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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:03 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
es geht um die Parameterisierung einer Rotationsfläche mit konstanter mittlerer Krümmung. Ich vermute, dass diese eine bestimmte Eigenschaft aufweist und will dies zeigen.
Sei [mm]x(u,v) = (g(u), h(u) \cos v, h(u) \sin v)[/mm] eine Parameterisierung einer Rotationsfläche [mm]M[/mm], welche aus Rotation der regulären Kurve [mm]\alpha(u) = (g(u),h(u),0)[/mm] um die [mm]x[/mm]-Achse entsteht mit [mm]g(u_1) \le g(u_2)[/mm] für [mm]u_1 \le u_2[/mm]. Ich will beweisen:
Besitzt [mm]M[/mm] konstante mittlere Krümmung, dann ist [mm]g(u)[/mm] entweder konstant oder streng monoton wachsend.
Wir nehmen also an, dass [mm]g(u)[/mm] nicht konstant ist, es aber zwei Punkte [mm]u_1 \neq u_2[/mm] gibt mit [mm]g(u_1) = g(u_2)[/mm]. Also ist [mm]g[/mm] konstant zwischen [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm]. In anderen Worten, es existiert ein Punkt [mm]u_0[/mm] mit [mm]g'(u_0) = 0[/mm] und [mm]g''(u_0) = 0[/mm]. Die Formeln der Gauß- und mittleren Krümmung sind gegeben durch:
[mm]K = \frac{g'(g''h' - h''g')}{h(g'^2 + h'^2)^2}[/mm] und [mm]H = \frac{h^2(g''h' - h''g') + hg'(g'^2 + h'^2)}{2h^2(g'^2 + h'^2)^\frac{3}{2}}[/mm].
Jetzt beobachten wir [mm]K(u_0,v) = 0[/mm] und [mm]H(u_0,v) = 0[/mm]. Sei [mm]p_0 = x(u_0,v)[/mm]. Nach Definition von [mm]K[/mm] und [mm]H[/mm] erhalten wir
[mm]H(p_0) = \frac{1}{2}(k_1(p_0) + k_2(p_0)) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad k_1(p_0) = - k_2(p_0)[/mm]
und
[mm]K(p_0) = k_1(p_0) \cdot k_1(p_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad k_1(p_0) = k_2(p_0) = 0[/mm].
Wenn nun [mm]M[/mm] überall konstante mittlere Krümmung hat, dann muss dies [mm]H \equiv 0[/mm] sein. Betrachten wir also die Fälle für [mm]H = 0[/mm]:
1. Fall: [mm]k_1(p) = k_2(p) = 0[/mm]
2. Fall: [mm]k_1(p) = -k_2(p) \neq 0[/mm]
Von oben wissen wir, dass es mindestens einen Punkt gibt mit [mm]k_1(p) = k_2(p) = 0[/mm]. Wenn auch für jeden anderen Punkt von [mm]M[/mm] gilt [mm]k_1(p) = k_2(p) = 0[/mm], dann ist [mm]M[/mm] eine Ebene. Das wäre ein Widerspruch, denn [mm]g[/mm] ist konstant für Ebenen. Also muss es mindestens einen anderen Punkt geben mit [mm]k_1(p) = -k_2(p) \neq 0[/mm].
Jetzt bleibt also zu zeigen, dass es keine Rotationsfläche gibt, die nur aus Punkten vom 1. und 2. Fall besteht. Und hier bin ich hängen geblieben.
Ich wäre übrigens auch mit einem anderen Ansatz zufrieden ;)
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 02.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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