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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Orthogonalmatrix
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Orthogonalmatrix: Paramet einer Orthogonalmatrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Sa 13.01.2018
Autor: asg

Aufgabe
Finden Sie eine Belegung der Variablen $a, b [mm] \in [/mm] Z$, so dass $A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ a & b }$ [/mm] orthogonal ist.

Hallo,

meine Lösung:
[mm] $A^T \cdot [/mm] A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm]
[mm] $\pmat{ 1 & a \\ 2 & b } \cdot \pmat{ 1 & 2 \\ a & b } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm]
[mm] $\pmat{ 1+a^2 & 2+ab \\ 2+ab & 4+b^2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow 1+a^2 [/mm] =1 [mm] \Rightarrow [/mm] a = 0$ Nun $a$ in $2+ab = 0$ einsetzen: dann kommt $2 = 0$ raus.
Und es gilt [mm] $4+b^2 [/mm] =1 [mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] \sqrt{-3}$ [/mm]

Also Nichts stimmt an der Berechnung.
Mache ich etwas falsch oder ist die Aufgabe falsch?

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Orthogonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Sa 13.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Finden Sie eine Belegung der Variablen [mm]a, b \in Z[/mm], so dass
> [mm]A = \pmat{ 1 & 2 \\ a & b }[/mm] orthogonal ist.
> Hallo,

>

> meine Lösung:
> [mm]A^T \cdot A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & a \\ 2 & b } \cdot \pmat{ 1 & 2 \\ a & b } = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]

>

> [mm]\pmat{ 1+a^2 & 2+ab \\ 2+ab & 4+b^2 } = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]

>

> [mm]%5CRightarrow%201%2Ba%5E2%20%3D1%20%5CRightarrow%20a%20%3D%200[/mm] Nun [mm]a[/mm] in [mm]2+ab = 0[/mm]
> einsetzen: dann kommt [mm]2 = 0[/mm] raus.
> Und es gilt [mm]4+b^2 =1 \Rightarrow b = \sqrt{-3}[/mm]

>

> Also Nichts stimmt an der Berechnung.
> Mache ich etwas falsch oder ist die Aufgabe falsch?

Ich sehe an deiner Rechnung keinen Fehler. Ergo gibt es keine solche Matrix. Noch schneller siehst du es, wenn du einmal das Produkt [mm] A*A^T [/mm] bildest.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Orthogonalmatrix: Danke! [GELÖST]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 Sa 13.01.2018
Autor: asg

Hallo,

danke für die schnelle Antwort.

> > Finden Sie eine Belegung der Variablen [mm]a, b \in Z[/mm], so dass [mm]A = \pmat{ 1 & 2 \\ a & b }[/mm] orthogonal ist.

> Ich sehe an deiner Rechnung keinen Fehler. Ergo gibt es keine solche Matrix. Noch schneller siehst du es, wenn du einmal das Produkt [mm]A*A^T[/mm] bildest.
>  

Dann finde ich die Formulierung der Aufgabe "doof" bzw. ist die Aufgabenstellung doch falsch.

> Gruß, Diophant

Viele Grüße
Asg


Bezug
                        
Bezug
Orthogonalmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 So 14.01.2018
Autor: Diophant

Hallo asg,

> Dann finde ich die Formulierung der Aufgabe "doof" bzw. ist
> die Aufgabenstellung doch falsch.

Ja, da gebe ich dir recht. Das hätte dann heißen sollen: Prüfen Sie, ob... oder Gibt es orthogonale Matrizen der Form... oder etwas in der Art.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Orthogonalmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:02 Mo 15.01.2018
Autor: asg

Hallo Diophant ,

Danke für die nochmalige Antwort.

> Ja, da gebe ich dir recht. Das hätte dann heißen sollen:
> Prüfen Sie, ob... oder Gibt es orthogonale Matrizen der Form... oder etwas in der Art.

Schön, dass ich mit meiner Ansicht nicht alleine dastehe :)

Viele Grüße
Asg

Bezug
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