Nullst. wollen nicht rauskomme < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe mir selbst eine Funktion ausgedacht u. wollte von der die Nullstellen bestimmen. Aber ich kriege keine raus, obwohl ich denke, dass es mind. eine geben muss, weil der Exponent der höchsten Potenz der ganz-rationalen Funktion ungerade ist. |
[mm] f(x)=x^5+3x^3+x^2+2
[/mm]
Teiler des ganzzahligen absoluten Gliedes: 1, -1, 2, -2
eingesetzt in f(x)=0
f(1) [mm] \ne [/mm] 0
f(-1) [mm] \ne [/mm] 0
f(2) [mm] \ne [/mm] 0
f(-2) [mm] \ne [/mm] 0
Ich glaube, dass das nicht sein kann probierte die gleiche Funktion nur ohne dem absoluten Glied.
[mm] f(x)=x^5+3x^3+x^2
[/mm]
f(x)=0
[mm] 0=x^5+3x^3+x^2
[/mm]
[mm] 0=x^2(x^3+3x+1)
[/mm]
Entweder [mm] x^2=0, [/mm] dann x=0, Nullstelle (0/0) oder [mm] x^3+3x+1=0
[/mm]
[mm] f(1)\ne [/mm] 0
[mm] f(-1)\ne [/mm] 0
Nagut, dann hat [mm] f(x)=x^5+3x^3+x^2 [/mm] eben nur diese eine Nullstelle.
Wenn ich diese Funktion mit -1 um 1 Einheit nach unten verschiebe dann muss sie trotzdem die x-Achse schneiden, da sich die Form des Graphen dadurch ja nicht ändert. Aber ich kriege die Nullstelle nicht.
[mm] f(x)=x^5+3x^3+x^2-1
[/mm]
f(x)=0
[mm] 0=x^5+3x^3+x^2-1
[/mm]
[mm] f(1)\ne [/mm] 0
[mm] f(-1)\ne [/mm] 0
Was bitte mache ich falsch? Ich habe alle 3 Funktionen
[mm] f(x)=x^5+3x^3+x^2+2
[/mm]
[mm] f(x)=x^5+3x^3+x^2
[/mm]
[mm] f(x)=x^5+3x^3+x^2-1
[/mm]
geplottet u. alle drei haben jeweils eine Nullstelle. Wieso kriege ich die rechnerisch nicht raus?
Für klärende Antwort vielen DANK!
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Sa 24.05.2014 | | Autor: | hippias |
Deine Funktion hat eine Nullstelle, ja. Aber keine rationale, d.h. eine, die sich als Bruch ganzer Zahlen darstellen laesst, also hat sie auch keine ganze Zahl als Nullstelle. Das ist voellig normal, nur versuchen Lehrer in der Schule solche Beispiele zu vermeiden, weil dann eben die ueblichen Loesungsmethoden versagen. Wenn man sich so wie du einfach eine Funktion willkuerlich ausdenkt, dann ist es ziemlich unwahrscheinlich, dass sie eine rationale Nullstelle hat.
Wenn du ueben willst, bestimme die Nullstellen von $f(x)= [mm] x^{5}+3x^{3}+x^{2}+ [/mm] 52$; die hat wenigstens eine rationale Nullstelle (aber ich vermute keine weitere).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 24.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Sabine,
> ich habe mir selbst eine Funktion ausgedacht u. wollte von
> der die Nullstellen bestimmen. Aber ich kriege keine raus,
> obwohl ich denke, dass es mind. eine geben muss, weil der
> Exponent der höchsten Potenz der ganz-rationalen Funktion
> ungerade ist.
> [mm]f(x)=x^5+3x^3+x^2+2[/mm]
Du kannst dir leicht überlegen, dass die stetige Funktion
[mm] f(x):=x^5+3x^3+x^2+2
[/mm]
wegen
[mm] $f(-1)<0\$
[/mm]
bzw.
[mm] $f(0)>0\$
[/mm]
mindestens eine Nullstelle in [mm] $I:=(-1,0)\$ [/mm] besitzt. Zeichne
dir das mal auf, dann verstehst du auch den Grund dieser
Argumentation (genauer: ![[]](/images/popup.gif) Zwischenwertsatz). Das Intervall [mm] $I\$
[/mm]
kannst du sicher weiter eingrenzen, aber das sollte nicht
Sinn und Zweck dieser Übung sein.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 So 25.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Ihr beiden!
Das ist ja frustrierend.
Ich hatte gedacht, dass jede Polynom-Funktion,
- mit einem absoluten Glied
- die nur ganzzahlige Koeffizienten hat und
- der Koeffizient vor der höchsten Potenz 1 ist
dass man alle solche Funktionen mit diesem Verfahren lösen kann.
Nagut, dann eben nicht. Ich bin mittlerweile sowieso drauf eingestellt, für eine relativ umfassende Nullstellenbestimmung noch ein paar Jahre zu brauchen, um "alles" zu können :-(
>Du kannst dir leicht überlegen, dass die stetige Funktion
>wegen $ f(-1)<0\ $ bzw. $ f(0)>0\ $
mindestens eine Nullstelle zwischen x=-1 und x=0 besitzt.
Nee, das kann ich nicht (woher die Werte -1 und 0?)
Vom Zeichnen? Ich sehe nur, dass bei den dazugehörigen Funktionswerten, der Graph erst unterhalb, dann oberhalb der Abzisse liegt, d.h. es muss eine Nullstelle geben. Aber liebe 8, ich möchte mich auf das, was hippias geschrieben hat erstmal begrenzen. Und klein anfangen (sagst du ja selbst).
Aber die von hippias vorgeschlagene Funktion
$ f(x)= [mm] x^{5}+3x^{3}+x^{2}+ [/mm] 52 $
will ich auch. Es gibt mir zuviele Teiler des absoluten Gliedes.
Fazit: Ich werde im Bett, nur mit blanko Papier u. Stift ausgestattet KEIN Mathe mehr machen, sondern nur noch am Schreibtisch mit Mathebuch 
DANKE euch beiden
Gute Nacht
Sabine
P.S.:
Mit dem Begriff "stetig" hatte ich noch nie zu tun.
JETZT weiß ich zumindest ein bisschen, was eine stetige
Funktion sein könnte. Ganz kurz gesagt: Eine konstante Funktion ist es auf jeden Fall nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 So 25.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Das ist ja frustrierend.
> Ich hatte gedacht, dass jede Polynom-Funktion,
> - mit einem absoluten Glied
> - die nur ganzzahlige Koeffizienten hat und
> - der Koeffizient vor der höchsten Potenz 1 ist
> dass man alle solche Funktionen mit diesem Verfahren
> lösen kann.
> Nagut, dann eben nicht. Ich bin mittlerweile sowieso drauf
> eingestellt, für eine relativ umfassende
> Nullstellenbestimmung noch ein paar Jahre zu brauchen, um
> "alles" zu können :-(
Analytisch zeigt man oft, dass es eine Nullstelle gibt.
Numerisch kann man diese dann auch meistens berechnen.
> >Du kannst dir leicht überlegen, dass die stetige
> Funktion
>
> >wegen [mm]f(-1)<0\[/mm] bzw. [mm]f(0)>0\[/mm]
>
> mindestens eine Nullstelle zwischen x=-1 und x=0 besitzt.
>
> Nee, das kann ich nicht (woher die Werte -1 und 0?)
> Vom Zeichnen? Ich sehe nur, dass bei den dazugehörigen
> Funktionswerten, der Graph erst unterhalb, dann oberhalb
> der Abzisse liegt, d.h. es muss eine Nullstelle geben.
Ja, das stimmt, aber es muss mindestens eine Nullstelle ge-
ben. Stell dir vor, dass die Funktion zwischen $x=-1$ und $x=0$
mehr als einmal durch die Abzisse geht.  Die Werte kann
man natürlich, solange diese zur Argumentation genügen, be-
liebig ändern.
> Aber
> liebe 8, ich möchte mich auf das, was hippias geschrieben
> hat erstmal begrenzen. Und klein anfangen (sagst du ja
> selbst).
>
> Aber die von hippias vorgeschlagene Funktion
>
> [mm]f(x)= x^{5}+3x^{3}+x^{2}+ 52[/mm]
Das ist kein gutes Beispiel, denn diese Funktion besitzt mit
$f(-2)=0$
genau eine reelle Nullstelle.
Probier mal
[mm] g(x):=-5x^3-10x^2-5x-10.
[/mm]
> will ich auch. Es gibt mir zuviele Teiler des absoluten
> Gliedes.
>
> Fazit: Ich werde im Bett, nur mit blanko Papier u. Stift
> ausgestattet KEIN Mathe mehr machen, sondern nur noch am
> Schreibtisch mit Mathebuch
>
> DANKE euch beiden
> Gute Nacht
> Sabine
>
> P.S.:
> Mit dem Begriff "stetig" hatte ich noch nie zu tun.
> JETZT weiß ich zumindest ein bisschen, was eine stetige
> Funktion sein könnte. Ganz kurz gesagt: Eine konstante
> Funktion ist es auf jeden Fall nicht.
Doch das ist sie. Stetigkeit wird halt benötigt. In der
Oberschule lernt man "fälschlicherweise" folgendes:
"Jede stetige Funktion kann man ohne Absetzen des Stiftes
zeichnen." Das ist zwar nicht richtig, aber für den Anfang
in der Klassenstufe 8-10 in Ordnung. Für die Argumentation
oben benötigen wir halt die Stetigkeit und dir sollte nun
der Grund klar sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
Nabend 8,
ich habe [mm]g(x):=-5x^3-10x^2-5x-10[/mm] probiert:
[mm]g(x)=0[/mm]
[mm] 0=-5x^3-10x^2-5x-10
[/mm]
0= [mm] x^3+2x^2+x+2
[/mm]
[mm] g(1)\ne0
[/mm]
[mm] g(-1)\ne0
[/mm]
[mm] g(2)\ne0
[/mm]
g(-2)=0 D.h. bei x=-2 ist eine Nullstelle (-2/0)
Versuche noch eine weitere Nullstelle zu erwischen mit Polyn-Div.
[mm] (-5x^3-10x^2-5x-10) [/mm] : (x+2) = .... Rest -10
Das Ergebnis mit dem Rest sagt mir jetzt vermutlich, dass es keine weitere Nullstelle gibt?
Gruß
Sabine
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> ich habe [mm]g(x):=-5x^3-10x^2-5x-10[/mm] probiert:
>
> [mm]g(x)=0[/mm]
>
> [mm]0=-5x^3-10x^2-5x-10[/mm]
>
> 0= [mm]x^3+2x^2+x+2[/mm]
>
> [mm]g(1)\ne0[/mm]
>
> [mm]g(-1)\ne0[/mm]
>
> [mm]g(2)\ne0[/mm]
>
> g(-2)=0 D.h. bei x=-2 ist eine Nullstelle (-2/0)
Hallo,
ja.
>
> Versuche noch eine weitere Nullstelle zu erwischen mit
> Polyn-Div.
>
> [mm](-5x^3-10x^2-5x-10)[/mm] : (x+2) = .... Rest -10
>
> Das Ergebnis mit dem Rest sagt mir jetzt vermutlich, dass
> es keine weitere Nullstelle gibt?
Wenn Du eine Nullstelle eines Polynoms gefunden hast und das Polynom durch den zugehörigen Linearfaktor dividierst, kommt kein Rest heraus. Die Division geht in diesem Fall immer auf.
Daß Du einen Rest bekommst, kann zwei Ursachen haben:
entweder war die Nullstelle keine
oder
Du hast irgendwo bei der Division einen Rechenfehler gemacht.
Da x=-2 eine Nullstelle ist, muß es an einem Rechenfehler liegen.
Eine weitere Nullstelle gibt es aber trotzdem nicht.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
Guten Morgen leduart
Guten Morgen Angela,
sehr gut, denn jetzt weiß ich, warum auch die konstante Funktion stetig ist.
Auch hätte ich auf die Bildung von Polynomen mit Linearfaktoren kommen können. Und in diesem Zusammenhang auch das erkennen können, was Angela schrieb.
Vereinfacht gesagt, wenn ich eine Nullstelle gefunden habe u. ich die Funktion runterreduziert als 6 betrachte u. die Nullstelle runterreduziert mit 2 ersetzte, dann muss die Polyn.Div. 6 : 2 = 3
also ein Ergebnis ohne Rest ergeben.
Toll, ganz toll. Nun kann ich doch mit Papier u. Stift u. OHNE Mathebuch mich ins Wartezimmer setzten u. Aufgaben machen. So geht man doch gern zum Arzt
Ihr seid ALLE ganz toll!!!!
DANKE!!!
Sabine
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> Ich hatte gedacht, dass jede Polynom-Funktion,
> - mit einem absoluten Glied
> - die nur ganzzahlige Koeffizienten hat und
> - der Koeffizient vor der höchsten Potenz 1 ist
> dass man alle solche Funktionen mit diesem Verfahren
> lösen kann.
Hallo,
wir hatten uns ja über das Thema ausgetauscht, und
jetzt krieg' ich etwas Angst, daß Du Dich von mir hintergangen fühlst...
Daher:
Ich hab' Dir nie versprochen, daß Du durch Testen der positiven und negativen Teiler eines Polynoms mit den obigen Eigenschaften unter Garantie eine Nullstelle findest.
Versprochen habe ich Dir dies:
falls ein Polynom mit den obigen Eigenschaften eine ganzzahlige Nullstelle hat, dann findest Du sie, indem Du die positiven und negativen Teiler des Absolutgliedes testest.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 So 25.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Angela,
>falls ein Polynom mit den obigen Eigenschaften
>eine ganzzahlige Nullstelle >hat, dann findest
>Du sie, indem Du die positiven und negativen
>Teiler des Absolutgliedes testest.
Denke doch bitte folgendes:
Wenn eine Lehrerin etwas vorträgt, dann entspricht das 100%.
Das die Schülerin davon nur
-keine Ahnung wieviel, je nachdem-
auf jeden Fall selten die 100% 1:1 aufnimmt ist NORMAL.
Ich glaube sogar, dass das auch allgemein u. überall gilt.
Gestern abend nachdem ich mich hier ausgeloggt hatte ist mir EINGEFALLEN:
Dass das Verfahren, welches ich von dir habe (vielen DANK )))
auch nur für Nullstellen gilt, die ganzzahlig sind. Und ich ja deswegen nicht weiterkam u. diesen Thread eröffnete.
Don´t worry
Sabine
Gruß
Sabine
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> Don´t worry
> Sabine
Okay, dann steige ich mal wieder runter von der Fensterbank im Dachgeschoß und gehe staubsaugen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 Mo 26.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Aufgaben, die dir in der Schule vorgelegt werden und höher als 2 ten Grades sind haben immer kleine ganzzahlige Nullstellen. Aver das ist eigentlich eine Art betrug. Die Lehrer stellen sie her in dem sie A* (x-a)*(x-b)*(x-c) usw. ausmultiplizieren dann kennen sie die Nullstellen a,b,c und können a,b,c immer wieder anders wählen. schon bei dem einfachen x-3=0 stimmt es zwar dass die 2 Losungen [mm] +\sqrt{3} [/mm] und [mm] -\sqrt{3} [/mm] multipliziert -3 ergeben, aber -1 und 3 die ganzen Faktoren von 3 sind eben keine Lösung.
Gleichungen vom dritten Grad kann man noch (sehr mühsam losen, solche vom 5 ten oder höherem Grad aber nicht, also versuch dich daran nicht.
alle Polynome sind stetig, es heisst ungenau gesagt, dass sich f(x) umso weniger ändert, je näher aneinander die x Werte sind, Auf der Schule sind es die Funktionen, die keine plötzlichen Sprünge machen, die man also ohne den Stift zu heben mit einem Bleistift zeichnen kann, dazu gehört auch die konstante Funktion.
Wenn so eine Funktion irgendwo negativ, an einer anderen Stelle positiv ist muss dazwischen eine Nullstelle liegen.
also lass einfach Polynome höheren Grades in Ruhe, es sei denn dei Nullstellen werden in einem Schulbuch gesucht, oder du hast sie dir selbst - eir oben gebastelt.
Gruß leduart
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Hallo Sabine,
ich schreib mal noch eine weitere Antwort, in der ich dir ohne weitere Erläuterung (denn die hätte es in Sachen Algabra in sich...) folgenden Sachverhalt mitteilen bzw. in Erinnerrung rufen möchte. Vorneweg noch eine Terminologie: setzt man ein Polynom vom Grad n gleich Null, so nenne ich jetzt die entstandene Gleichung algebraische Gleichung n. Ordnung.
Algebraische Gleichungen kann man lösen für die Fälle
- n=1: durch Äquivalenzumformungen
- n=2: abc-Formel (auch als Mitternachtsformel bekannt)
- n=3: Cardanische Formeln
- n=4: Ferrari-Formel
Ab dem Fall n=5 sind solche Gleichungen der Form
[mm] a_0+a_1*x+a_2*x^2...+a_n*x^n=0
[/mm]
im allgemeinen überhaupt nicht analytisch lösbar, auch für den Fall, dass sie Lösungen besitzen. Viele dieser Tricks mit dem Absolutglied, oder mit Faktorisierungen sind also grundsätzlich Spezialfälle und das Auffinden einer Faktorisierung hat schon manchmal auich etwas mit Glück zu tun.
Als Lösungsmethode bleibt dann letztendlich nur das Auffinden von Näherungslösungen durch numerische Verfahren, wie bspw. das Newton-Verfahren.
Definitiv kann es ab n=5 und höher jedoch keinen irgendwie gearteten Algorithmus geben, mit dem man solche Nullstellen auf analytischem Wege, also durch Auflösen findet.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 So 25.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Sabine und Diophant,
der Beweis zu dieser Aussage, die Diophant aufgeschrieben hat, und wie man darauf kam, ist recht schön beschrieben in einem kleinen Buch aus dem Springer-Verlag: Peter Pesic, Abels Beweis.
Ich muss allerdings gestehen, dass es nicht einfach nur eine kleine Nachtlektüre ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 25.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Infinit,
> Hallo Sabine und Diophant,
> der Beweis zu dieser Aussage, die Diophant aufgeschrieben
> hat, und wie man darauf kam, ist recht schön beschrieben
> in einem kleinen Buch aus dem Springer-Verlag: Peter Pesic,
> Abels Beweis.
> Ich muss allerdings gestehen, dass es nicht einfach nur
> eine kleine Nachtlektüre ist.
Vielen Dank für den Tipp. Das habe ich mal vorgemerkt, es scheint allerdings vergriffen zu sein. Da muss ich entweder abwarten oder über meinen eigenen Schatten springend im Amazonas angeln gehen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Diophant,
vielleicht gehts auch ohne Amazon
www.sfb.at
ist eine tolle Suchmaschine für Bücher.
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Gruß
Sabine
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