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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Parabelgleichung mit 3 Punkten
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Parabelgleichung mit 3 Punkten: Parabelgleichung,3, Punkte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Sa 23.11.2013
Autor: Asura

Aufgabe
Wie lautet die Gleichung der Parabel, die durch die Punkte P1(1/3) , P2(-1/9) und P3(2/6) verläuft?

Guten Tag
und zwar habe ich ein Problem, das mein Versuch diese Aufgabe zu lösen zum Teil nicht aufgeht.
Vorweg: Nachdem ich die Gleichung aufgestellt und durch Überprüfung mein Ergebnis kontrolliert habe, stellte ich fest das zwar P1 und P3 mit dem richtigen Y-Wert aufgeht, doch P2 leider nicht.

Hier mein Weg:

f(1) = 3   => a* 1²    + b*1     + c=3
f(-1)= 9  => a *(-1)² + b*(-1)  + c=9
f(2)= 6   => a * 2²    + b*2     + c=6

Mithilfe der Koeffizientenmatrix a,b,c auflösen.

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & 1 & 9 \\ 4 & 2 & 1 & 6 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 12 \\ 4 & 2 & 1 & 6 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 12 \\ 0 & -2 & -3 & -6 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & -2 & -12 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1,5 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 12 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 0 & -0,5 & 0 \\ 0 & 1 & 1,5 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 12 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 0 & -0,5 & 0 \\ 0 & 1 & 1,5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 6 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1,5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 6 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 6 } [/mm]

Dann ablesen: a = 3  ; b= -6  ; c = 6
Dann habe ich das in die Formel eingesetzt:

f(x)=3*x²+(-6)*x+6

Und wenn ich nun P1 und P3 überprüfe, kriege ich jeweils die richtigen Y-Werte heraus.

f(1)=3
f(3)=6

Bei P2 aber kriege ich: f(-1)=15.
Auch bei der grafischen Lösung komme ich auf das Ergebnis.

Nun meine Frage, was habe ich falsch gemacht?

Gruß
Asura

        
Bezug
Parabelgleichung mit 3 Punkten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Sa 23.11.2013
Autor: Ebri


> Wie lautet die Gleichung der Parabel, die durch die Punkte
> P1(1/3) , P2(-1/9) und P3(2/6) verläuft?
>  Guten Tag
> und zwar habe ich ein Problem, das mein Versuch diese
> Aufgabe zu lösen zum Teil nicht aufgeht.
>  Vorweg: Nachdem ich die Gleichung aufgestellt und durch
> Überprüfung mein Ergebnis kontrolliert habe, stellte ich
> fest das zwar P1 und P3 mit dem richtigen Y-Wert aufgeht,
> doch P2 leider nicht.
>  
> Hier mein Weg:
>  
> f(1) = 3   => a* 1²    + b*1     + c=3
>  f(-1)= 9  => a *(-1)² + b*(-1)  + c=9

>  f(2)= 6   => a * 2²    + b*2     + c=6

>  
> Mithilfe der Koeffizientenmatrix a,b,c auflösen.
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & 1 & 9 \\ 4 & 2 & 1 & 6 }[/mm]

[mm] (-1)^{2} [/mm] = 1  Die Matrix lautet also:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 9 \\ 4 & 2 & 1 & 6 } [/mm]

Der kleine Fehler ist leider ganz am Anfang.

Gruß
Ebri


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