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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Pendel ohne Reibung
Pendel ohne Reibung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Pendel ohne Reibung: "relative equilibria"
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:35 Mi 14.12.2016
Autor: mikexx

Aufgabe
Hat das Pendel ohne Reibung, also die Gleichung
[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\sin\varphi(t)$, $\varphi\in [0,2\pi)$ [/mm] (P)

sogenannte relative Equilibria?



Hallo und guten Abend, zunächstmal ist zu bemerken, dass ich so normiert habe, dass in der Gleichung für das reibungslose Pendel, also
[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\frac{g}{\ell}\sin\varphi(t)$, [/mm] der konstante Faktor 1 ist.

Dann zur eigentlichen Frage:

Meines Wissens ist ein relatives Equilibrium in einem Hamiltonsystem mit Symmetriegruppen ein Orbit der Symmetrygruppe, der sich unter der Dynamik nicht verändert: []Relative Equilibrium

Beim Pendel ohne Reibung gibt es doch zwei Symmetriegruppen:

(1) [mm] $\varphi\mapsto 2\pi k\varphi, k\in\mathbb{Z}$ [/mm]

(2) [mm] $\varphi\mapsto -\varphi$ [/mm]


Wenn man sich die Orbits von (1) und (2) anschaut, die sich unter der Dynamik nicht verändern, bleiben doch eigentlich nur die beiden Orbits

[mm] $\mathcal{O}_1=\left\{(0+2\pi*k,0): k\in\mathbb{Z}\right\}$ [/mm]

sowie

[mm] $\mathcal{O}_2=\left\{(\pi+2\pi k,0): k\in\mathbb{Z}\right\}$ [/mm]

übrig, oder?


Dementsprechend würde ich mal behaupten, dass [mm] $\mathcal{O}_1$ [/mm] und [mm] $\mathcal{O}_2$ [/mm] die einzigen relativen Equilibria des zu (P) gehörigen 2D-Systems sind?


MfG



        
Bezug
Pendel ohne Reibung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Fr 16.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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