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Forum "Integration" - Partialbruchzerlegung für Int.
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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 00:34 Fr 17/03/2017
Author: mka

Aufgabe
Berechen Sie das folgende bestimmte Integral:
[mm] \int_{4^{5}}^{5^{5}} \! \frac{22x^{\frac{2}{5}}+77x^{\frac{1}{5} }+53}{5(x^{\frac{7}{5}}+3x^{\frac{6}{5}}+x+3x^{\frac{4}{5}})} [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx
Geben Sie eine Stammfunktion des Integranden an.

Guten Abend,

ich habe Probleme mit der gestellten Aufgabe.

Mein Ansatz:
[mm] t=x^{\frac{1}{5}} [/mm]
[mm] x=t^{5}=P(t) [/mm]
[mm] P'(t)=5t^{4} [/mm]

[mm] =\int_{4^{5}}^{5^{5}} \! \frac{22t^{2}+77t+53}{5(t^{7}+3t^{6}+t+3t^{4}} \, 5t^{4}dt [/mm]

[mm] =\int_{4^{5}}^{5^{5}} \! \frac{22t^{2}+77t+53}{t^{3}+3t^{2}-t^{3}+3} \, [/mm] dt

Als nächstes habe ich versucht Nullstellen zu berechnen, aber hier ist mein Problem.

[mm] 3t^{2}+3=0 [/mm]
[mm] t^{2}=-1 [/mm]
t1=i
t2=-i

Ich habe versucht mich an einer anderen Aufgabe zu orientieren, aber hat mir auch nicht ganz geholfen. Bei der bin ich mir aber auch nicht sicher, ob die korrekt ist.
[mm] t=x^{\frac{1}{11}} [/mm]
[mm] x=t^{11}=P(t) [/mm]
[mm] P'(t)=11t^{10} [/mm]

[mm] \int_{}^{} \! \frac{82t^{3}+110t^{2}-118t+60}{11(t^{14}-3t^{12}-4t^{10}} \, 11t^{10}dt [/mm]
[mm] =\int_{}^{} \! \frac{82t^{3}+110t^{2}-118t+60}{t^{4}-3t^{2}-4} \,dt [/mm]

[mm] t^{4}-3t^{2}-4=0 [/mm]
[mm] z=t^{2} [/mm]
[mm] z^{2}-3z-4=0 [/mm]
[mm] z1,2=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}} [/mm]
[mm] =\frac{3}{2}\pm\frac{5}{2} [/mm]
z1=4 z2=-1
[mm] t^{2}=4=2 [/mm] t1=2 t2=-2
[mm] t^{2}=-1 [/mm] t3=i t4=-i
[mm] t^{4}-3t^{2}-4=(t-2)(t+2)(t-i)(t+i) [/mm]
[mm] =(t-2)(t+2)(t^{2}+1) [/mm]

[mm] \frac{82t^{3}+110t^{2}-118t+60}{(t-2)(t+2)(t^{2}+1}=\frac{A}{(t-2)}+\frac{B}{(t+2)}+\frac{Ct+D}{(t^{2}+1} [/mm]
[mm] 82t^{3}+110t^{2}-118t+60=A(t+2)(t^{2})+B(t-2)(t^{2}+1)+(Ct+D)(t-2)(t+2) [/mm]
t=2 A=46
t=-2 B=2
t=i C=40 D=10

[mm] =[\int_{}^{} \! \frac{46}{t-2}+\frac{2}{t+2}+\frac{40t}{t^{2}+1}+\frac{10}{t^{2}+1} \, [/mm] dt
[mm] =[46ln(t-2)+2ln(t+2)+20ln(t^{2}+1)+10arctan(t)+c] [/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=2085971#post2085971

        
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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 01:34 Fr 17/03/2017
Author: leduart

Hallo
du hast im Nenner 2 mal wohl einen Tipfehler.
du musst eben nur eine Zerlegung in A/(x+3) und [mm] B/(x^2+1) [/mm] machen.
Gruß ledum

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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 02:24 Fr 17/03/2017
Author: mka

An welcher Stelle sind die Tippfehler? Meinen Sie die Klammern in der unteren Aufgane?

Wie komme ich auf die Nullstelle x=3?
Was ich soweit gerechnet habe, ist richtig?> Hallo


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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:34 Fr 17/03/2017
Author: fred97

Nach der Substitution [mm] x=t^5 [/mm] lautet das Integral wie folgt:

$ [mm] \int_{4}^{5} [/mm] \ [mm] \frac{22t^{2}+77t+53}{t^{3}+3t^{2}+t+3} \, [/mm] dt $ .

Du hattest einen Fehler im Nenner und bei den neuen Integrationsgrenzen hast Du Dich vertan.

Zu den Nullstellen von [mm] t^{3}+3t^{2}+t+3: [/mm]

Man probiert es mit den Teilern des konstanten Gliedes 3 und sieht dann: -3 ist eine Nullstelle. Polynomdivision liefert dann:

[mm] t^{3}+3t^{2}+t+3=(t+3)(t^2+1). [/mm]

Damit lautet der Ansatz für die PBZ:

[mm] \frac{22t^{2}+77t+53}{t^{3}+3t^{2}+t+3}=\frac{A}{t+3}+\frac{Bt+C}{t^2+1}. [/mm]

Jetzt Du !



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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:34 Fr 17/03/2017
Author: mka

Danke.
Da man [mm] 5t^{4} [/mm] vom Nenner abziehen muss, dachte ich dass t zu [mm] t^{-3} [/mm] wird. Aber bei dir im Ergebnis bleibt es einfach t. Wenn z.B. dort [mm] t^{2} [/mm] stehen würde, würde [mm] t^{2} [/mm] auch so stehen bleiben? Also wenn der Exponent in den Minus-Bereich fallen würde, bleibt er so stehen?

Ich habe jetzt nicht ganz verstanden, wie man die Nullstellen berechnet.
Geht das auch ohne Polynomdivision? Die habe ich nicht ganz so drauf und in der Klausur haben wir auch kaum Zeit zum nachdenken.

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:22 Fr 17/03/2017
Author: HJKweseleit


> Ich habe jetzt nicht ganz verstanden, wie man die
> Nullstellen berechnet.
>  Geht das auch ohne Polynomdivision?

Unter gewissen Voraussetzungen (die hier gegeben sind) kannst du den Nenner auch zerlegen, ohne Nullstellen zu bestimmen und ohne Polynomdivision, nämlich durch "Draufschauen".

Schau dir den Nenner [mm] t^{3}+3t^{2}+t+3 [/mm] genau an. Dir sollte auffallen: [mm] t^{3} [/mm] und t haben beide den Koeffizienten 1 und unterscheiden sich durch den Faktor [mm] t^2 [/mm] ; [mm] 3t^{2} [/mm] und 3 haben beide den Koeffizienten 3 und unterscheiden sich ebenfalls um den Faktor [mm] t^2. [/mm]

Somit unterscheiden sich die Summanden in der Teilsumme [mm] t^{3}+3t^{2} [/mm] von denen in der Teilsumme t+3 nur durch den Faktor [mm] t^2, [/mm] also [mm] t^{3}+3t^{2}= t^2*(t+3) [/mm] und somit

[mm] t^{3}+3t^{2}+t+3 [/mm] = [mm] t^2*(t+3)+(t+3) =(t^2+1)*(t+3). [/mm]

Mit etwas Übung kannst du dir die Zwischenüberlegungen sparen, weil du dann sofort das siehst, was in der letzten Zeile steht, nämlich dass [mm] t^{3}+3t^{2}= t^2*(t+3) [/mm] ist.

Beispiele:

[mm] x^3+2x^2+4x+8 [/mm] = [mm] x^2*(x+2)+4(x+2)=(x^2+4)(x+2) [/mm]

[mm] x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x=x^4(x^2+x+1)+x(x^2+x+1)=(x^4+x)(x^2+x+1)=x(x^3+1)(x^2+x+1) [/mm]
noch weiter zerlegbar oder auf andere Weise
[mm] x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x=x^5(x+1)+x^3(x+1)+x(x+1)=(x^5+x^3+x)(x+1)=x(x^4+x^2+1)(x+1) [/mm]
wobei man die Übereinstimmung mit der vorherigen Zerlegung nicht direkt sieht, weil beide Zerlegungen nicht bis zum Ende durchgeführt wurden.



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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:28 Sa 18/03/2017
Author: mka

Danke. Das finde ich schon viel leichter als die Polynomdivision.
Nochmal nur um sicherzugehen:
[mm] t^{3}+5t^{2}+3t+1=(t^{2}+3)(t+5) [/mm]
richtig?

Dann hatte ich noch eine andere Frage, die noch nicht beantwortet wurde.
Da man $ [mm] 5t^{4} [/mm] $ vom Nenner kürzen muss, was passiert wenn der Exponent von einem Faktor negativ werden würde?
Also in meiner Aufgabe wäre das $t$.  Bleibt $ t $ einfach so stehen oder wird es zu [mm] t^{-3}? [/mm]

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:45 Sa 18/03/2017
Author: Diophant

Hallo,

> Danke. Das finde ich schon viel leichter als die
> Polynomdivision.
> Nochmal nur um sicherzugehen:
> [mm]t^{3}+5t^{2}+3t+1=(t^{2}+3)(t+5)[/mm]
> richtig?

Nein. Rechne selbst nach.

Der Tipp von HJKweseleit ist schon gut, aber du versuchst möglicherweise, darin eine Methode zu sehen. Das ist jedoch ein Irrtum: wenn man jedes Polynom so einfach faktorisieren könnte, dann wäre jede algebraische Gleichung analytisch lösbar...

> Dann hatte ich noch eine andere Frage, die noch nicht
> beantwortet wurde.
> Da man [mm]5t^{4}[/mm] vom Nenner kürzen muss, was passiert wenn
> der Exponent von einem Faktor negativ werden würde?
> Also in meiner Aufgabe wäre das [mm]t[/mm]. Bleibt [mm]t[/mm] einfach so
> stehen oder wird es zu [mm]t^{-3}?[/mm]

Das ist doch unerheblich, denn in deinem Fall basiert das auf einem Rechnefehler, der durch fred97 in Form des richtigen Integrals geklärt wurde.

Generell müsste in einem solchen Fall natürlich jeder Summand entsprechend dividiert werden. Im Rahmen der Integralrechnung per Partialbruchzerlegung wäre das jedoch völlig sinnfrei weil es zu nichts führt.


Gruß, Diophant

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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:52 Sa 18/03/2017
Author: mka

Jetzt sollte ich es verstanden haben.
Neues Beispiel:
[mm] t^{3}+5t^{2}+10t+15=t^{2}(t+5)+10(t+1,5)=(t^{2}+10)(t+1,5) [/mm]
richtig?

> Das ist doch unerheblich, denn in deinem Fall basiert das
> auf einem Rechnefehler, der durch fred97 in Form des
> richtigen Integrals geklärt wurde.
>  
> Generell müsste in einem solchen Fall natürlich jeder
> Summand entsprechend dividiert werden. Im Rahmen der
> Integralrechnung per Partialbruchzerlegung wäre das jedoch
> völlig sinnfrei weil es zu nichts führt.

Also habe ich Recht mit meiner Aussage, dass es so bleibt?
Wenn im Nenner [mm] t^{4} [/mm] stehen würde und da ich es mit [mm] t^{4} [/mm] kürzen muss, würde dort [mm] t^{0}, [/mm] also 1 stehen?


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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:39 Sa 18/03/2017
Author: Steffi21

Hallo,

[mm] t^{3}+5t^{2}+10t+15=t^{2}(t+5)+10(t+1,5) [/mm]


bis hier ist alles ok, aber der nächste Schritt ist so nicht möglich,

[mm] (t+5)\not=(t+1,5) [/mm]


nun noch zum kürzen von [mm] 5t^4 [/mm]

nach der Substitution steht

[mm] \bruch{22t^2+77t+53}{5t^7+15t^6+5t^5+15t^4}*5t^4 [/mm]

jetzt [mm] 5t^4 [/mm] kürzen

[mm] \bruch{22t^2+77t+53}{t^3+3t^2+t+3} [/mm]


noch ein anderes Beispiel

[mm] \bruch{t^-^4}{t^7} [/mm]

um im Zähler die 1 zu erhalten, ist  [mm] t^{-4} [/mm] zu kürzen

[mm] \bruch{1}{t^{11}} [/mm]



Steffi



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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:27 Sa 18/03/2017
Author: mka

Danke.
Wäre es überhaupt möglich die Aufgabe, mit dem von fred97 gezeigten Verfahren, zu lösen? Das vorherige Beispiel habe ich mir einfach ausgedacht.
Die Zahl $15$ stört mich. Wäre es $50$ statt $15$, dann würde es klappen.
Oder geht es auch so?

Wenn ich es durch $50$ ersetze, würde es so aussehen:
$ [mm] t^{3}+5t^{2}+10t+50=t^{2}(t+5)+10(t+5)=(t^{2}+10)(t+5) [/mm] $


> [mm]\bruch{22t^2+77t+53}{5t^7+15t^6+5t^5+15t^4}*5t^4[/mm]
>  
> jetzt [mm]5t^4[/mm] kürzen
>  
> [mm]\bruch{22t^2+77t+53}{t^3+3t^2+t+3}[/mm]

So weiß ich es auch, aber in der Aufgabe steht nicht [mm] $5t^{5}, [/mm] sondern nur
$5t$.


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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:47 Sa 18/03/2017
Author: Steffi21

Hallo, Ausgangspunkt war die Substitution

[mm] x=t^5 [/mm]

[mm] \bruch{dx}{dt}=5t^4 [/mm]

[mm] dx=5t^{4}dt [/mm]

es wird also dx durch [mm] 5t^{4}dt [/mm] ersetzt

Steffi



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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:41 So 19/03/2017
Author: mka


> Nach der Substitution [mm]x=t^5[/mm] lautet das Integral wie folgt:
>  
> [mm]\int_{4}^{5} \ \frac{22t^{2}+77t+53}{t^{3}+3t^{2}+t+3} \, dt[/mm]

Hier verstehe ich nicht warum im Nenner das t so stehen bleibt.
Da man $ [mm] =\int_{4^{5}}^{5^{5}} \! \frac{22t^{2}+77t+53}{5(t^{7}+3t^{6}+t+3t^{4}} \, 5t^{4}dt [/mm] $ durch [mm] 5t^{4} [/mm] kürzen muss, wird $t$ doch zu [mm] \bruch{1}{t^{3}}, [/mm] oder irre ich mich?

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:28 So 19/03/2017
Author: Steffi21

Hallo, Du scheiterst an elementarer Bruchrechnung, betrachten wir nur den Integrand

[mm] \bruch{22t^2+77t+53}{5t^7+15t^6+5t^5+15t^4}*5t^4 [/mm]

[mm] \bruch{22t^2+77t+53}{5t^4*t^3+3*5t^4*t^2+5t^4*t+3*5t^4}*5t^4 [/mm]

im Nenner [mm] 5t^4 [/mm] ausklammern

[mm] \bruch{22t^2+77t+53}{5t^4*(t^3+3*t^2+t+3)}*\bruch{5t^4}{1} [/mm]

jetzt [mm] 5t^4 [/mm] kürzen

[mm] \bruch{22t^2+77t+53}{t^3+3*t^2+t+3} [/mm]

Steffi






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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:48 So 19/03/2017
Author: mka

$ [mm] \bruch{22t^2+77t+53}{5t^7+15t^6+5t^5+15t^4}\cdot{}5t^4 [/mm] $

Danke, aber schon hier im ersten Schritt frage ich mich wie man auf [mm] $5t^{5}$ [/mm] im Nenner kommt.

Die Aufgabe ist folgende:
$ [mm] \int_{4^{5}}^{5^{5}} \! \frac{22x^{\frac{2}{5}}+77x^{\frac{1}{5} }+53}{5(x^{\frac{7}{5}}+3x^{\frac{6}{5}}+x+3x^{\frac{4}{5}})} [/mm] $  $ [mm] \, [/mm] dx$
$ [mm] =\int_{4^{5}}^{5^{5}} \! \frac{22t^{2}+77t+53}{5(t^{7}+3t^{6}+t+3t^{4}} \, 5t^{4}dt [/mm] $
Wenn man jetzt die Klammer im Nenner ausklammert, müsste dort doch $5t$ und nicht [mm] $5t^5$ [/mm] stehen. Der Exponent der anderen Faktoren ändert sich nach dem ausklammern ja auch nicht.

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:41 So 19/03/2017
Author: M.Rex

Hallo

Bedenke, dass [mm] x=x^{1}=x^{\frac{5}{5}} [/mm]

Der Rest ist dann analog zu den anderen Summanden im Nenner.

Marius

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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:46 So 19/03/2017
Author: mka

Danke! Jetzt ist es mir klar.

Ich habe nun etwas weitergerechnet aber komme an einer Stelle nicht weiter.

$ [mm] \frac{22t^{2}+77t+53}{(t^{2}+1)(t+3)}=\frac{A}{t+3}+\frac{Bt+C}{t^2+1}.$ [/mm]

[mm] 22t^2+77t+53=A(t^2+1)+(Bt+C)(t+3) [/mm]

t=-3
198-231+53=10A |:10
A = 2

t=i
-22+77i+53=(Bi+C)(i+3)
77i+31= ?
Ich weiß nicht wie ich die rechte Seite auflösen soll.
Ist $-22$ richtig? Ich bin davon ausgegangen, dass [mm] i^2=-1 [/mm] ist, weil es in einer anderen Aufgabe auch so war.

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:06 So 19/03/2017
Author: Steffi21

Hallo, bis hier ist es ok

[mm] 22t^2+77t+53=A(t^2+1)+(Bt+C)(t+3) [/mm]

Klammern Auflösen

[mm] 22t^2+77t+53=At^2+A+Bt^2+3Bt+Ct+3C [/mm]

[mm] 22t^2+77t+53=At^2+Bt^2+3Bt+Ct+A+3C [/mm]

[mm] 22t^2+77t+53=(A+B)t^2+(3B+C)t+A+3C [/mm]

Koeffizientenvergleich ergibt drei Gleichungen

(1) 22=A+B

(2) 77=3B+C

(3) 53=A+3C

löse dieses Gleichungssystem, Dein Ziel A=2, B=20, C=17

Steffi



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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:41 So 19/03/2017
Author: mka

Danke.
Ich konnte das Gleichungssystem zwar lösen, aber geht das auch indem ich die Nullstellen (in diesem Fall $-3$ und $i$ ) mit $t$ ersetze und in diese Gleichung einsetze?
$ [mm] 22t^2+77t+53=A(t^2+1)+(Bt+C)(t+3) [/mm] $

Mit $-3$ konnte ich es lösen, aber nicht mit $i$.

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:57 So 19/03/2017
Author: Steffi21

Hallo, hast Du das Gleichungssystem wirklich gelöst? Ich bezweifle es. Welche Variable A, B oder C soll denn gleich -3 bzw. i sein. Die Nullstelle hat beim Lösen eines Gleichungssystem nichts zu suchen. Steffi

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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:20 So 19/03/2017
Author: mka

Das Gleichungssystem welches Sie aufgestellt hatten, habe ich gelöst.

Bei anderen Aufgaben hat uns der Dozent gezeigt, dass man $t$ durch die Nullstellen ersetzen muss. (So wie bei der anderen Aufgabe, bei meiner ersten Frage)
Also $t=-3$ setzen und dann kommt als Lösung $A=2$ bei mir raus. Das gleiche Ergebnis habe ich auch durch Ihr Gleichungssystem.
Wenn ich $t=i$ setze, habe ich Probleme beim lösen.

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:34 So 19/03/2017
Author: leduart

Hallo
das mit den Nullstellen klappt nicht, wenn nicht alle Nenner nur x+a haben
also mach, was immer klappt:Koeffizientenvergleich
was bei [mm] t^2 [/mm] steht muss auf beiden Seiten gleich sein, was bei t steht auch, ebenso das absolute Glied
also du hattest $ [mm] 22t^2+77t+53=A(t^2+1)+(Bt+C)(t+3) [/mm] $
(das hab ich aus deinem vorletzten post kopiert und nicht kontrolliert)
[mm] $22t^2+77t+53=(A+B)*t^2+(C+3B)*t [/mm] +A+3C$
daraus folgt
$A+B=22$
$C+3B =77$
$A+3C=53$
Gruß leduart

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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:06 So 19/03/2017
Author: mka

Wie kann ich schon im voraus erkennen, ob ich Nullstellen einsetzen oder den Koeffizientenvergleich anwenden muss?

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:41 Mo 20/03/2017
Author: Diophant

Hallo,

> Wie kann ich schon im voraus erkennen, ob ich Nullstellen
> einsetzen oder den Koeffizientenvergleich anwenden muss?

das kann man bspw. []hier nachlesen.

Überhaupt scheint es geboten, dir den Rat zu geben, dich in die Materie besser einzuarbeiten. Zu glauben, man könne so etwas in einem Forum erlernen, und dann auch noch mit solch kleinschrittigen Fragen, das war, ist und bleibt ein häufiger Irrtum...

Gruß, Diophant

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:04 Mo 20/03/2017
Author: leduart

Hallo
die Gleichung muss für alle reellen x richtig sein. so kannst du  immer irgendwelche x einsetzen. wenn du genug reelle Nullstellen hast wird es besonders einfach, wenn nicht eben Koeffizientenvergleich oder z. B x=1 einsetzen oder x=0
lern nicht einfach formales Vorgehen, sondern die Idee die dahinter steckt. die heisst ich suche Werte von A.B,C so dass die 2 Seiten gleich sind.
1.man sieht direkt, dass man das mit Koeffizientenvergleich erreicht
2. da es für alle x richtig ist, kann man 3 beliebige x einsetzen,  und hat 3 lineare Gleichungen
3. wenn diese 3 beliebigen x die  reellen Nullstellen sind wird die Rechnung besonders einfach.
aber 3. ist nie notwendig sondern eben oft mal bequem
Versuche immer die Idee hinter einem Verfahren zu verstehen und nicht blind ein Verfahren einzusetzen , das macht den Unterschied zwischen einem Computerprogramm , das nur vorher programmiertes ausführen kan und einem denkfähigen Menschen aus!
Du bist kein Programm, in das dein Prof "Befehle" eingibt!
Gruß leduart

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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:35 Mo 20/03/2017
Author: mka


> Versuche immer die Idee hinter einem Verfahren zu verstehen
> und nicht blind ein Verfahren einzusetzen , das macht den
> Unterschied zwischen einem Computerprogramm , das nur
> vorher programmiertes ausführen kan und einem denkfähigen
> Menschen aus!

Danke. Das werde ich in Zukunft versuchen so umzusetzen, aber leider erklärt der Prof manchmal den Stoff nicht so gut.

Ich habe jetzt nach dem Koeffizientvergleich weitergerechnet und das raus:
[mm] =[\integral_{}^{}(\bruch{2}{t+3}+\bruch{20t}{t^2+1}+\bruch{17}{t^2+1}) [/mm] dt]
[mm] =[2ln(|t+3|)+10ln(t^2+1)+17arctan(t)+c] [/mm]
[mm] =2ln(x^\bruch{1}{9}+3)+10ln(x^\bruch{2}{5}+1)+17arctan(x^\bruch{1}{5})+c [/mm]

In der Aufgabestellung steht noch, dass meine eine Stammfunktion des Integranden angeben soll.
[mm] =[2ln(x^\bruch{1}{9}+3)+10ln(x^\bruch{2}{5}+1)+17arctan(x^\bruch{1}{5})] [/mm]
$=2(ln(8)-ln(7))+10(ln(26)-ln(17))+17(arctan(5)-arctan(4))$
Wie kann ich den Ausdruck weiter verkürzen?

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:40 Mo 20/03/2017
Author: Steffi21

Hallo, eine Stammfunktion hast Du gefunden

[mm] 2ln(x^\bruch{1}{5}+3)+10ln(x^\bruch{2}{5}+1)+17arctan(x^\bruch{1}{5})+C [/mm]

bemühe weiterhin, verkürzen? vereinfachen!

[mm] ln(a)-ln(b)=ln(\bruch{a}{b}) [/mm]

[mm] arctan(a)-arctan(b)=arctan(\bruch{a-b}{1+ab}) [/mm]

Steffi



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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:08 Mo 20/03/2017
Author: mka


> bemühe weiterhin, verkürzen? vereinfachen!

Ja, meinte natürlich vereinfachen.


$ [mm] =[2ln(x^\bruch{1}{9}+3)+10ln(x^\bruch{2}{5}+1)+17arctan(x^\bruch{1}{5})] [/mm] $
$ =2(ln(8)-ln(7))+10(ln(26)-ln(17))+17(arctan(5)-arctan(4)) $
= [mm] 2ln(8)-2ln(7)+10ln(26)-10ln(17)+17arctan(\bruch{1}{21}) [/mm]

Mit [mm] 17arctan(\bruch{1}{21}) [/mm] bin ich mir nicht sicher, weil in einer anderen Aufgabe der Prof die Klammer einfach ausgeschrieben hat.

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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:06 Di 21/03/2017
Author: leduart

Hallo
du hast ln(a)-ln(b)=ln(a/b) nicht benutzt warum?
und auch  [mm] c*ln(a)=ln(a^c) [/mm] nicht warum? das 2 te kann man auch weglassen.
den arctan würde ich auch einfach so stehen lassen, weil das Additionstheorem dazu wohl nicht allgemein bekannt ist, aber falsch ist es nicht, auch wenn dein Prof es nicht verwendet hat.
Gruß leduart

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Partialbruchzerlegung für Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:24 Di 21/03/2017
Author: mka

Ich habe mich an einer anderen Aufgabe vom Prof orientiert.
Die Lösung beim ihm sieht so aus:
[mm] =[23ln(|x^\bruch{1}{9}-2|)-2ln(|x^\bruch{1}{9}+2|)+10ln(x^\bruch{2}{9}+1)+5arctan(x^\bruch{1}{9}) [/mm]
=23(ln(4)-ln(2))-2(ln(8)-ln(6))+10(ln(37)-ln(17))+5(arctan(6)-arctan(4))
=23ln(2)-2(2ln(2)-ln(3))+10ln(37)-10ln(17)+5arctan(6)-5arctan(4)
=19ln(2)+2ln(3)+10ln(37)-10ln(17)+5arctan(6)-5arctan(4)

Hier konnte ich nicht genau erkennen, wo er die Formeln angewendet haben soll.


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Partialbruchzerlegung für Int.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:03 Di 21/03/2017
Author: leduart

Hallo
ja in der Rechnung wurde das nicht verwendet. also brauchst du auch nicht weiter vereinfachen. höchstens die allgemeine Lösung, wenn man will, kann da ein einziger ln stehen. beim einsetzen wird das aber keine Vereinfachung .
aber nochmal, wie du rechnet ist egal, also ob du ln(4)-ln(2) oder ln(4/2) rechnest ist egal, beides kannst du egal was dein Prof.  mal gemacht hat.
Gruß ledum

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Partialbruchzerlegung für Int.: Sinnfrage
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:07 Sa 18/03/2017
Author: Al-Chwarizmi


>  [mm]\int_{4^{5}}^{5^{5}} \! \frac{22x^{\frac{2}{5}}+77x^{\frac{1}{5} }+53}{5(x^{\frac{7}{5}}+3x^{\frac{6}{5}}+x+3x^{\frac{4}{5}})}\ dx[/mm]



Man darf sich fragen, welchen Sinn eine derartige Aufgabe heutzutage
noch haben soll.

Kaum jemand wird solche Integrale in irgendeinem praktischen
Zusammenhang noch ohne Zuhilfenahme von Hilfsmitteln (ob CAS
oder numerische Integration) selber aufdröseln.

Und eine praktische Situation, wo wirklich ein derartiges Monstrum
aus einer Anwendungssituation herauskommt, kann man sich auch
fast nicht vorstellen.

Gewisse Techniken, die in früheren Zeiten wirklich sinnvoll und
nützlich waren, passen halt nicht mehr so ganz in ein Studium im
21. Jahrhundert ....

LG ,   Al-Chw.

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Partialbruchzerlegung für Int.: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:14 Sa 18/03/2017
Author: fred97

Hallo  Al,


>  
> Gewisse Techniken, die in früheren Zeiten wirklich
> sinnvoll und
>  nützlich waren, passen halt nicht mehr so ganz in ein
> Studium im
>  21. Jahrhundert ....



.... doch: in ein Studium der Mathematik.  Jeder angehender Mathematiker sollte im Bilde sein,  wie man solche Integrale angeht.


>  
> LG ,   Al-Chw.


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Partialbruchzerlegung für Int.: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:34 So 19/03/2017
Author: Al-Chwarizmi


> > Gewisse Techniken, die in früheren Zeiten wirklich sinnvoll  
> > und nützlich waren, passen halt nicht mehr so ganz in ein
> > Studium im 21. Jahrhundert ....


> .... doch: in ein Studium der Mathematik.  Jeder angehende
> Mathematiker sollte im Bilde sein,  wie man solche
> Integrale angeht.

Im Bild sein:  grundsätzlich einverstanden. Hatte das in
meinem eigenen Studium ja auch. Um das Lösungsprinzip
klar zu machen, genügen aber auch mäßig komplexe Beispiele.
Im Leben außerhalb der Hochschule nutzen auch heutige
Mathematiker die Segnungen der Technik ganz gerne.

Das Beispiel habe ich allerdings zuerst etwas komplexer
eingeschätzt als es sich dann nach den ersten Schritten
entpuppt. Dies ist aber ein starkes Indiz dafür, dass es sich
um ein für Übungszwecke konstruiertes Beispiel handelt und
nicht um etwas, das einem "auf freier Wildbahn" aller möglichen
Wissenschaften tatsächlich begegnen könnte ....

LG ,   Al

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Partialbruchzerlegung für Int.: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:24 Di 21/03/2017
Author: fred97

Mir gefällt die Aufgabe: man übt Substitution , Partialbruchzerlegung und das Integrieren rationaler Funktionen.

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