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Permutationsmatrizen Sei $K$ ein Körper und sei [mm] $1\le n\in \IN$. [/mm] Für [mm] $\sigma\in S_n$ [/mm] werde definiert
[mm] $P_{\sigma} [/mm] : [mm] K^n\to K^n,
[/mm]
[mm] (x_1,...,x_n) \mapsto (x_{\sigma^{-1}}(1),...,x_{\sigma^{-1}}(n))$.
[/mm]
Zeigen Sie:
(i) [mm] $P_{\sigma}$ [/mm] ist Vektorraumhomomorphismus.
(ii) [mm] $P_{\sigma} \in Gl_n(K)$
[/mm]
(iii) Die Abbildung $P: [mm] S_n\to Gl_n(K), \sigma \mapsto P_{\sigma^{-1}}$ [/mm] ist Gruppenhomomorphismus.
Guten Abend, brauche mal wieder eure Hilfe bzw. Korrektur zu einer Aufgabe.
(I) Behauptung: [mm] P_\sigma [/mm] ist ein Vektorraumhomomorphismus
Beweis: Sei hierzu [mm] x:=(x_1,...,x_n) [/mm] und y:= [mm] (y_1,...y_n) [/mm] aus [mm] K^{n}. [/mm] Sei dazu [mm] P_\sigma (x)=(x_{\sigma^-1}(1), [/mm] ..., [mm] x_{\sigma^-1}(n) [/mm] und [mm] P_{\sigma}(y)=(y_{\sigma^-1}(1),...y_{\sigma^-1}(n)) [/mm] so ist [mm] P_{\sigma}(x+y)=P_{\sigma}(x_1,...,x_n)+(y_1,...y_n)=x_{\sigma^-1}(1)+y_{\sigma^-1}(1), [/mm] ..., [mm] x_{\sigma^-1}(n)+y_{\sigma^-1}(n) [/mm] => [mm] x_{\sigma^-1}(1),...,x_{\sigma^-1}+y_{\sigma^-1}(1),...,x_{\sigma^-1}(n)=P_{\sigma}(x_1,...,x_n)+P_{\sigma}(y_1,...,y_n)=P_\sigma(x)+P_\sigma(y)
[/mm]
Sei [mm] \lambda \in [/mm] K und [mm] P_\sigma(x) \in k^{n}
[/mm]
So ist [mm] P(\lambda [/mm] x) = [mm] P(\lambda x_1,...,\lambda x_n)=\lambda x_{\sigma^-1}(1),...,\lambda x_{\sigma^-1}(n) [/mm] => [mm] \lambda(x_{\sigma^-1}(1),...,x_{\sigma^-1}(n)= \lambda P(x_1,...,x_n)= \lambda [/mm] P(x)
Q.E.D.
ii) Behauptung: [mm] P_{\sigma} \in [/mm] Gin(K)
Beweis: Da die Abbildung die Gestalt hat: [mm] (x_1,...,x_n) [/mm] --> [mm] (x_{\sigma^-1(1)},...,x_{\sigma^-1(n)}) [/mm] => [mm] (x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)} [/mm] --> [mm] (x_{\sigma^-1({\sigma(1)}},...,x_{\sigma^-1({\sigma(n)}})=(x_1,...-x_n)
[/mm]
=> [mm] P_{\sigma} [/mm] ist bijektiv => [mm] P_x_{\sigma} \in Aut_K (K^{n}) [/mm] => [mm] P_{\sigma} \in [/mm] Gln(K)
Q.E.D.
iii) Behauptung: Die Abbildung P: [mm] S_n [/mm] --> Gln(K), [mm] \sigma [/mm] --> [mm] P_\sigma [/mm] ist Gruppenhomo.
Beweis: Sei hierzu t, [mm] \sigma \in S_n [/mm] zwei Permutationen. So wähle man eine Matrix A mit den Einträgen [mm] a_1,...,a_n. [/mm] So ist [mm] P_(\sigma)*A [/mm] eine Matrix mit den Zeilen [mm] a_{\sigma}(1),...,a_{\sigma}(n). [/mm] Somit ist die i-te Zeile von [mm] P_{\sigma}*A [/mm] die [mm] {\sigma}(i)-te [/mm] Zeile von A. Betrachte man nun P(t) so ist da j-te Zeile von P(t) [mm] e_t_(j) [/mm] , also ist die i-te Zeile von [mm] P({\sigma})*P(t) e_t_({\sigma}_(i)_), [/mm] somit ist [mm] P({\sigma})*P(t) [/mm] die zu t verknüpft mit [mm] {\sigma} [/mm] gehörende permutationsmatrix und da gilt [mm] {\sigma} [/mm] verknüpft mit t => [mm] P({\sigma} [/mm] verknüpft mit t) => [mm] P({\sigma}) [/mm] verknüpft mit P(t). Da [mm] P({\sigma}) [/mm] verknüpft mit P(t) [mm] \in [/mm] Gln(K) ist, ist P Gruppenhomomorphismus.
Q.E.D.
LG DerPinguinagent
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Doppelt, deshalb gelöscht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 14.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Di 12.01.2016 | | Autor: | hippias |
Vorweg: es ist unheimlich schwierig sich durch den Text zu kämpfen, weil es Dir scheinbar gleichgültig ist, ob alle Klammern gesetzt sind, ob Zeichen hoch bzw. tief gestellt sind etc. Du siehst doch selber, dass Dein Text völlig falsch dargestellt wird!
Ich habe Dir schon einmal an Herz gelegt den Editor zu benutzen. Am besten lerne Latex, das wirst Du als Mathestudent sowieso ständig benötigen.
> Permutationsmatrizen Sei K ein Körper und sei 1≤n∈N.
> Für σ ∈ Sn werde definiert
> P_σ : [mm]K^n →K^n,[/mm]
> [mm](x_1,...,x_n)[/mm] →
> [mm]x_{σ^−1}(1),...,x_{σ^−1}(n).[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> (I) Behauptung: [mm]P_\sigma[/mm] ist ein Vektorraumhomomorphismus
>
> Beweis: Sei hierzu [mm]x:=(x_1,...,x_n)[/mm] und y:= [mm](y_1,...y_n)[/mm]
> aus [mm]K^{n}.[/mm] Sei dazu [mm]P_\sigma (x)=(x_{\sigma^-1}(1),[/mm] ...,
> [mm]x_{\sigma^-1}(n)[/mm] und
> [mm]P_{\sigma}(y)=(y_{\sigma^-1}(1),...y_{\sigma^-1}(n))[/mm] so ist
> [mm]P_{\sigma}(x+y)=P_{\sigma}(x_1,...,x_n)+(y_1,...y_n)[/mm]
Falsche Klammerung
> [mm]=x_{\sigma^-1}(1)+y_{\sigma^-1}(1),[/mm]
> ..., [mm]x_{\sigma^-1}(n)+y_{\sigma^-1}(n)[/mm]
Diese Gleichung würde ich ausführlicher begründen.
> =>
Was folgerst Du hier?! Wenn Du glaubst, dass aus obiger Gleichung die nachstehende Gleichung folgt, dann ist das schlicht falsch. Vielleicht möchtest Du auch nur eine neue Rechnung anfangen?
> [mm]x_{\sigma^-1}(1),...,x_{\sigma^-1}+y_{\sigma^-1}(1),...,x_{\sigma^-1}(n)=P_{\sigma}(x_1,...,x_n)+P_{\sigma}(y_1,...,y_n)=P_\sigma(x)+P_\sigma(y)[/mm]
>
> Sei [mm]\lambda \in[/mm] K und [mm]P_\sigma(x) \in k^{n}[/mm]
>
$k=K$?
> So ist [mm]P(\lambda[/mm] x) = [mm]P(\lambda x_1,...,\lambda x_n)=\lambda x_{\sigma^-1}(1),...,\lambda x_{\sigma^-1}(n)[/mm]
Auch hier würde ich das zweite Gleichheitszeichen genauer erläutern.
> =>
Unklar, was Du damit hier willst; siehe oben.
> [mm]\lambda(x_{\sigma^-1}(1),...,x_{\sigma^-1}(n)= \lambda P(x_1,...,x_n)= \lambda[/mm]
> P(x)
>
> Q.E.D.
>
> ii) Behauptung: [mm]P_{\sigma} \in[/mm] Gin(K)
>
> Beweis: Da die Abbildung die Gestalt hat:
Besser: Da die Abbildung definiert ist durch:
> [mm](x_1,...,x_n)[/mm] -->
> [mm](x_{\sigma^-1(1)},...,x_{\sigma^-1(n)})[/mm] =>
> [mm](x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)}[/mm] -->
> [mm](x_{\sigma^-1({\sigma(1)}},...,x_{\sigma^-1({\sigma(n)}})=(x_1,...-x_n)[/mm]
[mm] $-x_{n}$? [/mm] Sonst aber gute Idee.
> => [mm]P_{\sigma}[/mm] ist bijektiv
Das musst Du näher begründen: was hat obige Überlegung mit Injektivität und Surjektivität zu tun?
> => [mm]P_x_{\sigma} \in Aut_K (K^{n})[/mm]
> => [mm]P_{\sigma} \in[/mm] Gln(K)
>
> Q.E.D.
>
> iii) Behauptung: Die Abbildung P: [mm]S_n[/mm] --> Gln(K), [mm]\sigma[/mm]
> --> [mm]P_\sigma[/mm] ist Gruppenhomo.
>
> Beweis: Sei hierzu t, [mm]\sigma \in S_n[/mm] zwei Permutationen. So
> wähle man eine Matrix A mit den Einträgen [mm]a_1,...,a_n.[/mm] So
Einträge? Meinst auch hier Zeilen?
> ist [mm]P_(\sigma)*A[/mm]
Achtung, das geht so nicht ohne weiteres, da die Verknüpfung von Funktionen mit Matrizen nicht ohne weiteres klar ist. [mm] $P_{\sigma}$ [/mm] bildet Vektoren aus [mm] $K^{n}$ [/mm] auf Vektoren aus [mm] $K^{n}$ [/mm] ab. Du möchtest scheinbar [mm] $P_{\sigma}$ [/mm] auf die Zeilen der Matrix $A$ anwenden. Du kannst die Wirkung von [mm] $P_{\sigma}$ [/mm] auf $A$ zwar so definieren, aber das ist dann nicht mehr genau die ursprüngliche Abbildung.
> eine Matrix mit den Zeilen
> [mm]a_{\sigma}(1),...,a_{\sigma}(n).[/mm] Somit ist die i-te Zeile
> von [mm]P_{\sigma}*A[/mm] die [mm]{\sigma}(i)-te[/mm] Zeile von A. Betrachte
> man nun P(t) so ist da j-te Zeile von P(t) [mm]e_t_(j)[/mm] , also
Nein, [mm] $P_{t}$ [/mm] (nicht $P(t)$!) ist keine Matrix!
> ist die i-te Zeile von [mm]P({\sigma})*P(t) e_t_({\sigma}_(i)_),[/mm]
> somit ist [mm]P({\sigma})*P(t)[/mm] die zu t verknüpft mit [mm]{\sigma}[/mm]
> gehörende permutationsmatrix und da gilt [mm]{\sigma}[/mm]
> verknüpft mit t => [mm]P({\sigma}[/mm] verknüpft mit t) =>
> [mm]P({\sigma})[/mm] verknüpft mit P(t). Da [mm]P({\sigma})[/mm] verknüpft
> mit P(t) [mm]\in[/mm] Gln(K) ist, ist P Gruppenhomomorphismus.
Die Idee ist nicht schlecht, hat aber schwächen in der technischen Ausführung. Versuche es vielleicht so, indem Du [mm] $P_{t\sigma}(e_{i})$ [/mm] und [mm] $P_{t}(P_{\sigma}(e_{i}))$ [/mm] für die Standardbasis berechnest.
>
> Q.E.D.
>
> IV) Behauptung: Ist A [mm]\in K^{nxn}[/mm] eine Matrix, die in jeder
> Zeile und Spalte genau eine 1 hat und sonst stets 0 als
> Eintrag hat. Dann gibt es [mm]{\sigma} \in S_n,[/mm] sodass
> [mm]A=P_{\sigma}[/mm] gilt.
>
> Beweis:
> Da [mm]A^K^{nxn}[/mm] in jeder Zeile und Spalte genau eine 1 hat
> und sonst 0. Sei [mm]\varepsilon=(e_1,...,e_n)[/mm] die kanonische
> Basisdes [mm]K^{n}[/mm] und [mm]\sigma[/mm] eine Permutation. Somit bilden
> die Vektoren [mm]e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)}[/mm] wieder eine
> Basis in [mm]K^{n}[/mm] und da wir eine lineare Abbildung [mm]P_{\sigma}[/mm]
> haben und [mm]P_{\sigma}[/mm] invertierter ist, ist diese bijektiv
> mit [mm]P_{\sigma}(e_j)=e_{\sigma(j)}.[/mm] Sei A die Matrix von
> [mm]P_{\sigma}[/mm] bzgl. [mm]\varepsilon,[/mm] d.h. [mm]A=P_\sigma[/mm] .
>
> Q.E.D.
>
> V) [mm]P_\sigma * P_\sigma^{-1}[/mm] =I und wir Wissen, das in Jeder
> Zeile und Spalte der Permutationsmatrix genau eine 1 steht
> und die Einträge [mm]e_\sigma(1),...,e_\sigma(n)[/mm] sind. Es gilt
> [mm]\sigma(n)=\begin{cases} \sigma(i)=j, & \mbox{ist } 1\mbox{ } \\ sonnst, & \mbox{0 } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Transponieren wir nun diese dann vertauschen wir die Zeilen
> und es gilt
> [mm]\sigma(n)=\begin{cases} \sigma(j)=i, & \mbox{ist } 1\mbox{ } \\ sonnst, & \mbox{0 } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow P_\sigma * P_\sigma^{T}[/mm]
>
>
> Q.E.D.
>
> LG DerPinguinagent
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Kann jemand anderes die Weiteren Aufgaben auch noch mal anschauen, und mir Tipps geben? Muss das morgen abgeben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 13.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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