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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Orthonormalprojektionen
Orthonormalprojektionen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Orthonormalprojektionen: Injektivität von A auf A ortho
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Di 13.03.2012
Autor: euklidischerraum

hi Leute hab ne wichtige Frage

Es sei eine matrix A [mm] \in [/mm] mxn  mit Maximalrang gegeben und B sei orthogonal auf A, warum ist die Abbildung f die von A auf den Kern von b abbildet injektiv ?

LG

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Orthonormalprojektionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Di 13.03.2012
Autor: fred97


> hi Leute hab ne wichtige Frage

Ich hab auch wichtige Fragen, weil Deine Angaben sehr dürftig sind.

>  
> Es sei eine matrix A [mm]\in[/mm] mxn  



A [mm] \in \IR^{m \times n} [/mm] oder A [mm] \in \IC^{m \times n} [/mm] oder ....   ???


> mit Maximalrang gegeben und B
> sei orthogonal auf A,

Was soll das heißen ? Etwa Bild(A) [mm] \perp [/mm] Bild(B) ?  Was ist B ? eine Matrix ? Wenn ja, welches Format ?





> warum ist die Abbildung f die von A  auf den Kern von b abbildet injektiv ?

Ist f linear ? Was soll das heißen: " die von A .....  abbildet" ?  Ist f auf Bild(A) def. ?

FRED

>  
> LG
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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Orthonormalprojektionen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:25 Di 13.03.2012
Autor: euklidischerraum

Danke für die schnelle Antwort

Also folgendes A [mm] ist\in\IR^{m \times n} [/mm] und Bild(B) seht senkrecht auf Bild(A) und nun heißt es das [mm] A_{|B} [/mm] injektiv sei.

LG euklidischeraum

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Orthonormalprojektionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Di 13.03.2012
Autor: angela.h.b.


> > > Es sei eine matrix A $ [mm] \in [/mm] $ mxn  mit Maximalrang gegeben und B sei orthogonal auf A, warum ist die Abbildung f die von A auf den Kern von b abbildet injektiv ?
> Also folgendes A [mm]ist\in\IR^{m \times n}[/mm] und Bild(B) seht
> senkrecht auf Bild(A) und nun heißt es das [mm]A_{|B}[/mm] injektiv
> sei.
>  
> LG euklidischeraum

Hallo,

[willkommenmr].

Ich kapiere noch nicht worum es geht.

Man hat also eine Matrix [mm] A\in \IR^{m\times n} [/mm]  mit vollem Rang
und
eine Matrix [mm] B\in [/mm] ???
Weiter wissen wir, daß Bild B [mm] \perp [/mm] Bild A.

Was haben A und B miteinander zu tun?

Dann gibt es noch eine Abbildung f: [mm] ???\to [/mm] Kern B, von welcher gezeigt werden soll, daß sie injektiv ist. Neben dem Definitionsbereich wäre noch interessant, wie sie definiert ist.
Oder soll ihre Existenz gezeigt werden?

[mm] $A_{|B}$ [/mm] kommt mir nun vollends geheimnisvoll vor...

Vorschlag zur Güte: Du postest nun mal den kompletten Aufgabentext so, wie er dasteht. Ohne eigene Ausschmückungen, Interpretationen, Verkürzungen.

LG Angela


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Orthonormalprojektionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Di 13.03.2012
Autor: euklidischerraum

Also in meinem Skript steht, dass A eine Matrix [mm] \in\IR^{mxn}sei [/mm] und das es zu dieser Matrix eine Matrix B = [mm] A^{\perp} [/mm] gibt und das [mm] A|_{Kern(A)^{\perp}} [/mm] injektiv sei

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Orthonormalprojektionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Di 13.03.2012
Autor: fred97


> Also in meinem Skript steht, dass A eine Matrix
> [mm]\in\IR^{mxn}sei[/mm] und das es zu dieser Matrix eine Matrix B =
> [mm]A^{\perp}[/mm] gibt und das [mm]A|_{Kern(A)^{\perp}}[/mm] injektiv sei

Mein Gott, so geht das nicht !Das ist alles aus einem größeren Zusammenhang herausgerissen. Diesen Zusammenhang teilst Du uns nicht mit.

1.Die Bezeichnung [mm] $B=A^{\perp}$ [/mm] sagt mir nichts, aber das heißt sehr wenig.

2. Sind  V und W   euklidische Vektorräume und A:V [mm] \to [/mm] W linear, so gilt:

                $V=Kern(A) [mm] \oplus (Kern(A))^{\perp}$. [/mm]


Dann ist aber die Aussage

                    [mm]A|_{Kern(A)^{\perp}}[/mm]  ist injektiv

eine Trivialität !!!


FRED


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Orthonormalprojektionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Di 13.03.2012
Autor: euklidischerraum

Also das Hauptthema ist die Orthogonalprojektion,dabei ist V ein euklidischer endlich dimensionaler Vektorraum und A bildet von V nach W(ebenfalls endlich dimensional) ab.

Zum Bild von A gibt es eine Orthogonalprojektion die einen Vektor [mm] b\in\IR^{m} [/mm] (mit Ax=b)auf [mm] A^{\perp} [/mm] abbildet, und nun heißt es hier einfach im Skript das [mm] A|_Kern(A)^{\perp} [/mm] injektiv sei und [mm] Kern(A)^{\perp} [/mm] = [mm] Bild(A^{T}) [/mm] ist.

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Orthonormalprojektionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Di 13.03.2012
Autor: fred97


> Also das Hauptthema ist die Orthogonalprojektion,dabei ist
> V ein euklidischer endlich dimensionaler Vektorraum und A
> bildet von V nach W(ebenfalls endlich dimensional) ab.
>  
> Zum Bild von A gibt es eine Orthogonalprojektion die einen
> Vektor [mm]b\in\IR^{m}[/mm] (mit Ax=b)auf [mm]A^{\perp}[/mm] abbildet,


Jetzt hab ich langsam genug ! Da b [mm] \in \IR^m [/mm] und Ax=b, ist wohl W= [mm] \IR^m [/mm] oder was ?

Was bedeutet "abbilden auf  [mm]A^{\perp}[/mm]" ? Was ist  [mm]A^{\perp}[/mm] ?

> und
> nun heißt es hier einfach im Skript das [mm]A|_Kern(A)^{\perp}[/mm]
> injektiv sei und [mm]Kern(A)^{\perp}[/mm] = [mm]Bild(A^{T})[/mm] ist.

Dass "[mm]A|_Kern(A)^{\perp}[/mm] ist injektiv" eine Trivialität ist , hab ich Dir schon gesagt.

Dass [mm]Kern(A)^{\perp}[/mm] = [mm]Bild(A^{T})[/mm] ist, kann man sofort mit den Definitionen nachrechnen.


Ich klink mich aus.

FRED

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