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Nullstellen berechnen: Tipp, Rückfrage, Hilfe, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 So 14.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

ich habe eine kleine Frage zum Berechnen von Nullstellen und komme aktuell irgendwie nicht mehr weiter.

Gegeben ist der Ausdruck:

[mm] (-1-\lambda)(2-\lambda)(2-\lambda)-(-1-\lambda)*1*1 [/mm]

Diesen Ausdruck habe ich zunächst ausmultipliziert und komme dann auf:

[mm] -\lambda^3+3\lambda^2+\lambda-3 [/mm]

=>Zwischenfrage: Kann man [mm] -\lambda^3 [/mm] so stehen lassen, oder muss ich hier noch zunächst mit -(1) multiplizieren?

Durch Testen habe ich dann die erste Nullstelle mit 1 erraten und möchte nun im nächsten Schritt die Polynomdivision durchführen:

[mm] -\lambda^3+3\lambda^2+\lambda-3 (\lambda-1) [/mm]

Ich erhalte dann:

[mm] -\lambda^2+2\lambda+3 [/mm]

Nun sollte man mit Hilfe der PQ-Formel ja die beiden übrigen Nullstellen bestimmen können (laut Lösung: -1 und 3) - ich befürchte aber, dass ich mich irgendwo verrannt habe, da ich auf diese Werte nicht komme.

Was habe ich falsch gemacht?

Vielen Dank!

        
Bezug
Nullstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 So 14.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> ich habe eine kleine Frage zum Berechnen von Nullstellen
> und komme aktuell irgendwie nicht mehr weiter.

>

> Gegeben ist der Ausdruck:

>

> [mm](-1-\lambda)(2-\lambda)(2-\lambda)-(-1-\lambda)*1*1[/mm]

>

> Diesen Ausdruck habe ich zunächst ausmultipliziert und
> komme dann auf:

>

> [mm]-\lambda^3+3\lambda^2+\lambda-3[/mm]

>

> =>Zwischenfrage: Kann man [mm]-\lambda^3[/mm] so stehen lassen, oder
> muss ich hier noch zunächst mit -(1) multiplizieren?

>

> Durch Testen habe ich dann die erste Nullstelle mit 1
> erraten und möchte nun im nächsten Schritt die
> Polynomdivision durchführen:

>

> [mm]-\lambda^3+3\lambda^2+\lambda-3 (\lambda-1)[/mm]

>

> Ich erhalte dann:

>

> [mm]-\lambda^2+2\lambda+3[/mm]

>

> Nun sollte man mit Hilfe der PQ-Formel ja die beiden
> übrigen Nullstellen bestimmen können (laut Lösung: -1
> und 3) - ich befürchte aber, dass ich mich irgendwo
> verrannt habe, da ich auf diese Werte nicht komme.

>

> Was habe ich falsch gemacht?

Alles viel zu umständlich!

Vereinfachen wir zunächst:

[mm]\left ( -1-\lambda \right )*(2-\lambda)^2-\left(-1-\lambda\right)=0[/mm]

(Man könnte noch mehr vereinfachen, wenn man das Minuszeichen aus dem einen Faktor zieht, aber ich wollte es im Originalzustand belassen).

So: und jetzt einmal scharf ansehen: siehst du den gemeinsamen Faktor [mm] (-1-\lambda) [/mm] ? Den klammern wir aus:

[mm]\left ( -1-\lambda \right )*\left((2-\lambda)^2-1\right)\right)=0[/mm]

Nun die Faktoren gleich Null setzen:

[mm]\begin{aligned} (-1-\lambda)&=0\ \Rightarrow\ \lambda_1=-1\\ \\ \left(2-\lambda\right)^2-1&=0\ \gdw\\ \left(2-\lambda\right)^2&=1 \end{aligned}[/mm]

Und hier darfst du jetzt selbst weiterrechnen. :-)

Merke: Ausmultiplizieren ist beim Lösen algebraischer Gleichungen i.d.R. nicht hilfreich - im Gegenteil!


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Nullstellen berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 So 14.01.2018
Autor: Dom_89

Vielen Dank für die Hilfe!!!

Nun hat es auch alles prima funktioniert

Bezug
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