matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisOperatornorm der HR-Adjung.ten
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionalanalysis" - Operatornorm der HR-Adjung.ten
Operatornorm der HR-Adjung.ten < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Operatornorm der HR-Adjung.ten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Mo 29.09.2014
Autor: Schachtel5

Hallo
ich bin extrem aus der Mathematik raus.
Sei H ein Hilbertraum und [mm] A\in [/mm] L(H). Ich will wissen, wieso für die Hilbertraumadjungierte [mm] A^{\*}\in [/mm] L(H) gilt [mm] :\|A^{\*}\|=\|A\| [/mm]
[mm] A^{\*} [/mm] ist charakterisiert durch: [mm] \forall x,y\in [/mm] H ist [mm] = [/mm]
bzw [mm] A^{\*}=\Phi^{-1}A'\Phi [/mm] mit [mm] A':H^{\*}\to [/mm] H* Banachraumadjungierte von A und
[mm] \Phi:H\to H^{\*} [/mm] der antilineare isometrische Isomorphismus aus dem Darstellungssatz von Riesz.
Genauer haperts bei mir an der Gleichung: [mm] \|\Phi^{-1}A'\Phi\|=\|A'\|. [/mm] Ich weiss, dass [mm] \|A'\|=\|A\| [/mm] gilt und irgendwie muss wohl die Isometrie-Eigenschaft ausschlaggebend sein, weshalb die Gleichung gelten soll. Aber ich kann ja nicht sagen zb, dass [mm] \Phi [/mm] Operatornorm 1 hätte, denn wir haben die Operatornorm nur für lineare stetige Abbildungen zwischen normierten Räumen definiert und [mm] \Phi [/mm] ist konjugiert linear.
Ich freue mich über jede Hilfe.
Gruß


        
Bezug
Operatornorm der HR-Adjung.ten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Do 02.10.2014
Autor: andyv

Hallo

Da sowohl [mm] $\Phi$ [/mm] als auch ihre Inverse Isometrien sind, gelten [mm] $\|\Phi^{-1}A'\Phi [/mm] x [mm] \|=\|A'\Phi x\|$ [/mm] und [mm] $\|\Phi [/mm] x [mm] \|=\|x\|$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] H$, woras die behauptete Gleichheit der Operatornormen folgt.

Dass die Abbildung $A [mm] \rightarrow [/mm] A'$ eine Isometrie ist, folgt im Übrigen aus dem Satz von Hahn-Banach, genauer aus der Gleichung [mm] $\|x\|=\sup_{x' \in \overline{B_1(0)} \subset H'} \|x'(x)\|$. [/mm]

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Operatornorm der HR-Adjung.ten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 So 05.10.2014
Autor: Schachtel5

danke für deine Antwort. Achso, leider haperts bei mir dann jetzt an der Gleichung [mm] \|A'\Phi x\|=\|A'x\|. [/mm]
Ich kann ja nicht sagen, dass [mm] \Phi [/mm] x=x, sondern nur [mm] \|\Phi x\|=\|x\|, [/mm] deswegen muss man da noch abschätzen oder?
Also [mm] \|A'\Phi x\|\le \|A'\|\|\Phi x\|=\|A'\|\|x\| [/mm]  ( [mm] \Rightarrow \|A'\Phi \|\le \|A'\|) [/mm] .
Und wie geht die andere Abschätzung? Oder wie sieht man die Gleichung genau ein?


Bezug
                        
Bezug
Operatornorm der HR-Adjung.ten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 05.10.2014
Autor: andyv

Da bist du auf dem falschen Weg, [mm] $\|A'x\|=\|A'\Phi x\|$ [/mm] kannst du nicht zeigen.

Da [mm] $\Phi^{-1}$ [/mm] eine Isometrie ist, gilt [mm] $\|A^\*y\|=\|A'\Phi y\| [/mm] \ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] H$.
Nun bildest du das Supremum über die 1-Sphäre um 0 in H.
Auf der linken Seite steht dann die Operatornorm von [mm] $A^\*$, [/mm] auf der rechten Seite kannst du aber auch das Supremum über alle [mm] $x:=\Phi [/mm] y [mm] \in \partial B_1(0)$ [/mm] laufen lassen, da ja [mm] $\Phi$ [/mm] eine isometrischer Isomorphismus ist und erhälst die Operatornorm von [mm] $A^{'}$. [/mm]

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Operatornorm der HR-Adjung.ten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 So 05.10.2014
Autor: fred97

Es ist

[mm] ||A^{\star}y||=\sup_{||x ||=1}||=\sup_{||x ||=1}|| \le \sup_{||x ||=1}||Ax||*||y||=||A||*||y||. [/mm]

(das [mm] \le [/mm] folgt aus Cauchy-Schwarz).

Wir haben also:

(*)  [mm] $||A^{\star}|| \le [/mm] ||A||$

Benutze nun [mm] A^{\star \star}=A [/mm] und (*), um

   [mm] $||A^{\star}|| \ge [/mm] ||A||$

zu erhalten.

FRED

Bezug
                
Bezug
Operatornorm der HR-Adjung.ten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 So 05.10.2014
Autor: DieAcht

Freddy, Fred, Fred Feuerstein, willkommen zurück aus dem Urlaub(?). :-)

Viele Grüße
DieAcht

Bezug
                        
Bezug
Operatornorm der HR-Adjung.ten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 So 05.10.2014
Autor: fred97


> Freddy, Fred, Fred Feuerstein, willkommen zurück aus dem
> Urlaub(?). :-)

Hallo Acht,

danke für die Begrüßung ! Ja, gestern kam ich aus Andalusien zurück.

Cadiz, Sevilla, Jerez, Ronda, ..... einfach toll !


Gruß FRED

>  
> Viele Grüße
>  DieAcht


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]