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Oberintegral, Unterintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mi 05.04.2017
Autor: X3nion

Guten Abend, liebe Community! :-)

Ich habe die ein paar Verständnisfragen zur Definition von Oberintegral und Unterintegral.
Im Forster steht die Definition wie folgt:

[mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] := [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} [/mm]

[mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx} [/mm] := [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} [/mm]


- Bedeutet zum Beispiel das Oberintegral einer Funktion f(x) über das Intervall [a,b],  dass man alle Treppenfunktionen betrachtet, welche größer oder gleich der Funktionswerte f sind, dann das Integral über die Treppenfunktionen nimmt und aus dieser resultierenden Menge daraus dann die größte untere Schranke bestimmt? Und man nimmt die größte untere Schranke, weil das Oberintegral kleiner wird, je feiner die Unterteilung der Treppenfunktionen gewählt wird?


- Ein etwas "gemeines" Beispiel wird erwähnt zu der Dirichletschen Funktion f: [0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] mit

f(x) := [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational} \end{cases} [/mm]

Dann gilt [mm] \integral_{0}^{1}^{\*}{f(x) dx} [/mm] = 1 und [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx} [/mm] = 0


Hier kann ich nicht ganz nachvollziehen, wieso die entsprechenden Ober- bzw. Unterintegrale "1" und "0" werden.



Wie immer wäre ich für eure Tipps und Antworten dankbar! :-)

Viele Grüße,
X3nion


        
Bezug
Oberintegral, Unterintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Mi 05.04.2017
Autor: leduart

Hallo
alle oberen Treppenfunktionen sind doch >=1, alle unteren 0  bei der Dirichlet Funktion.
mitt dem inf über die Treppenfunktionen hat du recht, allerdings betrachtet man meist nicht "alle" Treppenfunktionen, sondern nur die, deren Treppen bei f anfangen und aufhören.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Oberintegral, Unterintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Do 06.04.2017
Autor: tobit09

Hallo leduart!


>   alle oberen Treppenfunktionen sind doch >=1, alle unteren
> 0  bei der Dirichlet Funktion.

Nein (beachte insbesondere die Sprungstellen).


>  mitt dem inf über die Treppenfunktionen hat du recht,
> allerdings betrachtet man meist nicht "alle"
> Treppenfunktionen, sondern nur die, deren Treppen bei f
> anfangen und aufhören.

Wenn [mm] $f\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] eine beschränkte Funktion ist und [mm] $\phi\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] eine Treppenfunktion ist, was meinst du dann mit der Formulierung "die Treppen von [mm] $\phi$ [/mm] fangen bei f an und hören bei f auf"?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Oberintegral, Unterintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Do 06.04.2017
Autor: tobit09

Hallo X3nion!


> Im Forster steht die Definition wie folgt:
>
> $ [mm] \integral_{a}^{b}^{*}{f(x) dx} [/mm] $ := $ [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} [/mm] $
>
> $ [mm] \integral_{a}^{b}_{*}{f(x) dx} [/mm] $ := $ [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} [/mm] $

(Beim Unterintegral muss es [mm] $\sup$ [/mm] statt [mm] $\inf$ [/mm] heißen.)


> - Bedeutet zum Beispiel das Oberintegral einer Funktion
> f(x) über das Intervall [a,b],  dass man alle
> Treppenfunktionen betrachtet, welche größer oder gleich
> der Funktionswerte f

(Hier müsste es "Funktion f" statt "Funktionswerte f" heißen.)

> sind, dann das Integral über die
> Treppenfunktionen nimmt und aus dieser resultierenden Menge
> daraus dann die größte untere Schranke bestimmt?

Ja.


> Und man
> nimmt die größte untere Schranke, weil das Oberintegral
> kleiner wird, je feiner die Unterteilung der
> Treppenfunktionen gewählt wird?

Das Oberintegral von f ist eine feste Zahl und wird nicht kleiner... ;-)

Die Vorstellung hinter der Definition ist:

Für jede Treppenfunktion [mm] $\phi$ [/mm] mit [mm] $f\le\phi$ [/mm] sollte [mm] $\int_a^b f\le \int_a^b\phi$ [/mm] für das noch zu definierende Integral [mm] $\int_a^b [/mm] f$ gelten.
Also muss [mm] $\int_a^b [/mm] f$ als [mm] $\le$ [/mm] dem Infimum aus der Definition des Oberintegrals gewählt werden.

Analog sollte [mm] $\int_a^b [/mm] f$ als [mm] $\ge$ [/mm] dem Unterintegral gewählt werden.

Stimmen Ober- und Unterintegral überein, hat man unter diesen Bedingungen keine Wahl, als [mm] $\int_a^b [/mm] f$ durch den gemeinsamen Wert von Ober- und Unterintegral zu definieren.

Stimmen Ober- und Unterintegral nicht überein (d.h. das Oberintegral ist echt größer als das Unterintegral), so lässt sich durch die Idee der "Treppenfunktions-Approximation" ohne Weiteres kein sinnvoller Integralwert festlegen und man begnügt sich damit, die Funktion f als nicht Riemann-integrierbar zu bezeichnen.


> - Ein etwas "gemeines" Beispiel wird erwähnt zu der
> Dirichletschen Funktion f: [0,1] [mm]\rightarrow \IR[/mm] mit
>  
> f(x) := [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>  
> Dann gilt [mm]\integral_{0}^{1}^{\*}{f(x) dx}[/mm] = 1 und
> [mm]\integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx}[/mm] = 0
>
>
> Hier kann ich nicht ganz nachvollziehen, wieso die
> entsprechenden Ober- bzw. Unterintegrale "1" und "0"
> werden.

Nehmen wir mal die Begründung, dass das Oberintegral von f den Wert 1 hat:

Die konstante Funktion

      [mm] $\phi\colon [0,1]\to\IR,\quad\phi(x)=1$ [/mm]

ist eine Treppenfunktion mit [mm] $\phi\ge [/mm] f$.

Damit gilt

     [mm] $\int_0^1^\*f\le\int_0^1\phi=1$. [/mm]

Um [mm] $\int_0^1^\*f\ge [/mm] 1$ einzusehen, sei [mm] $\phi\colon[0,1]\to\IR$ [/mm] eine Treppenfunktion mit [mm] $\phi\ge [/mm] f$.
Zu zeigen ist [mm] $\int_0^1\phi\ge [/mm] 1$.

(leduart behauptet nun [mm] $\phi\ge [/mm] 1$. Das ist jedoch falsch, da [mm] $\phi$ [/mm] in Sprungstellen durchaus Werte $y$ mit [mm] $y\in[0,1[$ [/mm] annehmen kann.)

Sei [mm] $0=x_0 Ich behaupte nun [mm] $c_i\ge [/mm] 1$ für alle [mm] $i=1,\ldots,n$. [/mm]

Beweis:
[mm] $]x_{i-1},x_i[$ [/mm] enthält eine rationale Zahl q.
Es gilt [mm] $\phi(q)\ge [/mm] f(q)=1$.
Also ist der konstante Wert [mm] $c_i$ [/mm] von [mm] $\phi$ [/mm] im Intervall [mm] $]x_{i-1},x_i[$ [/mm] wie behauptet [mm] $\ge [/mm] 1$.

Somit gilt wie gewünscht:

     [mm] $\int_0^1\phi=\sum_{i=1}^nc_i*(x_i-x_{i-1})\ge\sum_{i=1}^n1*(x_i-x_{i-1})=x_n-x_0=1-0=1$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Oberintegral, Unterintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Fr 07.04.2017
Autor: X3nion

Hi Tobias und nochmals vielen Dank für die ausführliche Antwort! :-)

Ich habe noch 3 Fragen:

1) Also kann ich es mir so vorstellen, dass weil [mm] \int_a^b [/mm] f als [mm] \le [/mm] dem Infimum des Oberintegrals und analog [mm] \int_a^b [/mm] f als [mm] \ge [/mm] dem Supremum des Unterintegrals gewählt wird und wenn [mm] \int_a^b^{\*} [/mm] f   = [mm] \int_a^b_{\*} [/mm] f, aus der Ungleichheitskette [mm] \int_a^b^{\*} [/mm] f [mm] \le \int_a^b [/mm] f [mm] \le \int_a^b_{\*} [/mm] f sofort resultiert, dass [mm] \int_a^b [/mm] f = [mm] \int_a^b_{\*} [/mm] f = [mm] \int_a^b^{\*} [/mm] ?



> Nehmen wir mal die Begründung, dass das Oberintegral von f den Wert 1 hat:

> Die konstante Funktion

>       $ [mm] \phi\colon [0,1]\to\IR,\quad\phi(x)=1 [/mm] $

> ist eine Treppenfunktion mit $ [mm] \phi\ge [/mm] f $.

> Damit gilt

     $ [mm] \int_0^1^*f\le\int_0^1\phi=1 [/mm] $.

> Um $ [mm] \int_0^1^*f\ge [/mm] 1 $ einzusehen, sei $ [mm] \phi\colon[0,1]\to\IR [/mm] $ eine
> Treppenfunktion mit $ [mm] \phi\ge [/mm] f $.
> Zu zeigen ist $ [mm] \int_0^1\phi\ge [/mm] 1 $.

> (leduart behauptet nun $ [mm] \phi\ge [/mm] 1 $. Das ist jedoch falsch, da $ [mm] \phi [/mm] $ in
> Sprungstellen durchaus Werte y mit $ [mm] y\in[0,1[ [/mm] $ annehmen kann.)

> Sei $ [mm] 0=x_0
> $ [mm] \phi|_{]x_{i-1},x_i[}=c_i [/mm] $ konstant für alle $ [mm] i=1,\ldots,n [/mm] $.
> Ich behaupte nun $ [mm] c_i\ge [/mm] 1 $ für alle $ [mm] i=1,\ldots,n [/mm] $.

> Beweis:
>  [mm] ]x_{i-1},x_i[ [/mm] $ enthält eine rationale Zahl q.
> Es gilt $ [mm] \phi(q)\ge [/mm] f(q)=1 $.
> Also ist der konstante Wert $ [mm] c_i [/mm] $ von $ [mm] \phi [/mm] $ im Intervall $ [mm] ]x_{i-1},x_i[ [/mm] $ > wie behauptet $ [mm] \ge [/mm] 1 $.

> Somit gilt wie gewünscht:

     $ [mm] \int_0^1\phi=\sum_{i=1}^nc_i\cdot{}(x_i-x_{i-1})\ge\sum_{i=1}^n1\cdot{}(x_i-x_{i-1})=x_n-x_0=1-0=1 [/mm] $.


2) Kann ich mir $ [mm] \int_0^1^{\*}f\le\int_0^1\phi=1 [/mm] $. in deinem Beweis so vorstellen, dass wegen $ [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ := $ [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} [/mm] $ eben  [mm] inf\{\integral_{0}^{1}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} \le \int_0^1\phi [/mm] gelten kann?

3) Und genügt es, um $ [mm] \int_0^1^{\*}f\ge [/mm] 1 $ einzusehen,
$ [mm] \int_0^1\phi\ge [/mm] 1 $ zu zeigen, weil wegen [mm] \int_0^1\phi\ge [/mm] 1 auch [mm] inf\{\integral_{0}^{1}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} \ge [/mm] 1 ?



Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Oberintegral, Unterintegral: 1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Fr 07.04.2017
Autor: tobit09


> 1) Also kann ich es mir so vorstellen, dass weil [mm]\int_a^b[/mm] f
> als [mm]\le[/mm] dem Infimum

der Menge aus der Definition

> des Oberintegrals und analog [mm]\int_a^b[/mm] f
> als [mm]\ge[/mm] dem Supremum

der Menge aus der Definition

> des Unterintegrals gewählt wird

(werden soll, um einen sinnvollen Integral-Begriff zu definieren)

> und
> wenn [mm]\int_a^b^{\*}[/mm] f   = [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] f, aus der
> Ungleichheitskette [mm]\int_a^b^{\*}[/mm] f [mm]\le \int_a^b[/mm] f [mm]\le \int_a^b_{\*}[/mm]
> f

(Ober- und Unterintegral vertauscht)

> sofort resultiert, dass [mm]\int_a^b[/mm] f = [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] f =
> [mm]\int_a^b^{\*}[/mm] ?

Ja, so lässt sich die Definition des Riemann-Integrals motivieren.

(Sicherheitshalber: [mm]\int_a^b[/mm] f = [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] f =[mm]\int_a^b^{\*}f[/mm] für Riemann-integrierbare Funktionen [mm] $f\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] ist die Definition von [mm] $\int_a^b [/mm] f$ und kein beweisbares Resultat.)

Bezug
                        
Bezug
Oberintegral, Unterintegral: 2), 3)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Fr 07.04.2017
Autor: tobit09

Zur Dirichlet-Funktion f:


Sei [mm] $N:=\{\integral_{0}^{1}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[0,1], \phi \ge f}\}$ [/mm] die Menge aus der Definition des Oberintegrals von f.


> 2) Kann ich mir [mm]\int_0^1^{\*}f\le\int_0^1\phi=1 [/mm]. in deinem
> Beweis so vorstellen, dass wegen
> [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}[/mm] :=
> [mm]inf\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\}[/mm]
> eben  [mm]inf\{\integral_{0}^{1}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} \le \int_0^1\phi[/mm]
> gelten kann?

Das kann nicht nur gelten, es muss sogar gelten... ;-)

Die Funktion [mm] $\phi\colon[0,1]\to\IR,\quad\phi(x)=1$ [/mm] erfüllt [mm] $\phi\in\tau[0,1]$ [/mm] und [mm] $\phi\ge [/mm] f$, also gilt [mm] $\int_0^1\phi\in [/mm] N$ und damit [mm] $\int_0^1\phi\ge\inf N=\int_0^1^\*f$ [/mm] (das Infimum von N ist ja eine untere Schranke von N).


> 3) Und genügt es, um [mm]\int_0^1^{\*}f\ge 1[/mm] einzusehen,
> [mm]\int_0^1\phi\ge 1[/mm] zu zeigen, weil wegen [mm]\int_0^1\phi\ge[/mm] 1
> auch [mm]inf\{\integral_{0}^{1}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} \ge[/mm]
> 1 ?

Wir benötigen zum Nachweis der Ungleichung [mm] $\inf N\ge [/mm] 1$ nicht nur für irgendeine bestimmte Treppenfunktion [mm] $\phi\in\tau[0,1]$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\int_0^1\phi\ge [/mm] 1$, sondern für ALLE Treppenfunktionen [mm] $\phi\in\tau[0,1]$ [/mm] mit [mm] $\phi\ge [/mm] f$.
(Deshalb betrachte ich in meinem Beweis eine beliebig vorgegebene Treppenfunktion [mm] $\phi\in\tau[0,1]$ [/mm] mit [mm] $\phi\ge [/mm] f$.)

Ich zeige in meinem Beweis: Für alle [mm] $n\in [/mm] N$ gilt [mm] $n\ge [/mm] 1$.
Damit folgt: 1 ist eine untere Schranke von $N$.
Die größte untere Schranke von $N$ (also [mm] $\inf N=\int_0^1^\*f$) [/mm] ist also [mm] $\ge [/mm] 1$.

Bezug
                                
Bezug
Oberintegral, Unterintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Fr 07.04.2017
Autor: X3nion

Hi Tobias,

okay nun macht das alles viel mehr Sinn für mich.
Ein dickes Dankeschön nochma für deine Mühe und Geduldl! :-)

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
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