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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Orthonormieren
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Orthonormieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mo 17.09.2007
Autor: barsch

Aufgabe
Orthonormiere

[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} },\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{i \\ 0 \\ -\wurzel{2} }\in\IC^3 [/mm]

bezüglich des Standardskalarproduktes des [mm] \IC^3. [/mm]

Hi,

das Standardskalarprodukt des [mm] \IC^n [/mm] lautet doch:

[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i*\overline{y_i}; [/mm] speziell in diesem Fall [mm] \summe_{i=1}^{3}x_i*\overline{y_i}. [/mm]

Und [mm] \overline{y_i} [/mm] bedeutet doch im Falle [mm] y_i=i\wurzel{2}, \overline{y_i}=-i\wurzel{2}, [/mm] oder? Zumindest habe ich das so verstanden.

Mein Problem ist jedoch folgendes:

Ich nehme [mm] v_1=\vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} } [/mm] und will diesen nach  []Gram-Schmidt normalisieren.

Dann erhalte ich:

[mm] u_1=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{(-1)^2+1^2+(i\wurzel{2})^2}}*\vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} } [/mm]

Aber, jetzt kommt im Nenner doch 0 heraus - und durch 0 darf man ja nicht teilen! Was mache ich falsch?

Muss ich im [mm] \IC^n [/mm] auch beim Normalsieren etwas anders machen? Wie muss ich vorgehen?

MfG barsch

        
Bezug
Orthonormieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mo 17.09.2007
Autor: leduart

Hallo
der Betrag von a+ib ist NICHT [mm] \wurzel{a^2+(ib)^2} [/mm] dann gäbs ja ne menge Vektoren mit Länge 0! sondern [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm]
also [mm] \wurzel{z*\overline{z}} [/mm]
Das sagt doch auch die Def, des Skalarprodukts!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Orthonormieren: kurze Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Mo 17.09.2007
Autor: barsch

Hi,

danke für die schnelle Antwort.

Das heißt, wenn ich [mm] v_1 [/mm] normalisieren will, dann lautet die Rechnung:

[mm] u_1=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{(-1)^2+1^2+(\wurzel{2})^2}}\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} }=\bruch{1}{2}*\vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} } [/mm] ?

Naja, wie der Rest dann geht, weiß ich jetzt.

Danke.

MfG barsch

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Bezug
Orthonormieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:00 Mo 17.09.2007
Autor: schachuzipus

Hallo barsch,

[daumenhoch]

Das stimmt, mache dir aber nochmal genau klar, was da unter der Wurzel steht:

[mm] $||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle}=\sqrt{\left(\sum\limits_{i=1}^3v_i\cdot{}\overline{v}_i\right)}$ [/mm]

Für reelle Zahlen $r$ ist [mm] $\overline{r}=r$, [/mm] für komplexe [mm] $\overline{a+bi}=a-bi$ [/mm]

Also [mm] $||v||=\sqrt{(-1)(-1)+1\cdot{}1+(\sqrt{2}i)\cdot{}(-\sqrt{2}i)}=\sqrt{4}=2$ [/mm]


LG

schachuzius

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Bezug
Orthonormieren: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:04 Mo 17.09.2007
Autor: barsch

Okay, vielen Dank.

Jetzt wird mir auch klar, wie es zustande kommt. [lichtaufgegangen]

MfG barsch

Bezug
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