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Forum "Lineare Abbildungen" - Permutation
Permutation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Permutation: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 So 24.09.2017
Autor: volk

Hallo,
ich habe keine Aufgabe, sondern ein Verständnisproblem. Ich bin gerade mein Skript durchgegangen und habe Abbildungen behandelt. Das ist auch alles soweit verständlich.

Allerdings hänge ich bei folgender Aussage:
Eine bijektive Abbildung [mm] {\sigma}:M{\rightarrow}M, [/mm] bei der die Werte- und Zielmenge übereinstimmen, wird eine Permutation genannt.

Die folgenden Abbildungen
[mm] f_{1}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, x{\mapsto}x^{2} [/mm]
[mm] f_{2}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x{\mapsto}2x+1 [/mm]
sollten ja nach der Definition Permutationen sein und die folgende Abbildung
[mm] f_{1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x{\mapsto}x^{2} [/mm]
, da nicht bijektiv, dürfte keine Permutation sein. Ist das soweit richtig?

Eine Permutation ist somit nichts anderes als die Menge aller Bilder von Elementen in [mm] \mathbb{N} [/mm] {0, 1, 4, 9, 16, 25, ...} bzw. [mm] \mathbb{R} [/mm] {..., -3, -1, 1, 3, ...} (auf meine Beispiele bezogen)?

In meinen Beispielen würden die Permutationen somit aus unendlich vielen Elementen bestehen, da die Mengen nicht begrenzt sind.

Als Fazit lässt sich vereinfacht sagen: Eine Permutation ist die Menge der Funktionswerte einer bijektiven Funktionen (bei übereinstimmender Werte- und Zielmenge).

Ist das korrekt?

Viele Grüße
volk

        
Bezug
Permutation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 So 24.09.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,
> ich habe keine Aufgabe, sondern ein Verständnisproblem.
> Ich bin gerade mein Skript durchgegangen und habe
> Abbildungen behandelt. Das ist auch alles soweit
> verständlich.

>

> Allerdings hänge ich bei folgender Aussage:
> Eine bijektive Abbildung [mm]{\sigma}:M{\rightarrow}M,[/mm] bei der
> die Werte- und Zielmenge übereinstimmen, wird eine
> Permutation genannt.

>

> Die folgenden Abbildungen
> [mm]f_{1}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, x{\mapsto}x^{2}[/mm]

>

> [mm]f_{2}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x{\mapsto}2x+1[/mm]

>

> sollten ja nach der Definition Permutationen sein

Nur die zweite, die Quadratfunktion ist ja eben nicht bijektiv (Tippfehler?).

> und die
> folgende Abbildung
> [mm]f_{1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x{\mapsto}x^{2}[/mm]
> ,
> da nicht bijektiv, dürfte keine Permutation sein. Ist das
> soweit richtig?

>

> Eine Permutation ist somit nichts anderes als die Menge
> aller Bilder von Elementen in [mm]\mathbb{N}[/mm] {0, 1, 4, 9, 16,
> 25, ...} bzw. [mm]\mathbb{R}[/mm] {..., -3, -1, 1, 3, ...} (auf
> meine Beispiele bezogen)?

>

Nein. Eine Permutation ist eine Vertauschung von Elementen einer Menge. Legt man jetzt bei einer Urbildmenge irgendeine Ordnung fest, in der man ihre Elemente betrachet (oder nimmt wie bei [mm] \IN [/mm] die natürlich vorgegebene Anordnung), so wird man - vorausgesetzt eine Funktion sei bijektiv - in der Zielmenge i.a. eine Umordnung von Elementen feststellen. Also kann man bijektive Funktionen als Permutationen ansehen, was meiner Meinung nach etwa genauso spektakulär ist wie die Tatache, dass ein VW Golf ein Kraftfahrzeug ist.

> In meinen Beispielen würden die Permutationen somit aus
> unendlich vielen Elementen bestehen, da die Mengen nicht
> begrenzt sind.

>

Ja.

> Als Fazit lässt sich vereinfacht sagen: Eine Permutation
> ist die Menge der Funktionswerte einer bijektiven
> Funktionen (bei übereinstimmender Werte- und Zielmenge).

Das ist etwas verquer gedacht, aber nicht falsch.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Permutation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 So 24.09.2017
Autor: volk

hallod iophant,
danke für deine Antwort.

> Hallo,
>  
> > Hallo,
>  > ich habe keine Aufgabe, sondern ein

> Verständnisproblem.
>  > Ich bin gerade mein Skript durchgegangen und habe

>  > Abbildungen behandelt. Das ist auch alles soweit

>  > verständlich.

>  >
>  > Allerdings hänge ich bei folgender Aussage:

>  > Eine bijektive Abbildung [mm]{\sigma}:M{\rightarrow}M,[/mm] bei

> der
>  > die Werte- und Zielmenge übereinstimmen, wird eine

>  > Permutation genannt.

>  >
>  > Die folgenden Abbildungen

>  > [mm]f_{1}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, x{\mapsto}x^{2}[/mm]

>  
> >
>  > [mm]f_{2}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x{\mapsto}2x+1[/mm]

>  
> >
>  > sollten ja nach der Definition Permutationen sein

>  
> Nur die zweite, die Quadratfunktion ist ja eben nicht
> bijektiv (Tippfehler?).

Ich dachte, dass sie bijektiv wäre, da ich nur den Wertebereich der positiven ganzen Zahlen inklusive der Null betrachte. Aber jetzt wo du es schreibst, ist die Abbildung natürlich nur injektiv, aber nicht surjektiv und daher nicht bijektiv.

>  
> > und die
>  > folgende Abbildung

>  > [mm]f_{1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x{\mapsto}x^{2}[/mm]

>  
> > ,
>  > da nicht bijektiv, dürfte keine Permutation sein. Ist

> das
>  > soweit richtig?

>  >
>  > Eine Permutation ist somit nichts anderes als die Menge

>  > aller Bilder von Elementen in [mm]\mathbb{N}[/mm] {0, 1, 4, 9,

> 16,
>  > 25, ...} bzw. [mm]\mathbb{R}[/mm] {..., -3, -1, 1, 3, ...} (auf

>  > meine Beispiele bezogen)?

>  >
>  
> Nein. Eine Permutation ist eine Vertauschung von Elementen
> einer Menge. Legt man jetzt bei einer Urbildmenge
> irgendeine Ordnung fest, in der man ihre Elemente betrachet
> (oder nimmt wie bei [mm]\IN[/mm] die natürlich vorgegebene
> Anordnung), so wird man - vorausgesetzt eine Funktion sei
> bijektiv - in der Zielmenge i.a. eine Umordnung von
> Elementen feststellen. Also kann man bijektive Funktionen
> als Permutationen ansehen, was meiner Meinung nach etwa
> genauso spektakulär ist wie die Tatache, dass ein VW Golf
> ein Kraftfahrzeug ist.

Heißt das, dass wenn ich als Wertemenge M={1,2,3,4,5,6,7,8} betrachte, die Zielmenge die gleichen Elemente beinhalten muss, nur die 1 bildet z. B. auf die 4 ab, die 6 auf die 1 und so weiter? Also die Funktion nur die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Menge umtauscht, wie du sagtest? Mit welcher Funktion bekomme ich so etwas denn hin (mir fällr spontan nur f(x)=x ein, nur werden hier keine Elemente vertauscht :-D)? Oder betrachtet man nur Mengen mit unendlich vielen Elementen? Die von mir benannte Funktion f(x)=2x+1 schafft die Vertauschung der Elemente ja nur über den gesamten Bereich der natürlichen Zahlen. Wenn ich die Menge M nehme und x=8 betrachte, erhalte ich f(8)=17 und 17 ist kein Element von M. Ist die Abbildung [mm] f:M{\rightarrow}M, x{\mapsto}2x+1 [/mm] denn in diesem Fall eine Permutation?

>  
> > In meinen Beispielen würden die Permutationen somit aus
>  > unendlich vielen Elementen bestehen, da die Mengen

> nicht
>  > begrenzt sind.

>  >
>  
> Ja.
>  
> > Als Fazit lässt sich vereinfacht sagen: Eine Permutation
>  > ist die Menge der Funktionswerte einer bijektiven

>  > Funktionen (bei übereinstimmender Werte- und

> Zielmenge).
>  
> Das ist etwas verquer gedacht, aber nicht falsch.
>  
>
> Gruß, Diophant

Viele Grüße
volk


Bezug
                        
Bezug
Permutation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:19 Mo 25.09.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

ich würde nicht versuchen, die Permutation über eine explizite Funktionsvorschrift nachzuvollziehen. Du versuchst im Moment Funktionsvorschriften zu finden, die Permutationen darstellen.

Per Definition ist eine Permutation eine bijektive Abbildung [mm] $\pi$ [/mm] einer Menge $ X = [mm] \{x_1,...,x_n\}$ [/mm] in sich selbst, also $ [mm] \pi: [/mm] X [mm] \to [/mm] X ,\ [mm] \pi [/mm] $ bijektiv.

Dabei lassen die Indizes der Menge $ X $ bereits darauf schließen, dass $X$ nur $n$ Elemente besitzt, also endlich ist. Du kannst dir unter $ X $ im Grunde immer eine Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] vorstellen, wenn es dir hilft. Der Wiki-Artikel erklärt das ganz gut.

Es ist oft üblich, Permutationen in Matrixschreibweise anzugeben, da man die Elemente und ihre Bilder ja direkt angeben kann.

Bsp: Sei $ [mm] \pi$ [/mm] eine Permutation auf $ X = [mm] \{1,2,3\}, \pi: [/mm] X [mm] \to [/mm] X $ mit

$ 1 [mm] \mapsto [/mm] 2,\ 2 [mm] \mapsto [/mm] 3,\ 3 [mm] \mapsto [/mm] 1$

wird dann geschrieben als

[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}$ [/mm] bzw allgemein [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ \pi(1) & \pi(2) & \pi(3) } [/mm] $

Man schreibt quasi in die obere Zeile die Urbilder und in die untere Zeile ihre Bilder. Die Abbildungsvorschrift ergibt sich aus der Tupelschreibweise von selbst und $ [mm] \pi$ [/mm] ist ganz offensichtlich bijektiv.


Ist die

> Abbildung [mm]f:M{\rightarrow}M, x{\mapsto}2x+1[/mm] denn in diesem
> Fall eine Permutation?

Nein. Die Abbildung funktioniert ohnehin nicht. Für jedes Element $x$ aus $M$ mit $ x [mm] \ge [/mm] 4$ existiert in deiner Abbildung kein Bild in $ M [mm] =\{1,...,8\}$. [/mm]

LG,
ChopSuey

Bezug
                                
Bezug
Permutation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:59 Mo 25.09.2017
Autor: volk

Hallo,
Vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt ist es mir klar. Das Suchen von Funktionsvorschriften, die Permutationen darstellen hat mich irgendwie vom eigentlichen Verständnis abgehalten.

Viele Grüße
volk

Bezug
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