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Orthonormalbasis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Mo 14.04.2014
Autor: Babybel73

Hallo zusammen

Muss folgende Aufgabe lösen:
Auf dem Vektorraum P aller reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n gibt es eine Bilinearform, die folgendermassen definiert ist:
[mm] =\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm]
Man finde eine Orthonormalbasis von P für diese Bilinearform für die Fälle n=1,2,3.

So nun habe ich diese wie folgt gelöst:
Für n=1: Standardbasis des Vektorraums P aller reellen Polynome ist: [mm] {1,x}={e_1,e_2} [/mm]

Es gilt bereits: [mm] \bruch{e_1}{||e_1||}=1 [/mm]

Nun muss ich machen, dass [mm] e_1 [/mm] orthogonal zu [mm] e_2 [/mm]
[mm] x_2'=e_2-*e_1=x-(\integral_{-1}^{1}{x dx})*1=x, [/mm] da [mm] \integral_{-1}^{1}{x dx}=0 [/mm]

Nun muss ich [mm] x_2' [/mm] noch normieren:
[mm] x_2=\bruch{x_2'}{||x_2'||}=\bruch{x}{\wurzel{x^2}}=1 [/mm]

Somit wäre also die Orthonormalbasis für n=1: {1,1}={1}

Ist das richtig????

Für n=2 & n=3 ergibt das Integral ja auch immer 0, somit wäre auch dort die Orthogonalbasis immer {1}
Das kann doch nicht sein....??
Wo mache ich den Fehler?

Vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Mo 14.04.2014
Autor: hippias


> Hallo zusammen
>  
> Muss folgende Aufgabe lösen:
>  Auf dem Vektorraum P aller reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n
> gibt es eine Bilinearform, die folgendermassen definiert
> ist:
> [mm]=\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm]
>  Man finde eine
> Orthonormalbasis von P für diese Bilinearform für die
> Fälle n=1,2,3.
>  
> So nun habe ich diese wie folgt gelöst:
> Für n=1: Standardbasis des Vektorraums P aller reellen
> Polynome ist: [mm]{1,x}={e_1,e_2}[/mm]
>  
> Es gilt bereits: [mm]\bruch{e_1}{||e_1||}=1[/mm]

Nein: s.u.

>  
> Nun muss ich machen, dass [mm]e_1[/mm] orthogonal zu [mm]e_2[/mm]
>  [mm]x_2'=e_2-*e_1=x-(\integral_{-1}^{1}{x dx})*1=x,[/mm]
> da [mm]\integral_{-1}^{1}{x dx}=0[/mm]
>  
> Nun muss ich [mm]x_2'[/mm] noch normieren:
> [mm]x_2=\bruch{x_2'}{||x_2'||}=\bruch{x}{\wurzel{x^2}}=1[/mm]

Achtung: Die Norm eines Vektors ist stets eine Zahl und die Norm in diesem Raum ist ueber die Bilinearform definiert als [mm] $||f||^{2}= \int_{-1}^{1} f^{2}dx$. [/mm] Damit ist z.B. [mm] $||e_{2}||^{2}= \frac{2}{3}$. [/mm]

>  
> Somit wäre also die Orthonormalbasis für n=1: {1,1}={1}

Abgesehen von der falschen Normierung: der Raum ist doch $2$-dimensional. Daher kann das keine Basis sein.

>  
> Ist das richtig????
>  
> Für n=2 & n=3 ergibt das Integral ja auch immer 0,

Richtig ist, dass Du die Ergebnisse fuer die hoeher dimensionalen Raeume verwenden kannst.

> somit
> wäre auch dort die Orthogonalbasis immer {1}
>  Das kann doch nicht sein....??
> Wo mache ich den Fehler?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!  


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