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Orthogonalraum: Tipp|Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Mo 06.10.2014
Autor: Kletteraffe

Aufgabe
Sei $f [mm] \in [/mm] End(V)$, wobei $(V, <.>)$ ein euklidischer Raum und $B:= [mm] (v_1, \cdots, v_n)$ [/mm] eine orthonormale Basis für $V$ ist. Außerdem sei $f$ selbstadjungiert.

Ferner sei [mm] $\phi: [/mm] V [mm] \rightarrow V^{\star}$ [/mm] eine [mm] $\mathbb{R}$-lineare [/mm] Abbildung mit [mm] $\phi(v)(v') [/mm] := <v, v'>$. Dabei sei [mm] $B^{\star} [/mm] := [mm] (v^{\star}_1, \cdots, v^{\star}_n)$ [/mm] die Dualbasis zu $B$. Es gelte [mm] $\phi(v_i) [/mm] = [mm] v^{\star}_i$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{ 1, \cdots, n \}$. [/mm]

Schließlich sei $U [mm] \subset [/mm] T$ ein Unterraum eines K-VR $T$ und [mm] $U^0 \subset T^{\star}$ [/mm] ein Unterraum mit [mm] $U^0 [/mm] := [mm] \{ (L: T \rightarrow K) \in T^{\star}: U \subset ker(L) \}$. [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] $\phi(ker [/mm] f) = (im [mm] f)^{0}$ [/mm] gilt.

Hallo zusammen,

ich versuche mich schon seit zwei Tagen an dieser Aufgabe und komme leider nicht auf die Lösung. Es ist eine alte Klausuraufgabe, die ich lösen (und verstehen!) möchte.

Meine Ideen soweit:

Mithilfe des Basisauswahlsatzes nehme ich mir aus der gegebenen orthonormalen Basis von V eine Basis für den Kern und das Bild von f, also (o.B.d.A.): $ker f = [mm] span(v_1, \cdots, v_r)$ [/mm] und $im f = span( [mm] f(v_{r+1}), \cdots, f(v_n))$. [/mm]

Nun ist [mm] $\phi(ker [/mm] f) = span( [mm] \phi(v_1), \cdots, \phi(v_r) [/mm] ) = span( [mm] v^{\star}_1, \cdots, v^{\star}_r [/mm] )$ nach Aufgabenstellung. Sei zunächst [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^{r} \lambda_k v^{\star}_k \in \phi(ker [/mm] f)$ und $x := [mm] \sum_{j=r+1}^{n} \mu_j f(v_j) \in [/mm] im f$.

Dann gilt doch, dass
[mm] $\alpha [/mm] (x) = [mm] \sum_{k=1}^{r} \lambda_k v^{\star}_k [/mm] (x) =  [mm] \sum_{k=1}^{r} \lambda_k \sum_{j=r+1}^{n} \mu_j v^{\star}_k (f(v_j))$ [/mm]
$= [mm] \sum_{k=1}^{r} \lambda_k \sum_{j=r+1}^{n} \mu_j [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{r} \lambda_k \sum_{j=r+1}^{n} \mu_j [/mm] $
$= [mm] \sum_{k=1}^{r} \lambda_k \sum_{j=r+1}^{n} \mu_j <0_V, v_j> [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{r} \lambda_k 0_K [/mm] = [mm] 0_K$. [/mm]

Und somit [mm] $\alpha(x) [/mm] = [mm] 0_K$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] im f$, also $im f [mm] \subset [/mm] ker [mm] \alpha$ [/mm] und somit [mm] $\alpha \in [/mm] (im [mm] f)^0$ [/mm] für alle [mm] $\alpha \in \phi(ker [/mm] f)$ und somit [mm] $\phi [/mm] (ker f) [mm] \subset [/mm] (im [mm] f)^0$. [/mm]

Falls das richtig sein sollte, müsste jetzt die Gegenrichtung gezeigt werden, aber da tue ich mich etwas schwer.. Könntet ihr mir erstmal sagen ob diese Richtung richtig ist bzw. wie man das am elegantesten zeigen sollte?

Vielen Dank schonmal :)

        
Bezug
Orthogonalraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Mo 06.10.2014
Autor: andyv

Hallo,

soweit ich das überblicke ist dein Beweis der Inklusion richtig. (Allerdings geht das auch direkter.)

Für die andere Inklusion ist der Darstellungssatz von Riesz hilfreich, demnach existiert für jedes $L [mm] \in [/mm] (im [mm] f)^0$ [/mm] genau ein $w [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $(\Phi [/mm] w)(v')=<w|v'>=L(v') \ [mm] \forall v'\in [/mm] V$. Zeige $w [mm] \in [/mm] ker f$.

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Orthogonalraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mo 06.10.2014
Autor: Kletteraffe

Hallo andyv,

vielen Dank für deine Antwort :)

Zwei Fragen:
1. Wie genau würde ein direkter/eleganter Beweis zur ersten Inklusion aussehen? (was müsste ich nutzen?)
2. Ich habe mir den Satz von Riesz gerade angesehen und glaube, dass der noch ein wenig über meinem Wissensstand ist.. gibt es eine Möglichkeit den zweiten Teil auf eine andere Art und Weise zu zeigen? (Die Aufgabe ist aus einer LinA2-Klausur)

Und die Aufgabe sieht nach einem Spezialfall aus, gibt es eine Verallgemeinerung, die ich in dem Zusammenhang kennenlernen sollte?

Bezug
                        
Bezug
Orthogonalraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Mo 06.10.2014
Autor: andyv

ad 1: Man braucht die Vektoren nicht unbedingt in einer Basis darzustellen. Für [mm] $\Phi [/mm] w [mm] \in \Phi(ker [/mm] f)$ zeigt man [mm] $(\Phi [/mm] w)(v')=0 \ [mm] \forall v'\in [/mm] im f$.

ad 2: Wenn das aus einer LA2 Klausur ist, wird der Satz von Riesz in seiner einfachen Form (die Version aus der FA braucht man hier nicht) sicherlich vorhanden sein. Mit Hilfe des Satzes zeigt man auch typischerweise z.B. die Existenz der Adjungierten in LA1/2.

Liebe Grüße

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