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Pellsche Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mo 22.12.2008
Autor: Murx

Aufgabe
Bestimme die Grundlösung von [mm] x^{2} [/mm] - [mm] 23y^{2} [/mm] = 23.

Hallo,

also ich hab leider keine Ahnung, wie man so eine Aufgabe löst.
Ich vermute, dass es hier um die allgemein Form der Pellschen Gleichung geht.
Aber ich weiß noch nicht einmal wie man eine Pellsche Gleichung der Form
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] dy^{2} [/mm] = 1 löst...

Kann mir hier jemand vielleicht weiterhelfen? Danke.  

        
Bezug
Pellsche Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mo 22.12.2008
Autor: abakus


> Bestimme die Grundlösung von [mm]x^{2}[/mm] - [mm]23y^{2}[/mm] = 23.
>  Hallo,
>
> also ich hab leider keine Ahnung, wie man so eine Aufgabe
> löst.
> Ich vermute, dass es hier um die allgemein Form der
> Pellschen Gleichung geht.
> Aber ich weiß noch nicht einmal wie man eine Pellsche
> Gleichung der Form
> [mm]x^{2}[/mm] - [mm]dy^{2}[/mm] = 1 löst...
>  
> Kann mir hier jemand vielleicht weiterhelfen? Danke.  

Hallo,
ich muss vorausschicken, dass ich Pellsche Gleichungen nicht kenne.
In der gegebenen Aufgabe würde ich zunächst umstellen:
[mm] x^2=23(1+y^2) [/mm]
Da die rechte Seite durch 23 teilbar ist, muss es die linke auch sein. [mm] x^2 [/mm] (und damit auch x) ist ein Vielfaches von 23. Es muss [mm] 1+y^2 [/mm]  das 23-fache einer Quadratzahl sein.
Suche zunächst, für welche y der Term [mm] 1+y^2 [/mm] durch 23 teilbar ist, filtere dann die Zahlen heraus, für die es ein Viefaches der Form [mm] k^2 \cdot [/mm] 23 ist.
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Pellsche Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Di 23.12.2008
Autor: Murx

Hallo,

soweit scheint das ja zu funktionieren. Aber kann mir vielleicht dennoch jemand dabei helfen, wie man die Aufgabe mittels der pellschen Gleichung lösen kann?

Danke schonmal.

Bezug
                        
Bezug
Pellsche Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Di 23.12.2008
Autor: felixf

Hallo

> soweit scheint das ja zu funktionieren. Aber kann mir
> vielleicht dennoch jemand dabei helfen, wie man die Aufgabe
> mittels der pellschen Gleichung lösen kann?

Hattet ihr etwas zum Zusammenhang zwischen Kettenbruchentwicklung und Pellsche Gleichungen?

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Pellsche Gleichung: keine Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Di 23.12.2008
Autor: reverend

Den Zusammenhang zu Pellschen Gleichungen sehe ich auch nicht.

Dafür kann man immerhin zeigen, dass es keine Lösung gibt.

[mm] x^2=23(1+y^2) \Rightarrow y^2\equiv-1\mod{23} [/mm]

Was weißt Du über quadratische Reste modulo einer Primzahl?

Wenn die Antwort "nichts" lauten sollte, kannst du immer noch mit 11 Einzelbetrachtungen (von [mm] 1^2 [/mm] bis [mm] 11^2) [/mm] das Gesuchte zeigen.

Grüße,
reverend


Bezug
                                
Bezug
Pellsche Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Di 23.12.2008
Autor: Murx

Hallo reverend,

also wir haben in der VL die Pellsche Gleichung folgendermaßen definiert:

Für N [mm] \in \IZ, [/mm] d [mm] \in \IN [/mm] heißt [mm] x^{2} [/mm] - [mm] dy^{2} [/mm] = N eine Pellsche Gleichung. Besonders wichtig sind N [mm] \in \{1, -1, 4, -4\}. [/mm]

Daher kam meine Vermutung. Kettenbrüche haben wir auch schon gemacht. Dachte daher, dass man das damit irgendwie lösen könnte...


Zu dem, was du vorgeschlagen hast:

ich hab dann mit Hilfe des Legendre-Symbols gesagt, dass es keine Lösung gibt:

1) [mm] (\bruch{-1}{23}) [/mm] = [mm] (-1)^{\bruch{1}{2}(23-1)} [/mm] = [mm] (-1)^{11} [/mm] = -1

2) laut Vl. ist die Anzahl der lösungen von [mm] x^{2} \equiv [/mm] a (mod p) gleich
1+ [mm] (\bruch{a}{p}) [/mm]
Also gilt dann mit 1): 1+ (-1) =0 Und wir haben somit keine Lösung der Gleichung.

Kann ich das so machen? Für mich klingt's zumindest plausibel.


Bezug
                                        
Bezug
Pellsche Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Di 23.12.2008
Autor: reverend


> Hallo reverend,
>
> also wir haben in der VL die Pellsche Gleichung
> folgendermaßen definiert:
>  
> Für N [mm]\in \IZ,[/mm] d [mm]\in \IN[/mm] heißt [mm]x^{2}[/mm] - [mm]dy^{2}[/mm] = N eine
> Pellsche Gleichung.

Aha. Das ist eine Erweiterung des klassischen Begriffs. Wenn der Name so definiert ist, ist das ja nicht weiter tragisch, aber eben nicht allgemeinverständlich.

> Besonders wichtig sind N [mm]\in \{1, -1, 4, -4\}.[/mm]

Naja. Dann auch [mm] p^2, -p^2, [/mm] mit [mm] p\in\IP [/mm]

> Daher kam meine Vermutung. Kettenbrüche haben wir auch
> schon gemacht. Dachte daher, dass man das damit irgendwie
> lösen könnte...

  
Verständlich. Ich seh aber gerade nicht, ob das vielleicht geht.

> Zu dem, was du vorgeschlagen hast:
>
> ich hab dann mit Hilfe des Legendre-Symbols gesagt, dass es
> keine Lösung gibt:
>
> 1) [mm](\bruch{-1}{23})[/mm] = [mm](-1)^{\bruch{1}{2}(23-1)}[/mm] = [mm](-1)^{11}[/mm]
> = -1
>  
> 2) laut Vl. ist die Anzahl der lösungen von [mm]x^{2} \equiv[/mm] a
> (mod p) gleich
> 1+ [mm](\bruch{a}{p})[/mm]
>  Also gilt dann mit 1): 1+ (-1) =0 Und wir haben somit
> keine Lösung der Gleichung.
>
> Kann ich das so machen? Für mich klingt's zumindest
> plausibel.

Klingt auch für mich plausibel, aber plausibel reicht wohl nicht.

Überblickt jemand, ob das eine hinreichende Argumentation ist?
Ich hätte (gerade bei 23) noch eine Wertetabelle bemüht. Da muss man ja nicht nachdenken...

lg,
rev



Bezug
                                                
Bezug
Pellsche Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Mi 24.12.2008
Autor: felixf

Hallo zusammen

> > also wir haben in der VL die Pellsche Gleichung
> > folgendermaßen definiert:
>  >  
> > Für N [mm]\in \IZ,[/mm] d [mm]\in \IN[/mm] heißt [mm]x^{2}[/mm] - [mm]dy^{2}[/mm] = N eine
> > Pellsche Gleichung.
>
> Aha. Das ist eine Erweiterung des klassischen Begriffs.
> Wenn der Name so definiert ist, ist das ja nicht weiter
> tragisch, aber eben nicht allgemeinverständlich.

Ich wuerde solche Gleichungen eher als Normgleichungen bezeichnen: man sucht alle Elemente aus dem Ring [mm] $\IZ [/mm] + [mm] \sqrt{d} \IZ$, [/mm] deren Norm gerade $N$ ist.

> > Besonders wichtig sind N [mm]\in \{1, -1, 4, -4\}.[/mm]

Diese "besonders wichtigen" Faelle sind das, was man eigentlich unter Pellschen Gleichungen versteht.

> > Zu dem, was du vorgeschlagen hast:
> >
> > ich hab dann mit Hilfe des Legendre-Symbols gesagt, dass es
> > keine Lösung gibt:
> >
> > 1) [mm](\bruch{-1}{23})[/mm] = [mm](-1)^{\bruch{1}{2}(23-1)}[/mm] = [mm](-1)^{11}[/mm]
> > = -1
>  >  
> > 2) laut Vl. ist die Anzahl der lösungen von [mm]x^{2} \equiv[/mm] a
> > (mod p) gleich
> > 1+ [mm](\bruch{a}{p})[/mm]
>  >  Also gilt dann mit 1): 1+ (-1) =0 Und wir haben somit
> > keine Lösung der Gleichung.
> >
> > Kann ich das so machen? Für mich klingt's zumindest
> > plausibel.
>  
> Klingt auch für mich plausibel, aber plausibel reicht wohl
> nicht.

Doch, das ist schon OK. Das Legendre-Symbol sagt, dass [mm] $y^2 \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{23}$ [/mm] keine Loesung hat, womit es auch keine $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $x^2 [/mm] - 23 [mm] y^2 [/mm] = 23$ geben kann.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Pellsche Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Di 23.12.2008
Autor: Tyskie84

Hallo,

> Bestimme die Grundlösung von [mm]x^{2}[/mm] - [mm]23y^{2}[/mm] = 23.

Wie kommst du denn darauf dass das eine pellsche Gl. ist?

[mm] \\x²+by²=\pm\\1 [/mm] ist eine pellsche Gleichung.

Das was du da stehen hast ist eine normale quadratische Gleichung.

Bsp:

y²-2x²=5
(2a+1)²-2x²=5
4a²+4a+1-2x²=5
4a²+4a-2x²=4
[mm] a(a+1)-2(\bruch{1}{2}x)^{2}=1 [/mm] wobei [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] ganzzahlig ist
a(a+1) ist ja immer gerade auch ist [mm] 2(\bruch{1}{2}x)^{2} [/mm] immer gerade, aber 1 ist nicht gerade
[mm] \Rightarrow [/mm] es ist keine Lösung für (x,y) möglich

[hut] Gruß

Bezug
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