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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Nullstelle von kompl. Polynom
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Nullstelle von kompl. Polynom: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Di 10.02.2015
Autor: Bindl

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Nullstellen des komplexen Polynomes

p(z) = [mm] 4z^{4} [/mm] + 4i

Hi zusammen,

ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und zwei Fragen dazu.

[mm] 4z^{4} [/mm] + 4i = 0
[mm] z^{4} [/mm] + i = 0
[mm] z^{4} [/mm] = -i

Bis hier ist alles klar.

Mit -i = [mm] e^{-\bruch{\pi}{2}i} [/mm] folgt
Wie komme ich von -i zu [mm] e^{-\bruch{\pi}{2}i} [/mm] ? Ich finde einfach die Erklärung dau nicht mehr.

[mm] z_{k} [/mm] =  [mm] \wurzel[4]{1}e^{(-\bruch{\pi}{8} + \bruch{2k\pi}{4})i} [/mm] für k [mm] \in [/mm] {0,1,2,3}
Auch die Erklärung wie es nun hierzu kommt finde ich nicht mehr.

Nun muss ich ja nur noch für k 0-3 einsetzen und dann habe ich die Nullstellen.

Danke für die Hilfe im voraus

        
Bezug
Nullstelle von kompl. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Di 10.02.2015
Autor: fred97


> Bestimmen Sie alle Nullstellen des komplexen Polynomes
>  
> p(z) = [mm]4z^{4}[/mm] + 4i
>  Hi zusammen,
>  
> ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und zwei
> Fragen dazu.
>  
> [mm]4z^{4}[/mm] + 4i = 0
>  [mm]z^{4}[/mm] + i = 0
>  [mm]z^{4}[/mm] = -i
>  
> Bis hier ist alles klar.
>  
> Mit -i = [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] folgt
>  Wie komme ich von -i zu [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

? Ich finde

> einfach die Erklärung dau nicht mehr.

Ist z \in \IC \setminus \{0\}, so gilt mit eine eindeutig bestimmten $\phi \in ( - \pi, \pi]$:

   $z=|z|*e^{i \phi}$

Ist z=-i , so ist |z|=1 und $\phi= -\bruch{\pi}{2}}$


>  
> [mm]z_{k}[/mm] =  [mm]\wurzel[4]{1}e^{(-\bruch{\pi}{8} + \bruch{2k\pi}{4})i}[/mm]
> für k [mm]\in[/mm] {0,1,2,3}
>  Auch die Erklärung wie es nun hierzu kommt finde ich
> nicht mehr.

Ist  [mm] $z=|z|*e^{i \phi}$ [/mm] wie oben, so sind die n-ten Wurzeln aus z gegeben durch

  

[mm] \sqrt[n]{|z|}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n}, [/mm]

k=0,...,n.

FRED

>  
> Nun muss ich ja nur noch für k 0-3 einsetzen und dann habe
> ich die Nullstellen.
>  
> Danke für die Hilfe im voraus


Bezug
                
Bezug
Nullstelle von kompl. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Di 10.02.2015
Autor: Bindl


> > Bestimmen Sie alle Nullstellen des komplexen Polynomes
>  >  
> > p(z) = [mm]4z^{4}[/mm] + 4i
>  >  Hi zusammen,
>  >  
> > ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und zwei
> > Fragen dazu.
>  >  
> > [mm]4z^{4}[/mm] + 4i = 0
>  >  [mm]z^{4}[/mm] + i = 0
>  >  [mm]z^{4}[/mm] = -i
>  >  
> > Bis hier ist alles klar.
>  >  
> > Mit -i = [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] folgt
>  >  Wie komme ich von -i zu [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] ? Ich
> finde
> > einfach die Erklärung dau nicht mehr.
>  
> Ist z [mm]\in \IC \setminus \{0\},[/mm] so gilt mit eine eindeutig
> bestimmten [mm]\phi \in ( - \pi, \pi][/mm]:
>  
> [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm]
>  
> Ist z=-i , so ist |z|=1 und [mm]\phi= -\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>  

Wie komme ich auf  [mm] \phi= -\bruch{\pi}{2} [/mm] ?

> >  

> > [mm]z_{k}[/mm] =  [mm]\wurzel[4]{1}e^{(-\bruch{\pi}{8} + \bruch{2k\pi}{4})i}[/mm]
> > für k [mm]\in[/mm] {0,1,2,3}
>  >  Auch die Erklärung wie es nun hierzu kommt finde ich
> > nicht mehr.
>  
> Ist  [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm] wie oben, so sind die n-ten Wurzeln
> aus z gegeben durch
>  
>
>
> [mm]\sqrt[n]{|z|}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n},[/mm]
>
> k=0,...,n.
>  
> FRED
>  >  
> > Nun muss ich ja nur noch für k 0-3 einsetzen und dann habe
> > ich die Nullstellen.
>  >  
> > Danke für die Hilfe im voraus
>  


Bezug
                        
Bezug
Nullstelle von kompl. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Di 10.02.2015
Autor: fred97


> > > Bestimmen Sie alle Nullstellen des komplexen Polynomes
>  >  >  
> > > p(z) = [mm]4z^{4}[/mm] + 4i
>  >  >  Hi zusammen,
>  >  >  
> > > ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und zwei
> > > Fragen dazu.
>  >  >  
> > > [mm]4z^{4}[/mm] + 4i = 0
>  >  >  [mm]z^{4}[/mm] + i = 0
>  >  >  [mm]z^{4}[/mm] = -i
>  >  >  
> > > Bis hier ist alles klar.
>  >  >  
> > > Mit -i = [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] folgt
>  >  >  Wie komme ich von -i zu [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] ? Ich
> > finde
> > > einfach die Erklärung dau nicht mehr.
>  >  
> > Ist z [mm]\in \IC \setminus \{0\},[/mm] so gilt mit eine eindeutig
> > bestimmten [mm]\phi \in ( - \pi, \pi][/mm]:
>  >  
> > [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm]
>  >  
> > Ist z=-i , so ist |z|=1 und [mm]\phi= -\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>  >  
>
> Wie komme ich auf  [mm]\phi= -\bruch{\pi}{2}[/mm] ?


Zeichne mal -i in die komplexe Ebene ein.

FRED



>  
> > >  

> > > [mm]z_{k}[/mm] =  [mm]\wurzel[4]{1}e^{(-\bruch{\pi}{8} + \bruch{2k\pi}{4})i}[/mm]
> > > für k [mm]\in[/mm] {0,1,2,3}
>  >  >  Auch die Erklärung wie es nun hierzu kommt finde
> ich
> > > nicht mehr.
>  >  
> > Ist  [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm] wie oben, so sind die n-ten Wurzeln
> > aus z gegeben durch
>  >  
> >
> >
> > [mm]\sqrt[n]{|z|}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n},[/mm]
> >
> > k=0,...,n.
>  >  
> > FRED
>  >  >  
> > > Nun muss ich ja nur noch für k 0-3 einsetzen und dann habe
> > > ich die Nullstellen.
>  >  >  
> > > Danke für die Hilfe im voraus
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Nullstelle von kompl. Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:51 Di 10.02.2015
Autor: Bindl

Logisch, hätte ich drauf kommen müssen.

Danke für die rasche Hilfe

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