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Partialbruchzerlegung: Finde den Fehler nicht!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mi 29.02.2012
Autor: mbau16

Aufgabe
Berechnen Sie den Ausdruck:

[mm] I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx [/mm]

Guten Abend,

folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.

[mm] I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx [/mm]

[mm] (x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1-\bruch{3x^{2}+7}{x^{4}+3x^{2}-4} [/mm]

1.Nullstellen im Nenner:

[mm] x^{2}-1=0 [/mm]

[mm] x_{1,2}=\pm1 [/mm]

[mm] x^{2}+4=0 [/mm]

[mm] x_{3,4}=\pm2i [/mm]

2.Zuordnung der Partialbrüche

[mm] \bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4} [/mm]

Partialbruchzerlegung (Ansatz):

[mm] \bruch{3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4} [/mm]

Hauptnenner:

[mm] 3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1) [/mm]

Einsetzmethode:

[mm] x_{1}=1=10A->A=\bruch{1}{10} [/mm]

[mm] x_{-1}=-1=-10B->B=-\bruch{1}{10} [/mm]

Koeffizientenvergleich:

[mm] x^{3} [/mm]

0=A+B+C->C=0

[mm] x^{2} [/mm]

[mm] 3=A-B+D->D=3-\bruch{1}{5}=\bruch{14}{5} [/mm]

[mm] x^{1} [/mm]

0=4A+4B-C->C=0

[mm] x^{0} [/mm]

[mm] 7=4A-4B-D->7-\bruch{4}{5}=\bruch{31}{5} [/mm]

Also, irgendwas muss hier schieflaufen, sonst würde ich ja nicht zwei verschiedene Ergebnisse für D rausbekommen.

Könnt Ihr mal bitte schauen, ob Ihr den Fehler findet?

Vielen Dank

Gruß

mbau16







        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mi 29.02.2012
Autor: MathePower

Hallo mbau16,

> Berechnen Sie den Ausdruck:
>  
> [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  Guten
> Abend,
>  
> folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
>  
> [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1-\bruch{3x^{2}+7}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]

>


Das gebrochen-rationale Teil des
Ergebnisses der Polynomdivision stimmt nicht..  


> 1.Nullstellen im Nenner:
>  
> [mm]x^{2}-1=0[/mm]
>  
> [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
>  
> [mm]x^{2}+4=0[/mm]
>  
> [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
>  
> 2.Zuordnung der Partialbrüche
>  
> [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  
> Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>  
> [mm]\bruch{3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  
> Hauptnenner:
>  
> [mm]3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
>  
> Einsetzmethode:
>  
> [mm]x_{1}=1=10A->A=\bruch{1}{10}[/mm]
>  
> [mm]x_{-1}=-1=-10B->B=-\bruch{1}{10}[/mm]
>  
> Koeffizientenvergleich:
>  
> [mm]x^{3}[/mm]
>  
> 0=A+B+C->C=0
>  
> [mm]x^{2}[/mm]
>  
> [mm]3=A-B+D->D=3-\bruch{1}{5}=\bruch{14}{5}[/mm]
>  
> [mm]x^{1}[/mm]
>  
> 0=4A+4B-C->C=0
>  
> [mm]x^{0}[/mm]
>  
> [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{4}{5}=\bruch{31}{5}[/mm]
>  
> Also, irgendwas muss hier schieflaufen, sonst würde ich ja
> nicht zwei verschiedene Ergebnisse für D rausbekommen.
>  
> Könnt Ihr mal bitte schauen, ob Ihr den Fehler findet?
>  
> Vielen Dank
>  
> Gruß
>  
> mbau16
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mi 29.02.2012
Autor: mbau16

Hallo nochmal
>  
> > Berechnen Sie den Ausdruck:
>  >  
> > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  >  
> Guten
> > Abend,
>  >  
> > folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
>  >  
> > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  >  
> >
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1-\bruch{3x^{2}+7}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>  >
>  
>
> Das gebrochen-rationale Teil des
> Ergebnisses der Polynomdivision stimmt nicht.

Sorry, aber was stimmt den daran nicht?

[mm] (x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4} [/mm]

Ist es so besser?

>
>
> > 1.Nullstellen im Nenner:
>  >  
> > [mm]x^{2}-1=0[/mm]
>  >  
> > [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
>  >  
> > [mm]x^{2}+4=0[/mm]
>  >  
> > [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
>  >  
> > 2.Zuordnung der Partialbrüche
>  >  
> > [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  >  
> > Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>  >  
> >
> [mm]\bruch{3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  >  
> > Hauptnenner:
>  >  
> >
> [mm]3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
>  >  
> > Einsetzmethode:
>  >  
> > [mm]x_{1}=1=10A->A=\bruch{1}{10}[/mm]
>  >  
> > [mm]x_{-1}=-1=-10B->B=-\bruch{1}{10}[/mm]
>  >  
> > Koeffizientenvergleich:
>  >  
> > [mm]x^{3}[/mm]
>  >  
> > 0=A+B+C->C=0
>  >  
> > [mm]x^{2}[/mm]
>  >  
> > [mm]3=A-B+D->D=3-\bruch{1}{5}=\bruch{14}{5}[/mm]
>  >  
> > [mm]x^{1}[/mm]
>  >  
> > 0=4A+4B-C->C=0
>  >  
> > [mm]x^{0}[/mm]
>  >  
> > [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{4}{5}=\bruch{31}{5}[/mm]
>  >  
> > Also, irgendwas muss hier schieflaufen, sonst würde ich ja
> > nicht zwei verschiedene Ergebnisse für D rausbekommen.
>  >  
> > Könnt Ihr mal bitte schauen, ob Ihr den Fehler findet?
>  >  
> > Vielen Dank
>  >  
> > Gruß
>  >  
> > mbau16


Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Mi 29.02.2012
Autor: MathePower

Hallo  mbau16,

> Hallo nochmal
>  >  
> > > Berechnen Sie den Ausdruck:
>  >  >  
> > > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  >  >

>  
> > Guten
> > > Abend,
>  >  >  
> > > folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
>  >  >  
> > > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  >  >

>  
> > >
> >
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1-\bruch{3x^{2}+7}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>  >  >
>  >  
> >
> > Das gebrochen-rationale Teil des
> > Ergebnisses der Polynomdivision stimmt nicht.
>  
> Sorry, aber was stimmt den daran nicht?
>
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>  
> Ist es so besser?


Ja. [ok]


>  >

> >
> > > 1.Nullstellen im Nenner:
>  >  >  
> > > [mm]x^{2}-1=0[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]x^{2}+4=0[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
>  >  >  
> > > 2.Zuordnung der Partialbrüche
>  >  >  
> > > [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  >  >  
> > > Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]\bruch{3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  >  >  
> > > Hauptnenner:
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
>  >  >  
> > > Einsetzmethode:
>  >  >  
> > > [mm]x_{1}=1=10A->A=\bruch{1}{10}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]x_{-1}=-1=-10B->B=-\bruch{1}{10}[/mm]
>  >  >  
> > > Koeffizientenvergleich:
>  >  >  
> > > [mm]x^{3}[/mm]
>  >  >  
> > > 0=A+B+C->C=0
>  >  >  
> > > [mm]x^{2}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]3=A-B+D->D=3-\bruch{1}{5}=\bruch{14}{5}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]x^{1}[/mm]
>  >  >  
> > > 0=4A+4B-C->C=0
>  >  >  
> > > [mm]x^{0}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{4}{5}=\bruch{31}{5}[/mm]
>  >  >  
> > > Also, irgendwas muss hier schieflaufen, sonst würde ich ja
> > > nicht zwei verschiedene Ergebnisse für D rausbekommen.
>  >  >  
> > > Könnt Ihr mal bitte schauen, ob Ihr den Fehler findet?
>  >  >  
> > > Vielen Dank
>  >  >  
> > > Gruß
>  >  >  
> > > mbau16
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Mi 29.02.2012
Autor: mbau16

Hallo nochmal,

nachdem ich von MathePower einen sehr guten Tipp bekommen habe, bin ich mit meiner Aufgabe fast zufrieden. Allerdings muss jetzt noch ein kleiner Fehler drinstecken. Mehr dazu unten!

Berechnen Sie den Ausdruck:

[mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]

Guten Abend,

folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.

[mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]


[mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]

1.Nullstellen im Nenner:
  
[mm]x^{2}-1=0[/mm]

[mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]

[mm]x^{2}+4=0[/mm]
  
[mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]

2.Zuordnung der Partialbrüche

[mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
  
Partialbruchzerlegung (Ansatz):  

[mm]\bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]

Hauptnenner:

[mm]-3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]

>  >  >  >  
> > > > Einsetzmethode:
>  >  >  >  
> > > > [mm]x_{1}=4=10A->A=\bruch{2}{5}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > [mm]x_{-1}=4=-10B->B=-\bruch{2}{5}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Koeffizientenvergleich:
>  >  >  >  
> > > > [mm]x^{3}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > 0=A+B+C->C=0
>  >  >  >  
> > > > [mm]x^{2}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > [mm]-3=A-B+D->D=-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > [mm]x^{1}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > 0=4A+4B-C->C=0
>  >  >  >  
> > > > [mm]x^{0}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=\bruch{19}{5}[/mm]

Wie Ihr seht, kommt bei D einmal + und einmal - [mm] \bruch{19}{5} [/mm] raus. Woran liegt das. Ich sehe es nicht.

Könnt Ihr nochmal bitte schauen?

Gruß

mbau16




Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Mi 29.02.2012
Autor: leduart

Hallo
wenn du deine x einsetzt, tust du das nur rechts:  z.B x=1
[mm] -3*1^2+7=10A [/mm]
also 4=10A
entsprechend an dden anderen Stellen, den Rest hab ich dann nicht angesehen.
gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Do 01.03.2012
Autor: mbau16

Guten Morgen,

folgender Ausdruck beschäftigt mich.

Berechnen Sie den Ausdruck:
  
[mm] I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx [/mm]

[mm] (x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4} [/mm]
  
1.Nullstellen im Nenner:
    
[mm] x^{2}-1=0 [/mm]
  
[mm] x_{1,2}=\pm1 [/mm]
  
[mm] x^{2}+4=0 [/mm]
  
[mm] x_{3,4}=\pm2i [/mm]
  
2.Zuordnung der Partialbrüche

[mm] \bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4} [/mm]

Partialbruchzerlegung (Ansatz):  

[mm][mm] \bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4} [/mm]
  
Hauptnenner:
  
[mm] -3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1) [/mm]

Einsetzmethode:

Habe hier links und rechts [mm] x_{1,2}=\pm1 [/mm] eingesetzt!
  
[mm] 4=10A->A=\bruch{2}{5} [/mm]
  
[mm] 4=-10B->B=-\bruch{2}{5} [/mm]

Koeffizientenvergleich:

[mm] x^{3} [/mm]

0=A+B+C->C=0

[mm] x^{2} [/mm]

[mm] -3=A-B+D->-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5} [/mm]

[mm] x^{1} [/mm]

0=4A+4B-C->C=0

[mm] x^{0} [/mm]

[mm] 7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=\bruch{19}{5} [/mm]

Wie Ihr seht, bekomme ich einmal - und einmal [mm] +\bruch{19}{5} [/mm] raus. Woran liegt das? Sehe es leider nicht. Ich habe alle Tipps aus den oberen threads berücksichtigt.

Vielen Dank!

Gruß

mbau16





Bezug
                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Do 01.03.2012
Autor: M.Rex


[mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=\bruch{19}{5}[/mm]

Hier hast du das - vor dem D übersehen.

[mm] 7=4\cdot\frac{2}{5}-4\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)-D [/mm]
[mm] \Leftrightarrow 7=\frac{16}{5}-D [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{19}{5}=-D [/mm]
[mm] \Leftrightarrow -\frac{19}{5}=D [/mm]

Marius






Bezug
                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Do 01.03.2012
Autor: mbau16


> Guten Morgen,
>  
> folgender Ausdruck beschäftigt mich.
>  
> Berechnen Sie den Ausdruck:
>    
> [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>    
> 1.Nullstellen im Nenner:
>      
> [mm]x^{2}-1=0[/mm]
>    
> [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
>    
> [mm]x^{2}+4=0[/mm]
>    
> [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
>    
> 2.Zuordnung der Partialbrüche
>  
> [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  
> Partialbruchzerlegung (Ansatz):  
>
> [mm][mm]\bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]

    
Hauptnenner:
  
[mm]-3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
  
Einsetzmethode:

Habe hier links und rechts [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm] eingesetzt!
  
[mm]4=10A->A=\bruch{2}{5}[/mm]
  
[mm]4=-10B->B=-\bruch{2}{5}[/mm]
  
Koeffizientenvergleich:

[mm]x^{3}[/mm]

0=A+B+C->C=0

[mm]x^{2}[/mm]

[mm]-3=A-B+D->-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}[/mm]

[mm]x^{1}[/mm]

0=4A+4B-C->C=0

[mm]x^{0}[/mm]

[mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=-D=D=-\bruch{19}{5}[/mm]

Ach, super danke Marius. Blöder Fehler!

Jetzt das Integral:

[mm] I=\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x-1}dx-\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x+1}dx-\bruch{19}{5}\integral\bruch{1}{x^{2}+4}dx [/mm]

Stimmt es so, da C=0?

Vielen Dank!

Gruß

mbau16






Bezug
                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Do 01.03.2012
Autor: M.Rex


> > Guten Morgen,
>  >  
> > folgender Ausdruck beschäftigt mich.
>  >  
> > Berechnen Sie den Ausdruck:
>  >    
> > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  >  
> >
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>  >    
> > 1.Nullstellen im Nenner:
>  >      
> > [mm]x^{2}-1=0[/mm]
>  >    
> > [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
>  >    
> > [mm]x^{2}+4=0[/mm]
>  >    
> > [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
>  >    
> > 2.Zuordnung der Partialbrüche
>  >  
> > [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  >  
> > Partialbruchzerlegung (Ansatz):  
> >
> >
> [mm]\bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]

    
Hauptnenner:
    
[mm]-3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
  
Einsetzmethode:
  
Habe hier links und rechts [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm] eingesetzt!
    
[mm]4=10A->A=\bruch{2}{5}[/mm]
    
[mm]4=-10B->B=-\bruch{2}{5}[/mm]
  
Koeffizientenvergleich:
  
[mm]x^{3}[/mm]
  
0=A+B+C->C=0
  
[mm]x^{2}[/mm]
  
[mm]-3=A-B+D->-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}[/mm]
  
[mm]x^{1}[/mm]
  
0=4A+4B-C->C=0
  
[mm]x^{0}[/mm]
  
[mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=-D=D=-\bruch{19}{5}[/mm]
  
Ach, super danke Marius. Blöder Fehler!

Jetzt das Integral:

[mm]I=\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x-1}dx-\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x+1}dx-\bruch{19}{5}\integral\bruch{1}{x^{2}+4}dx[/mm]

Stimmt es so, da C=0?

Vielen Dank!
  
Gruß
  
mbau16

Der Ansatz ist korrekt.

Marius
  






Bezug
                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Do 01.03.2012
Autor: mbau16


>
> > > Guten Morgen,
>  >  >  
> > > folgender Ausdruck beschäftigt mich.
>  >  >  
> > > Berechnen Sie den Ausdruck:
>  >  >    
> > > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>  >  >

>  
> > >
> >
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>  >  >    
> > > 1.Nullstellen im Nenner:
>  >  >      
> > > [mm]x^{2}-1=0[/mm]
>  >  >    
> > > [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
>  >  >    
> > > [mm]x^{2}+4=0[/mm]
>  >  >    
> > > [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
>  >  >    
> > > 2.Zuordnung der Partialbrüche
>  >  >  
> > > [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>  >  >  
> > > Partialbruchzerlegung (Ansatz):  
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>      
> Hauptnenner:
>      
> [mm]-3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
>    
> Einsetzmethode:
>    
> Habe hier links und rechts [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm] eingesetzt!
>      
> [mm]4=10A->A=\bruch{2}{5}[/mm]
>      
> [mm]4=-10B->B=-\bruch{2}{5}[/mm]
>    
> Koeffizientenvergleich:
>    
> [mm]x^{3}[/mm]
>    
> 0=A+B+C->C=0
>    
> [mm]x^{2}[/mm]
>    
> [mm]-3=A-B+D->-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}[/mm]
>    
> [mm]x^{1}[/mm]
>    
> 0=4A+4B-C->C=0
>    
> [mm]x^{0}[/mm]
>    
> [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=-D=D=-\bruch{19}{5}[/mm]
>    
> Ach, super danke Marius. Blöder Fehler!
>
> Jetzt das Integral:
>  
> [mm]I=\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x-1}dx-\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x+1}dx-\bruch{19}{5}\integral\bruch{1}{x^{2}+4}dx[/mm]
>  
> Stimmt es so, da C=0?
>  
> Vielen Dank!
>    
> Gruß
>    
> mbau16
>  
> Der Ansatz ist korrekt.
>  
> Marius

Somit das Integral:

[mm] I=\bruch{2}{5}\left[ln(x-1)\right]-\bruch{2}{5}\left[ln(x+1)\right]-\bruch{19}{5}\left[\bruch{1}{2}arctan\left(\bruch{x}{2}\right)\right] [/mm]  

Ein letzter Blick von Euch würd mir nochmal helfen. Müsste jetzt alles stimmen.

Vielen Dank!

Gruß

mbau16


Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Do 01.03.2012
Autor: M.Rex


>  
> [mm]I=\bruch{2}{5}\left[ln(x-1)\right]-\bruch{2}{5}\left[ln(x+1)\right]-\bruch{19}{5}\left[\bruch{1}{2}arctan\left(\bruch{x}{2}\right)\right][/mm]
>  
>
> Ein letzter Blick von Euch würd mir nochmal helfen.
> Müsste jetzt alles stimmen.
>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  
> mbau16
>  

Das sieht dann gut aus.

Marius


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