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ONB: Korrektur, Hilfe,Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Hallo,

ich habe eine Aufgabe zur ONB gelöst, jedoch bin ich mir nicht sicher,ob ich auf dem richtigen Weg bin, weshalb ich eine Korrektur sehr wertschätzen würde.

Gegeben waren die Vektoren:

[mm] v_1= \vektor{1\\-2\\2} [/mm] , [mm] v_2= \vektor{-1\\-3\\2} [/mm] , [mm] v_3= \vektor{0\\1\\1} [/mm]  

ausgehend von diesen Vektoren sollten wir eine Orthonormalbasis bestimmen [mm] w_1,w_2,w_3 [/mm]


Dafür bin ich wie folgt vorgegangen:

1. Normierung

[mm] w_1= v_1 [/mm] / [mm] |v_1| [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] *  [mm] \vektor{1\\-2\\2} [/mm]

danach habe ich um [mm] w_2 [/mm] zu berechnen folgendes gemacht:

[mm] w_2= v_2- w_1 [/mm] und komme auf

[mm] w_2= \vektor{-14/5\\ 3/5\\ -8/5} [/mm]

ist das bis jetzt richtig?

        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Mo 27.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>
> ich habe eine Aufgabe zur ONB gelöst, jedoch bin ich mir
> nicht sicher,ob ich auf dem richtigen Weg bin, weshalb ich
> eine Korrektur sehr wertschätzen würde.
>  
> Gegeben waren die Vektoren:
>  
> [mm]v_1= \vektor{1\\ -2\\ 2}[/mm] , [mm]v_2= \vektor{-1\\ -3\\ 2}[/mm] , [mm]v_3= \vektor{0\\ 1\\ 1}[/mm]
>  
>
> ausgehend von diesen Vektoren sollten wir eine
> Orthonormalbasis bestimmen [mm]w_1,w_2,w_3[/mm]
>  
>
> Dafür bin ich wie folgt vorgegangen:
>  
> 1. Normierung
>  
> [mm]w_1= v_1[/mm] / [mm]|v_1|[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] *   [mm]\vektor{1\\ -2\\ 2}[/mm]

Hallo,

diese [mm] \wurzel{5} [/mm] solltest Du nochmal überdenken - oder Du solltest uns, falls es nicht um das Standardskalarprodukt handelt, mitteilen, um welches Skalarprodukt es geht.


>  
> danach habe ich um [mm]w_2[/mm] zu berechnen folgendes gemacht:
>  
> [mm]w_2= v_2- w_1[/mm] und komme auf
>  
> [mm]w_2= \vektor{-14/5\\ 3/5\\ -8/5}[/mm]
>  
> ist das bis jetzt richtig?

Ob [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] orthogonal sind, kannst Du selbst mit dem Skalarprodukt prüfen. Sind sie's?

Gruß v. Angela




Bezug
                
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ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Wir sollen das aber auf diese Art und weise machen:

Ich hab jetzt meine Aufzeichnungen verbessert:

für [mm] w_1= [/mm] 1/ [mm] \wurzel{9}* \vektor{1 \\-2\\2}= [/mm] 1/3 * [mm] \vektor{1 \\-2\\2} [/mm]

und damit muss ich jetzt

[mm] w_2=v_2- w_1 [/mm] berechnen.

Da habe ich noch eine Frage zu : nachdem ich [mm] [/mm] berechnet habe, muss ich dann mit dem neuen entstandenen vektor [mm] w_1 [/mm] berechnen oder muss ich vorher die länge quasi berechnen und die dann mal [mm] w_1 [/mm] nehmen ?

Bezug
                        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Mo 27.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Wir sollen das aber auf diese Art und weise machen:
>  
> Ich hab jetzt meine Aufzeichnungen verbessert:
>  
> für [mm]w_1=[/mm] 1/ [mm]\wurzel{9}* \vektor{1 \\ -2\\ 2}=[/mm] 1/3 *  [mm]\vektor{1 \\ -2\\ 2}[/mm]

Hallo,

das paßt besser.


>  
> und damit muss ich jetzt
>  
> [mm]w_2=v_2- w_1[/mm] berechnen.

>  
> Da habe ich noch eine Frage zu : nachdem ich [mm][/mm]
> berechnet habe, muss ich dann mit dem neuen entstandenen
> vektor [mm]w_1[/mm] berechnen oder muss ich vorher die länge quasi
> berechnen und die dann mal [mm]w_1[/mm] nehmen ?

Du nimmst genau so, wie es dasteht, Deinen neuen Vektor [mm] w_1:=1/3 [/mm] *  [mm] $\vektor{1 \\-2\\2}$. [/mm]

Allerdings: wenn Du noch irgendwie durch die Länge teilen willst oder so (ich ahne nur dunkel, was Dir vorschwebt), dann kannst Du das natürlich tun: Du hast doch Dein [mm] w_1 [/mm] extra so gebastelt, daß die Länge =1 ist.

Gruß v. Angela


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ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Hmm also ich hab das jetzt noch einmal gerechnet:

und habe für [mm] w_2 [/mm] nun folgendes raus:

[mm] v_2-w_1 [/mm] = [mm] \vektor{-2\\-1\\0} [/mm]

ist das jetzt richtig?

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ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Mo 27.06.2011
Autor: leduart

hallo
1. du kannst doch selbst ausprobieren, ob [mm] w_2 [/mm] senkrecht [mm] w_1 [/mm] ist.(ist es) Wenn es ne Normalbasis sein soll musst du noch auf 1 normieren.
Gruss leduart


Bezug
                                                
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ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Okay die Probe quasi habe ich auch gemacht das kommt alles hin.
Wie berechne ich jedoch jetzt für [mm] x=(1,2,3)^T [/mm] die orthogonalen Projektionen auf [mm] V_j=span(w_j) [/mm] ?

Bezug
                                                        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mo 27.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Okay die Probe quasi habe ich auch gemacht das kommt alles
> hin.

Hallo,

Du hast jetzt eine ONB des [mm] \IR^3? [/mm]

>  Wie berechne ich jedoch jetzt für [mm]x=(1,2,3)^T[/mm] die
> orthogonalen Projektionen auf [mm]V_j=span(w_j)[/mm] ?

Es sei [mm] (w_1, w_2, w_3) [/mm] Deine ONB.

Schreiben den Vektor x als Linearkombination der [mm] w_i. [/mm]

Die Projektion [mm] \pi_1 [/mm] auf [mm] w_j [/mm] bildet den Vektor [mm] a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3 [/mm] auf den Vektor [mm] a_1w_1 [/mm] ab.

Die anderen projektionen entsprechend.

Gruß v. Angela



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Bezug
ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Ja, ich denke schon, dass ich eine ONB für [mm] \IR^3 [/mm] habe.
Ich habe noch [mm] w_3 [/mm] berechnet = [mm] \vektor{-2/5 \\ 4/5\\ 1} [/mm]

Wenn ich diesen Vektor jedoch normiere habe ich da so einen unschönen bruch davor ( 1 / [mm] \wurzel{9/5} [/mm] )

Muss ich bei der Aufstellung der Linearkombination mit x , die normierten Vektoren nehmen? Ja, oder? sry für diese Frage -.-

Bezug
                                                                        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Mo 27.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Ja, ich denke schon, dass ich eine ONB für [mm]\IR^3[/mm] habe.
>  Ich habe noch [mm]w_3[/mm] berechnet = [mm]\vektor{-2/5 \\ 4/5\\ 1}[/mm]

Hallo,

welches waren die anderen beiden von Dir berechneten Basisvektoren?
Prüfe selbst, ob [mm] w_3 [/mm] orthogonal ist zu den beiden anderen.

>  
> Wenn ich diesen Vektor jedoch normiere habe ich da so einen
> unschönen bruch davor ( 1 / [mm]\wurzel{9/5}[/mm] )

[mm] =\bruch{\wurzel{5}}{3}. [/mm]

>  
> Muss ich bei der Aufstellung der Linearkombination mit x ,
> die normierten Vektoren nehmen?

Nein, nicht unbedingt.
Nur, wenn Du später das Ergebnis in Koordinaten bzgl Deiner ONB angeben sollst, wär's ganz sinnig.

Gruß v. Angela




>Ja, oder? sry für diese

> Frage -.-


Bezug
                                                                                
Bezug
ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Ich habe das mal eben schnell überprüft, die Vektoren müssten soweit  stimmen.

Jetzt habe ich die Linearkombinationen aufgeschrieben:

1.  1= 1/3a - 2b - 2/5c
2.  2=-2/3a-   b+ 4/5c
3.  3= 2/3a       + c

soll ich jetzt alle a,b,c bestimmen? :S

Bezug
                                                                                        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mo 27.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Jetzt habe ich die Linearkombinationen aufgeschrieben:
>  
> 1.  1= 1/3a - 2b - 2/5c
>  2.  2=-2/3a-   b+ 4/5c
>  3.  3= 2/3a       + c
>  
> soll ich jetzt alle a,b,c bestimmen? :S

Hallo,

messerscharf geschlossen!

(Was soll man auch sonst mit diesem GS tun?)

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                                
Bezug
ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Hab das ganze jetzt mal gerechnet und bin auf folgendes gekommen:

a=1
b=2/5
c=1/3

ist das soweit richtig?
Was muss ich als nächstes tun ? Ich versteh noch nicht so ganz was das alles mit der Projektion zu tun haben soll...

Bezug
                                                                                                        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Mo 27.06.2011
Autor: MathePower

Hallo mml2011,

> Hab das ganze jetzt mal gerechnet und bin auf folgendes
> gekommen:
>  
> a=1
>  b=2/5
>  c=1/3
>  
> ist das soweit richtig?


Leider nicht.

Für b und c erhalte ich andere Werte.


>  Was muss ich als nächstes tun ? Ich versteh noch nicht so
> ganz was das alles mit der Projektion zu tun haben soll...


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Fehler gefunden:

b=-3/5
c=7/3

so aber richtig?

Und weiter?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Mo 27.06.2011
Autor: MathePower

Hallo mml2011,

> Fehler gefunden:
>  
> b=-3/5


b muss doch [mm]-\bruch{4}{5}[/mm] sein.


>  c=7/3
>  
> so aber richtig?
>  
> Und weiter?


Nun hast Du die Gleichung

[mm]x=a*w_{1}+b*w_{2}+c*w_{3}[/mm]

Die orthogonale Projektion ist im Falle
der Projektion von x auf [mm]w_{1}[/mm]: [mm]a*w_{1}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Dass muss ich dann für alle [mm] w_i [/mm] quasi machen und bin dann mit der Aufgabe fertig????

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mo 27.06.2011
Autor: MathePower

Hallo mml2011,

> Dass muss ich dann für alle [mm]w_i[/mm] quasi machen und bin dann
> mit der Aufgabe fertig????


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
ONB: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

Cool, danke !!!

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
ONB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Mo 27.06.2011
Autor: mml2011

sicher ist sicher.. ich frag trotzdem noch einmal nach:

die orthogonale projektion von x auf [mm] w_2 [/mm] wäre dann:

b [mm] *w_2 [/mm]

und die auf [mm] w_3 [/mm] :

[mm] c*w_3 [/mm]

richtig, oder? mehr nicht?

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mo 27.06.2011
Autor: MathePower

Hallo mml2011,

> sicher ist sicher.. ich frag trotzdem noch einmal nach:
>  
> die orthogonale projektion von x auf [mm]w_2[/mm] wäre dann:
>  
> b [mm]*w_2[/mm]
>  
> und die auf [mm]w_3[/mm] :
>  
> [mm]c*w_3[/mm]
>  
> richtig, oder? mehr nicht?


Das ist richtig. [ok]


Gruss
MathePower

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