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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Habe mal wieder Probleme mit den Aufgaben...
Könntet ihr bitte mal über meine Ansätze drüberschauen bzw. mir Tipps geben? Auch Teilantworten helfen mir sehr!
a)
Mein Diagramm-Vorschlag:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daran sieht man ja im Grunde, dass es planar ist - muss ich da noch was hinschreiben?
b)
Ich würde sagen, dass [mm] \phi_{1} [/mm] = (ac) ein Automorphismus ist. Er geht von V nach V (klar) und ist bijektiv. Anschaulich habe ich mir das aber eher so klar gemacht, dass ich praktisch in meinem Diagramm die Bezeichnungen von a und c einfach vertauschen könnte - da sie dieselben "Beziehungen" haben, nämlich zu b,e,f.
[mm] \phi_{2} [/mm] = (c,d) ist glaub ich keiner. Weil c noch zusätzlich zu e eine Beziehung hat, die d nicht hat... Wie schreibe ich das mathematisch auf, falls es überhaupt stimmt 
[mm] \phi_{3} [/mm] = (af)(bc)(de) ist ein Automorphismus. Ich habe mir mal die ganzen Veränderungen in einem neuem Diagramm mit gleicher Struktur angesehen und festgestellt, dass alle Beziehungen wie vorher sind:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie kann ich sowas mathematisch, ohne den Graphen, feststellen? Muss ich die Permutation irgendwie auf die Beziehungen anwenden?
Ich wüsste nicht, warum [mm] \phi_{4} [/mm] = [mm] id_{V} [/mm] kein Automorphismus sein sollte?
c)
Nun ja...
Um die Anzahl aller Automorphismen zu bestimmen, dachte ich mir ich müsste erstmal alle Automorphismen finden
Dazu habe ich erstmal anhand meines Graphen festgestellt, dass ich eine Spiegel-Achse habe, die praktisch senkrecht durch die Mitte geht. Das würde dem Automorphismus [mm] $\phi [/mm] = (bf)$ entsprechen?
(ac) ist ja noch einer, wie man b) entnehmen konnte.
[mm] id_{V} [/mm] ist auch noch einer.
Und dann ist ja noch der von b), [mm] \phi_{3} [/mm] = (af)(bc)(de), auch einer. Aber ich dachte dass der vielleicht irgendwie durch Verknüpfungen entsteht?
Wie kann ich jetzt weitere (grundlegend neue) Automorphismen finden? Dass ich die obigen nun noch verknüpfen kann, ist mir klar. 
Bzw. wann habe ich gemerkt, dass ich alle habe?
d) Geht jetzt noch nicht
Danke für Eure Mühe!!!
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Sa 29.11.2008 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Zuerst: ich habe das ins Graphentheorie-Forum verschoben. Hier passt es besser.
> Daran sieht man ja im Grunde, dass es planar ist - muss ich
> da noch was hinschreiben?
Imo nein. Oder habt ihr auch formale Kriterien gemacht, mit denen man das leicht zeigen kann?
>
> b)
>
> Ich würde sagen, dass [mm]\phi_{1}[/mm] = (ac) ein Automorphismus
> ist. Er geht von V nach V (klar) und ist bijektiv.
Und weiterhin muss was für ein Automorphismus gelten? Nämlich das falls [m]\{a,b\}\in E \Rightarrow \{\phi(a),\phi(b]\}\in E[/m]. Oder wie habt ihr isomorphismus definiert?
> Anschaulich habe ich mir das aber eher so klar gemacht,
> dass ich praktisch in meinem Diagramm die Bezeichnungen von
> a und c einfach vertauschen könnte - da sie dieselben
> "Beziehungen" haben, nämlich zu b,e,f.
Ja, muss man halt im Zweifel formaler hinschreiben.
> [mm]\phi_{2}[/mm] = (c,d) ist glaub ich keiner. Weil c noch
> zusätzlich zu e eine Beziehung hat, die d nicht hat... Wie
> schreibe ich das mathematisch auf, falls es überhaupt
> stimmt
Die Anzahl der Kanten, die an einer Ecke liegen, ist eine Isomorphieinvariante.
> Wie kann ich sowas mathematisch, ohne den Graphen,
> feststellen? Muss ich die Permutation irgendwie auf die
> Beziehungen anwenden?
Nach der Permutation müssen benachbarte Ecken auf benachbarte gehen. Das muss man dann quasi nachrechnen.
> Ich wüsste nicht, warum [mm]\phi_{4}[/mm] = [mm]id_{V}[/mm] kein
> Automorphismus sein sollte?
Natürlich ist es einer.
> c)
[...]
> Wie kann ich jetzt weitere (grundlegend neue)
> Automorphismen finden? Dass ich die obigen nun noch
> verknüpfen kann, ist mir klar.
> Bzw. wann habe ich gemerkt, dass ich alle habe?
Ich würde systematisch ales durchgehen - also d kann nur auf e oder d gehen (warum?). Dann habe ich zwei Fälle - Nachbarecken müssen auf Nachbarecken gehen. So kann man systematisch alle Fälle durchgehen und alle Automorphismen finden.
> d) Geht jetzt noch nicht
Ich habe 8 gefunden.
SEcki
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Hallo!
Ich wollte mich zunächst etwas verspätet bei dir für deine Antwort bedanken!
Ich habe dann noch eine Formel im Hefter gefunden, dass die Menge der Automorphismen gleich dem Produkt aus der Kardinalität der Bahn und der Kardinalität des Stabilisators eines beliebigen Elements a [mm] \in [/mm] V ist, dann bin ich auch auf 8 gekommen wegen |Stabilisator| = 2 und |Bahn| = 4
Stefan.
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