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Forum "Funktionalanalysis" - Operatornorm berechnen
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Operatornorm berechnen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Mi 15.07.2015
Autor: Laura22

Aufgabe
Zeigen Sie, dass der Operator

   [mm] A:l^2 \to l^2 [/mm]
   [mm] (x_n)_{n \in \IN} \mapsto (x_n/n)_{n \in \IN} [/mm]

beschränkt ist und berechnen Sie weiter seine Operatornorm.

Anmerkung: [mm] l^2 [/mm] sei der Raum der quadratsummierbaren Folgen in [mm] \IC. [/mm]



Hi :),

bei der obigen Aufgabe habe ich Probleme eine untere Schranke für die Operatornorm zu finden. Ich kann ja zunächst einmal schreiben, was ich glaube schon herausgefunden zu haben:

Beschränktheit: Sei x [mm] \in l^2 [/mm] beliebig. Dann gilt
[mm] \|Ax\|_{2}^2= \|(x_n/n)_{n \in \IN}\|_{2}^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_k|}{|k|} \leq (\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|^2) \cdot (\summe_{k=1}^{\infty} k^{-4}) [/mm] (nach Cauchy-Schwarz)
[mm] \leq [/mm] C [mm] \cdot \|x\|_{2}^2, [/mm] da die Reihe [mm] (\summe_{k=1}^{\infty} k^{-4}) [/mm] konvergiert.

Durch die Beschränktheit bekommen wir dann automatisch auch eine obere Schranke für die Operatornorm. Diese lautet

[mm] \|A\| \leq (\summe_{k=1}^{\infty} |k^{-4}|)^{\bruch{1}{2}} [/mm]

Wie man nun eine obere Schranke findet, weiß ich nicht...habt ihr vielleicht eine Idee? ich bedanke mich im Voraus!!!

Viele Grüße,
Laura

        
Bezug
Operatornorm berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Mi 15.07.2015
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass der Operator
>
> [mm]A:l^2 \to l^2[/mm]
>     [mm](x_n)_{n \in \IN} \mapsto (x_n/n)_{n \in \IN}[/mm]
>  
> beschränkt ist und berechnen Sie weiter seine
> Operatornorm.
>  
> Anmerkung: [mm]l^2[/mm] sei der Raum der quadratsummierbaren Folgen
> in [mm]\IC.[/mm]
>  
>
> Hi :),
>  
> bei der obigen Aufgabe habe ich Probleme eine untere
> Schranke für die Operatornorm zu finden. Ich kann ja
> zunächst einmal schreiben, was ich glaube schon
> herausgefunden zu haben:
>  
> Beschränktheit: Sei x [mm]\in l^2[/mm] beliebig. Dann gilt
>  [mm]\|Ax\|_{2}^2= \|(x_n/n)_{n \in \IN}\|_{2}^2[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_k|}{|k|} \leq (\summe_{k=1}^{\infty} |x_k|^2) \cdot (\summe_{k=1}^{\infty} k^{-4})[/mm]
> (nach Cauchy-Schwarz)


Schon das erste "=" oben ist falsch. Es ist

[mm] ||Ax||_2^2=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_k|^2}{k^2} [/mm]

Eine weitere Abschätzung mit Cauchy - Schwarz bringt nichts ! (Warum ?)



> [mm]\leq[/mm] C [mm]\cdot \|x\|_{2}^2,[/mm] da die Reihe
> [mm](\summe_{k=1}^{\infty} k^{-4})[/mm] konvergiert.
>  
> Durch die Beschränktheit bekommen wir dann automatisch
> auch eine obere Schranke für die Operatornorm. Diese
> lautet
>  
> [mm]\|A\| \leq (\summe_{k=1}^{\infty} |k^{-4}|)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Wie man nun eine obere Schranke findet, weiß ich
> nicht...habt ihr vielleicht eine Idee? ich bedanke mich im
> Voraus!!!

Also

[mm] ||Ax||_2^2=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_k|^2}{k^2} \le \summe_{k=1}^{\infty}|x_k|^2 [/mm] = [mm] ||x||_2^2. [/mm]

Somit:

[mm] ||Ax||_2 \le ||x||_2. [/mm]

Es folgt: $||A|| [mm] \le [/mm] 1$

Nun finde ein $x [mm] \in l^2$ [/mm] mit [mm] ||Ax||_2 [/mm] = [mm] ||x||_2. [/mm]

Dann ist ||A||=1.

FRED

>  
> Viele Grüße,
>  Laura


Bezug
                
Bezug
Operatornorm berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Do 16.07.2015
Autor: Laura22

Ahhh, du hast Recht! Für die untere Schranke könnte ich dann doch einfach den ersten kanonischen Einheitsvektor im [mm] l^2 [/mm] hernehmen, oder? Mit diesem folgt
[mm] \|Ax\|_{2} [/mm] = [mm] |x_1| [/mm] = [mm] \|x\|_{2}. [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Operatornorm berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Do 16.07.2015
Autor: fred97


> Ahhh, du hast Recht! Für die untere Schranke könnte ich
> dann doch einfach den ersten kanonischen Einheitsvektor im
> [mm]l^2[/mm] hernehmen, oder? Mit diesem folgt
>  [mm]\|Ax\|_{2}[/mm] = [mm]|x_1|[/mm] = [mm]\|x\|_{2}.[/mm]  

Mit x meinst Du hoffentlich x=(1,0,0,0,...), also [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_n=0 [/mm] für n>1.

Wenn Du es so meinst, dann stimmts.

FRED


Bezug
                        
Bezug
Operatornorm berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Do 16.07.2015
Autor: Laura22

[mm] x_1 [/mm] ist hier natürlich 1... aber der gewählte [mm] l^2-Vektor [/mm] müsste nat. trotzdem gehen. Im übrigen vielen Dank für die Hilfe!!!

Bezug
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