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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - ODE zweiter Ordnung normieren
ODE zweiter Ordnung normieren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ODE zweiter Ordnung normieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Di 19.12.2017
Autor: mondfisch

Hallo liebes Matheforum,

ich hänge hier länger an einem Problem und bräuchte jemanden der mir die "Augen öffnet" ;-). Es geht um die Lösung der ODE

[mm] \frac{d^2}{dx^2}u(x)-a*u(x)=\varphi(x) [/mm]


Nebenbei: Die Lösung dieser ODE ist das System cosh & sinh. Der Einfachheit halber nehmen wir (transformationsinvariante) homogene RB an. z.B. u'(0)=0 und u'(1)=0.

Jetzt kann man die ODE direkt lösen, was auf ein u(x) führt. Man kann aber auch vor dem Lösen normieren. Z.B. mit [mm] $y=\sqrt{a}x$, [/mm] weswegen [mm] $\frac{d^2}{dx^2}=a\frac{d^2}{dy^2}$ [/mm] und [mm] $u(x)=u(\frac{y}{\sqrt{a}})$=\tilde{u}(y) [/mm] bzw. [mm] $\varphi (x)=\varphi (\frac{y}{\sqrt{a}})$=\tilde{\varphi }(y) [/mm]

Setzt man das in die ODE ein erhält man

[mm] \frac{d^2}{dy^2}\tilde{u}(y)-\tilde{u}(y)=\frac{1}{a} \varphi (\frac{y}{\sqrt{a}}) [/mm]

Inhaltlich interpretiere ich das so: Es ist mir gestattet die Lösung $u(x)$ zu finden, indem ich die normierte Gleichung nach [mm] $\tilde{u}(y)$ [/mm] löse sofern ich die Störfunktion in [mm] $\frac{1}{a} \varphi (\frac{y}{\sqrt{a}})$ [/mm] modifiziere und die Lösung aus [mm] $u(x)=\tilde{u}(\sqrt{a}x)$ [/mm] rekonstruiere.

Soweit die Theorie. Ich habe das mal versucht mit Matlab zu verifizeren. Leider passt das überhaupt nicht. Nach Matlab bekomme ich identische Lösungen wenn ich

[mm] \frac{d^2}{dy^2}\tilde{u}(y)-\tilde{u}(y)=\frac{1}{\sqrt{a}} \varphi (\sqrt{a}y) [/mm]

löse und die Lösung als

[mm] $u(x)=\tilde{u}(\frac{y}{\sqrt{a}})$ [/mm]

schreibe. Wo ist der Denkfehler? In der Theorie oder der Software? V.a. das [mm] $\frac{1}{\sqrt{a}}$ [/mm] in der Störfunktion passt mir überhaupt nicht (kein Schreibfehler!)

PS.: Den Matlab Code kann ich auch posten - wollte das Forum hier aber nicht spammen.

Für eure Hilfe schon mal vielen Dank!
Mondfisch

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
ODE zweiter Ordnung normieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Di 19.12.2017
Autor: leduart

Hallo
mit [mm] y=\sqrt(a)*x [/mm] wie kommst du auf  u(x)=u(y/sqrt(a))  statt u(x)=u(sqrt(a)*y) entsprechend auf [mm] \phi(x)? [/mm]
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
ODE zweiter Ordnung normieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:45 Mi 20.12.2017
Autor: mondfisch

Hallo leduart,

> mit [mm] $y=\sqrt{a}*x$ [/mm] wie kommst du auf  [mm] $u(x)=u(y\sqrt{a})$ [/mm]  statt [mm] $u(x)=u(\sqrt{a}*y)$ [/mm] entsprechend auf [mm] $\phi(x)$? [/mm]

[mm] $y=\sqrt{a}*x$ [/mm] nehmen und auf linker und rechter Seite durch [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] dividieren und dann [mm] $x=\frac{y}{\sqrt{a}}$ [/mm] linksseitig in $u(x)$ und rechtsseitig in [mm] $\phi(x)$ [/mm] einsetzen.

Ich habs durchmultipliziert angeschrieben weil man beim Differentialoperator die Umkehrabbildung [mm] $\frac{dy}{dx}=\sqrt{a}$ [/mm] braucht:
[mm] \frac{d^2}{dx^2}u(x)=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}(\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}u(\frac{y}{\sqrt{a}}))=a\frac{d^2}{dy^2}u(\frac{y}{\sqrt{a}}) [/mm]

Nach stundenlangem Rumprobieren habe ich den ersten Fehler in der Software gefunden:  "V.a. das $ [mm] \frac{1}{\sqrt{a}} [/mm] $ in der Störfunktion passt mir überhaupt nicht (kein Schreibfehler!)" --> Ist geklärt - es gehört tatsächlich $ [mm] \frac{1}{a} [/mm] $  hin.

Ich glaube die Schwierigkeit liegt darin zu verstehen in welchen Koordinatensystem man gerade arbeitet: y läuft von 0 bis [mm] $1*\sqrt{a}$ [/mm] während x von 0 bis 1 läuft. Deswegen wird man vermutlich [mm] $\tilde{u}$ [/mm] (läuft von 0 bis [mm] $1*\sqrt{a}$), [/mm] wenn man es in "x-Koordinaten" zurücktransformieren möchte mit [mm] $u(x)=\tilde{u}(\sqrt{a}*x)$ [/mm] umsetzen müssen. So 100% kapiert hab ichs aber immer noch nicht. Ist schwieriger als man auf den ersten Blick denken würde.

Gruß Mondfisch


Bezug
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