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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Orthonormales Tupel
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Orthonormales Tupel: Tipp/ Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Di 09.05.2017
Autor: Franzi17

Aufgabe:

Sei (u1,...,un) ein orthonormales Tupel mit u1,...,un ∈Rm. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
a) Das Tupel [mm] (u_1,...,u_n) [/mm] ist eine Basis von [mm] R_m [/mm] (also insbesondere n = m).
b.) Für alle u ∈ [mm] R_m [/mm] gilt [mm] \left|| u \right||^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \left| \right|^2 [/mm]


Hallo,

bei a.)
Fehlt mir die Beweisidee.
Ich weiss, dass Ein Orthonormalsystem immer linear unabhängig ist und
dass man mit Gram Schmidt jedes Orthonormalssystem zu einer ONB ergänzen kann. Aber ich komm nicht auf einen Ansatz.

b.) habe ich gelöst. Stimmt das so?

Fourier-Entwicklung:
u = [mm] \summe_{i=1}^{N} *u_i [/mm]

[mm] (u_1, [/mm] ..., [mm] u_n) [/mm] ist ONB von V
-> Es existiert [mm] \Lambda_1,...,\Lambda_n \in \IR [/mm] mit
u = [mm] \summe_{s=1}^{N} \Lambda_s*u_s [/mm]

[mm] [/mm] = [mm] <\summe_{s=1}^{N} \Lambda_s*u_s, u_i> [/mm] = [mm] \summe_{s=1}^{N} \Lambda_s* [/mm] = [mm] \Lambda_i [/mm]

da:
[mm] [/mm] = 0 für s ungleich i
und = 1 für s =i

->
u = [mm] \summe_{i=1}^{N} \Lambda_i*u_i [/mm]

z.Z.:
[mm] \left|| u \right||^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \left| \right|^2 [/mm]

[mm] \left|| u \right||^2 [/mm]  = <u,u> = [mm] <\summe_{i=1}^{N} \Lambda_i*u_i, \summe_{i=1}^{N} \Lambda_i*u_i> [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} <\Lambda_i*u_i, \Lambda_i*u_i> [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \left|| \Lambda_i*u_i \right||^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \left| \Lambda_i \right|^2*\left|| u_i \right||^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \left| \Lambda_i \right|^2* [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \left| \Lambda_i \right|^2*1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \left| \right|^2* [/mm]

Danke für die Hilfe!!


        
Bezug
Orthonormales Tupel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:02 Di 09.05.2017
Autor: fred97

jetzt sind hellseher gefragt. ich bin keiner. wie lauten denn die Aufgabenstellungen?

Bezug
                
Bezug
Orthonormales Tupel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Di 09.05.2017
Autor: Franzi17

Tut mir leid :)
ich habe die Aufgabenstellung eingefügt!

Bezug
                        
Bezug
Orthonormales Tupel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:05 Mi 10.05.2017
Autor: leduart

Hallo
ich seh keine Aufgabe, weder a) vollständig noch irgendwas von b
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Orthonormales Tupel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Mi 10.05.2017
Autor: Franzi17

Tut mir leid, mir hatte es einen Teil wiedet gelöscht, jetzt passt es!

Bezug
        
Bezug
Orthonormales Tupel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Fr 12.05.2017
Autor: tobit09

Hallo Franzi17!


>  Aufgabe:
>  
> Sei (u1,...,un) ein orthonormales Tupel mit u1,...,un
> ∈Rm. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent
> sind.
> a) Das Tupel [mm](u_1,...,u_n)[/mm] ist eine Basis von [mm]R_m[/mm] (also
> insbesondere n = m).
>  b.) Für alle u ∈ [mm]R_m[/mm] gilt [mm]\left|| u \right||^2[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{N} \left| \right|^2[/mm]

(Mit N ist hier n gemeint, oder?)



> b.) habe ich gelöst. Stimmt das so?

Du meinst, dass du die Richtung von a) nach b) gelöst hast.
  

> Fourier-Entwicklung:
>  u = [mm]\summe_{i=1}^{N} *u_i[/mm]

(Das benötigst du im Folgenden gar nicht.)


> [mm](u_1,[/mm] ..., [mm]u_n)[/mm] ist ONB von V
>  -> Es existiert [mm]\Lambda_1,...,\Lambda_n \in \IR[/mm] mit

>  u = [mm]\summe_{s=1}^{N} \Lambda_s*u_s[/mm]

[ok]


> [mm][/mm] = [mm]<\summe_{s=1}^{N} \Lambda_s*u_s, u_i>[/mm] =
> [mm]\summe_{s=1}^{N} \Lambda_s*[/mm] = [mm]\Lambda_i[/mm]
>  
> da:
> [mm][/mm] = 0 für s ungleich i
> und = 1 für s =i

[ok]


> ->
> u = [mm]\summe_{i=1}^{N} \Lambda_i*u_i[/mm]
>  
> z.Z.:
> [mm]\left|| u \right||^2[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{N} \left| \right|^2[/mm]
>  
> [mm]\left|| u \right||^2[/mm]  = <u,u> = [mm]<\summe_{i=1}^{N} \Lambda_i*u_i, \summe_{i=1}^{N} \Lambda_i*u_i>[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{N} <\Lambda_i*u_i, \Lambda_i*u_i>[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{N} \left|| \Lambda_i*u_i \right||^2[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{N} \left| \Lambda_i \right|^2*\left|| u_i \right||^2[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{N} \left| \Lambda_i \right|^2*[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{N} \left| \Lambda_i \right|^2*1[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{N} \left| \right|^2*[/mm]

[ok]


Schön, die Richtung von a) nach b) hast du vollständig gelöst! :-)


> bei a.)
>  Fehlt mir die Beweisidee.

Du meinst: Bei der Richtung von b) nach a).


> Ich weiss, dass Ein Orthonormalsystem immer linear
> unabhängig ist und
> dass man mit Gram Schmidt jedes Orthonormalssystem zu einer
> ONB ergänzen kann. Aber ich komm nicht auf einen Ansatz.

Das ist ein guter Ansatz!

Erweitern wir also [mm] $(u_1,\ldots,u_n)$ [/mm] zu einer Orthonormalbasis [mm] $(u_1,\ldots,u_n,u_{n+1},\ldots,u_m)$ [/mm] des [mm] $\IR^m$. [/mm]

Es genügt nun, $n=m$ zu zeigen (denn dann ist [mm] $(u_1,\ldots,u_n)=(u_1,\ldots,u_m)$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^m$). [/mm]

Angenommen es gilt doch $m>n$.
Zu zeigen ist ein Widerspruch.

Berechne unter der Annahme $m>n$ die Norm [mm] $||u_m||$ [/mm] einmal direkt und einmal unter Verwendung von b).


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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