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Forum "Lineare Abbildungen" - Orthogonale Ebenen
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Orthogonale Ebenen: Orthogonale Ebenen mit Paramet
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:17 Do 26.04.2012
Autor: Masseltof

Aufgabe
In [mm] E_{3} [/mm] betrachten wir die Punkte:
[mm] P=\vektor{-1\\-3\\1} Q=\vektor{1\\-1\\2} R=\vektor{-2\\2\\-4} [/mm]
[mm] S=\vektor{a\\2\\1} [/mm]

[mm] H_{1} [/mm] bezeichne die Ebene durch die Punkte P,Q,R
[mm] H_{2} [/mm] bezeichne die Ebene durch die Punkte P,Q,S

Berechnen Sie die Hesse-Normalform der beiden Ebenen.
Für welchen Wert sind beide Ebenen orthogonal zueinander?

Hallo.

Ich komme bei der obigen Aufgabe nicht weiter.
Meine Idee ist wäre es zunächst die Vektoren zu suchen, die die Ebene aufspannen.
Dafür benötige ich einen Punkt und zwei unabhängige Vektoren.

1.D.h ich müsste die Ortsvektoren von P,Q,R und P,Q,S zunächst auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.
Quasi:
a*P+b*Q=0
a*P+b*R=0
usw.  

2.Die linear unabhängigen Vektoren Gründen mit einem beliebigen Punkt eine Ebene.

3.Jeder Punkt einer Ebene kann durch eine Gleichung der Form: [mm] x_{p}+s*u+t*v=x_{z} [/mm] beschrieben werden.

D.h die Gleichung [mm] x_{z1}*x_{xz2} [/mm] wobei [mm] x_{z1} \in H_{1} [/mm] und [mm] x_{z2} \in H_{2}= [/mm] 0 ist, da die Ebenen orthogonal zueinander sein sollen und somit jeder Vektor der Ebene [mm] H_{1} [/mm] orthogonal zu jedem Vektor der Eben [mm] H_{2} [/mm] ist.

Gibt es hierfür nicht auch eine einfachere Lösungsmöglichkeit?

Viele Grüße



        
Bezug
Orthogonale Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:06 Do 26.04.2012
Autor: angela.h.b.


> In [mm]E_{3}[/mm] betrachten wir die Punkte:
>  [mm]P=\vektor{-1\\ -3\\ 1} Q=\vektor{1\\ -1\\ 2} R=\vektor{-2\\ 2\\ -4}[/mm]
>  
> [mm]S=\vektor{a\\ 2\\ 1}[/mm]
>  
> [mm]H_{1}[/mm] bezeichne die Ebene durch die Punkte P,Q,R
>  [mm]H_{2}[/mm] bezeichne die Ebene durch die Punkte P,Q,S
>  
> Berechnen Sie die Hesse-Normalform der beiden Ebenen.
>  Für welchen Wert sind beide Ebenen orthogonal
> zueinander?
>  Hallo.
>
> Ich komme bei der obigen Aufgabe nicht weiter.
>  Meine Idee ist wäre es zunächst die Vektoren zu suchen,
> die die Ebene aufspannen.
>  Dafür benötige ich einen Punkt und zwei unabhängige
> Vektoren.

Hallo,

wenn Du Abi hast, sollte die Aufgabe eigentlich mit Schulkenntnissen zu lösen sein.

Durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, ist eine Ebene eindeutig festgelegt.
Hast Du die nichtkollinearen Punkte A,B,C gegeben, so lautet die Gleichung der Ebene E in Parameterform

E: [mm] \vec{x}=\overrightarrow{0A}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}[/mm]

Falls die A,B,C auf einer Geraden liegen, merkst Du das daran, daß [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] Vielfache voneinander sind.

Für die HNF benötigst Du den Normaleneinheitsvektor [mm] \vec{n_0} [/mm] von E.
Ich habe in einem anderen Beitrag gesehen, daß Du weißt, wie man ihn aus den beiden Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] berechnen kann.

Nun sollte dem Aufstllen der beiden Ebenengleichungen [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] eigentlich nicht mehr viel im Wege stehen.

Orthogonal sind die Ebenen, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind.

LG Angela


>

> 1.D.h ich müsste die Ortsvektoren von P,Q,R und P,Q,S
> zunächst auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.

>  Quasi:
>  a*P+b*Q=0
>  a*P+b*R=0
> usw.  
>
> 2.Die linear unabhängigen Vektoren Gründen mit einem
> beliebigen Punkt eine Ebene.
>  
> 3.Jeder Punkt einer Ebene kann durch eine Gleichung der
> Form: [mm]x_{p}+s*u+t*v=x_{z}[/mm] beschrieben werden.
>  
> D.h die Gleichung [mm]x_{z1}*x_{xz2}[/mm] wobei [mm]x_{z1} \in H_{1}[/mm] und
> [mm]x_{z2} \in H_{2}=[/mm] 0 ist, da die Ebenen orthogonal
> zueinander sein sollen und somit jeder Vektor der Ebene
> [mm]H_{1}[/mm] orthogonal zu jedem Vektor der Eben [mm]H_{2}[/mm] ist.
>  
> Gibt es hierfür nicht auch eine einfachere
> Lösungsmöglichkeit?
>  
> Viele Grüße
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Orthogonale Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Do 26.04.2012
Autor: Masseltof

Hallo.

Folgendermaßen habe ich gerechnet:

[mm] H_{1}: \vektor{-1\\-3\\1}+s\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{-1\\5\\-5} [/mm]
[mm] H_{2}: \vektor{-1\\3\\1}+u\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{a+1\\5\\0} [/mm]

[mm] \vektor{0\\2\\1}*n_{1}=0 [/mm]
[mm] \vektor{-1\\5\\-5}*n_{1}=0 [/mm]
[mm] \vektor{0\\2\\1}*n_{2}=0 [/mm]
[mm] \vektor{a+1\\5\\0}*n_{2}=0 [/mm]

[mm] n_{1}*n_{2}=n_{1x}+n_{2x}+n_{1y}*n_{2y}+n_{1z}*n_{2z}=0 [/mm]

Das sind die Bedingungen die gegeben sind.


Gelöst habe ich das folgendermaßen:

[mm] 2n_{1x}+2n_{1z}=0 [/mm]
[mm] -n_{1x}+5n_{1y}-5n_{1z}=0 [/mm]

[mm] n_{1z}=a=2 [/mm]
[mm] n_{1x}=-1 [/mm]
[mm] n_{1y}=\bruch{9}{5} [/mm]

[mm] 2n_{2y}+n_{2z}=0 [/mm]
[mm] (a+1)n_{2x}+5n_{2y}=0 [/mm]

[mm] n_{2z}=b \Rightarrow n_{2y}=\bruch{b}{2} [/mm]
[mm] n_{2x}=-\bruch{5*0.5b}{a+1} [/mm]

Demnach gilt für [mm] n_{1}*n_{2}=n_{1x}+n_{2x}+n_{1y}*n_{2y}+n_{1z}*n_{2z}= [/mm]
[mm] -5*\bruch{0.5b}{a+1}*-1+\bruch{9}{5}*\bruch{b}{2}+2*b=0 [/mm]
[mm] =2.5b+\bruch{9}{10}(a+1)*b+2b(a+1)= [/mm]
[mm] =2.5b+\bruch{9}{1}ab+\bruch{9}{10}b+2ab+2b=0 [/mm]
[mm] =2.5b+\bruch{9}{10}+2b=-\bruch{9}{10}ab-2ab [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] a=-\bruch{54}{29} [/mm]

Ich glaube, dass ich mich verrechnet habe...

Grüße

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Orthogonale Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Do 26.04.2012
Autor: MathePower

Hallo Masseltof,

> Hallo.
>  
> Folgendermaßen habe ich gerechnet:
>  
> [mm]H_{1}: \vektor{-1\\-3\\1}+s\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{-1\\5\\-5}[/mm]
>  


Der Richtungsvektor  bei dem Parameter s muß hier [mm]\vektor{\red{2}\\2\\1}[/mm] lauten.


> [mm]H_{2}: \vektor{-1\\3\\1}+u\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{a+1\\5\\0}[/mm]
>  


Hier ist der Stützvektor derselbe wie bei der Ebene H1.

Der Richtungsvektor bei dem Parameter u muß hier ebenfalls  [mm]\vektor{\red{2}\\2\\1}[/mm] lauten.

> [mm]\vektor{0\\2\\1}*n_{1}=0[/mm]
> [mm]\vektor{-1\\5\\-5}*n_{1}=0[/mm]
>  [mm]\vektor{0\\2\\1}*n_{2}=0[/mm]
>  [mm]\vektor{a+1\\5\\0}*n_{2}=0[/mm]
>  
> [mm]n_{1}*n_{2}=n_{1x}+n_{2x}+n_{1y}*n_{2y}+n_{1z}*n_{2z}=0[/mm]
>  
> Das sind die Bedingungen die gegeben sind.
>  
>
> Gelöst habe ich das folgendermaßen:
>  
> [mm]2n_{1x}+2n_{1z}=0[/mm]
>  [mm]-n_{1x}+5n_{1y}-5n_{1z}=0[/mm]
>  
> [mm]n_{1z}=a=2[/mm]
>  [mm]n_{1x}=-1[/mm]
>  [mm]n_{1y}=\bruch{9}{5}[/mm]
>  
> [mm]2n_{2y}+n_{2z}=0[/mm]
>  [mm](a+1)n_{2x}+5n_{2y}=0[/mm]
>  
> [mm]n_{2z}=b \Rightarrow n_{2y}=\bruch{b}{2}[/mm]
>  
> [mm]n_{2x}=-\bruch{5*0.5b}{a+1}[/mm]
>  
> Demnach gilt für
> [mm]n_{1}*n_{2}=n_{1x}+n_{2x}+n_{1y}*n_{2y}+n_{1z}*n_{2z}=[/mm]
>  [mm]-5*\bruch{0.5b}{a+1}*-1+\bruch{9}{5}*\bruch{b}{2}+2*b=0[/mm]
>  [mm]=2.5b+\bruch{9}{10}(a+1)*b+2b(a+1)=[/mm]
>  [mm]=2.5b+\bruch{9}{1}ab+\bruch{9}{10}b+2ab+2b=0[/mm]
>  [mm]=2.5b+\bruch{9}{10}+2b=-\bruch{9}{10}ab-2ab[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
>  [mm]a=-\bruch{54}{29}[/mm]
>  
> Ich glaube, dass ich mich verrechnet habe...
>  
> Grüße
>  
> Grüße



Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Orthogonale Ebenen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:20 Do 26.04.2012
Autor: Masseltof

Hallo ,danke für den Hinweis.

Ich komme hier nicht weiter , da ich bei einem Ausdruck der Form
[mm] a+x+c+n_{y}=a+x+c+n_{y} [/mm] hängenbliebe.

Ist denn meine Vorgehensweise richtig?

Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Orthogonale Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:55 Fr 27.04.2012
Autor: angela.h.b.


> Hallo ,danke für den Hinweis.
>  
> Ich komme hier nicht weiter , da ich bei einem Ausdruck der
> Form
> [mm]a+x+c+n_{y}=a+x+c+n_{y}[/mm] hängenbliebe.

Hallo,

man müßte schon auf einen Blick sehen können, was Du rechnest.
Mit dieser Zeile allein kann man wenig anfangen.

Rechne doch zuerst mal einen (!) Normalenvektor der ersten Ebene aus.

Ist Dir klar, daß die Normalenvektoren nicht eindeutig sind? Sie können lang oder kurz sein. Du kannst irgendeinen davon nehmen.

LG Angela

>  
> Ist denn meine Vorgehensweise richtig?
>  
> Grüße


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