]= 99[/mm].

Liebe Grüße
Julius



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 1h 57m 2. Al-Chwarizmi
DiffGlGew/Erstes Integral
Status vor 3h 06m 9. Diophant
UStoc/Stochastische Unabhängigkeit
Status vor 5h 21m 4. Al-Chwarizmi
UAlgGRK/Menge in der Potenz
Status vor 13h 53m 7. Diophant
STrigoFktn/cos2(x)=sin2(2x)
Status vor 17h 41m 2. fred97
UAnaR1FolgReih/Grenzwertbestimmung a_n
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]