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Picarditeration und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Di 20.11.2012
Autor: Thomas0086

Aufgabe 1
Betrachte Anfangswertproblem
[mm] x'(t)=6t*\wurzel{x(t)}-t^{3} [/mm]
x(0)=0

Aufgabe 1
Zeigen sie, dass die Picard-Iteration mit [mm] x_{0}(t)=0 [/mm] keine Lösung liefert.

Aufgabe 2
Aufgabe 2
Zeigen sie, dass { [mm] x_{n} [/mm] } [mm] _{n\in\IN} [/mm] mit [mm] x_{0}(t)=2t^{4} [/mm] und
[mm] x_{n+1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{n}(s)}-s^{3} ds} [/mm]
konvergiert. Ist der Limes eine Lösung des Anfangswertproblems?
Ist diese Lösung eindeutig?

Hallo zusammen,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

zu Aufgabe 1
reicht da als Antwort:
[mm] x_{1}(t)= x_{0}(t) +\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{0}(s)}-s^{3} ds}=-\bruch{1}{4}x^{4} [/mm]
[mm] x_{2}(t)= x_{0}(t) +\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{2}(s)}-s^{3} ds}=\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{-\bruch{1}{4}s^{4}}-s^{3} ds} [/mm]
unter der Wurzel habe ich ja jetzt was negatives. Folglich ist dies nicht lösbar.




zu Aufgabe 2
hier bin ich mir ziemlich unsicher was ich machen muss.
habe mal [mm] x_{1} [/mm] ausgerechnet aber das bringt mich mMn auch nicht direkt weiter. es soll ja
[mm] n\rightarrow\infty [/mm] laufen? oder muss ich hier die Konvergenz für eine Folge betrachten?
Wäre super wenn ihr mir da nen Anstoß geben könntet.

Gruß Thomas

        
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Di 20.11.2012
Autor: MathePower

Hallo Thomas0086,


[willkommenmr]


> Betrachte Anfangswertproblem
>  [mm]x'(t)=6t*\wurzel{x(t)}-t^{3}[/mm]
>  x(0)=0
>  
> Aufgabe 1
>  Zeigen sie, dass die Picard-Iteration mit [mm]x_{0}(t)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

keine

> Lösung liefert.
>  Aufgabe 2
>  Zeigen sie, dass { [mm]x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} [mm]_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_{0}(t)=2t^{4}[/mm]

> und
> [mm]x_{n+1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{n}(s)}-s^{3} ds}[/mm]
>  
> konvergiert. Ist der Limes eine Lösung des
> Anfangswertproblems?
>  Ist diese Lösung eindeutig?
>  Hallo zusammen,
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> zu Aufgabe 1
>  reicht da als Antwort:
>  [mm]x_{1}(t)= x_{0}(t) +\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{0}(s)}-s^{3} ds}=-\bruch{1}{4}x^{4}[/mm]
>  
> [mm]x_{2}(t)= x_{0}(t) +\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{2}(s)}-s^{3} ds}=\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{-\bruch{1}{4}s^{4}}-s^{3} ds}[/mm]
>  
> unter der Wurzel habe ich ja jetzt was negatives. Folglich
> ist dies nicht lösbar.
>


[ok]


>
>
>
> zu Aufgabe 2
>  hier bin ich mir ziemlich unsicher was ich machen muss.
> habe mal [mm]x_{1}[/mm] ausgerechnet aber das bringt mich mMn auch
> nicht direkt weiter. es soll ja
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] laufen? oder muss ich hier die
> Konvergenz für eine Folge betrachten?
>  Wäre super wenn ihr mir da nen Anstoß geben könntet.
>  


Rechne noch ein paar weitere Folgenglieder aus.

Dann kannst Du hoffentlich eine Folge erkennen.
Von dieser Folge ist zu zeigen, daß sie konvergiert.


> Gruß Thomas


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mi 21.11.2012
Autor: Thomas0086

habe mir das mal angeguckt und für mich kommt da dann raus:

[mm] x^{3}(3*\wurzel{3\wurzel{6\wurzel{2}-1}-1}-1) [/mm]
also [mm] x_{n+1}=3*\wurzel{x_{n}}-1 [/mm]

für mich ist jetzt die frage gegen welche zahl das konvergiert?
komme da auf keine sinnvollen ergebnisse.

Bezug
                        
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Mi 21.11.2012
Autor: fred97


> habe mir das mal angeguckt und für mich kommt da dann
> raus:
>  
> [mm]x^{3}(3*\wurzel{3\wurzel{6\wurzel{2}-1}-1}-1)[/mm]
>  also [mm]x_{n+1}=3*\wurzel{x_{n}}-1[/mm]

Das ist doch Murks. Was hast Du da gerechnet ?

Für [mm] x_1(t) [/mm] bekommst Du etwas von der Form

  [mm] x_1(t)=ct^4. [/mm]

FRED

>  
> für mich ist jetzt die frage gegen welche zahl das
> konvergiert?
> komme da auf keine sinnvollen ergebnisse.


Bezug
                                
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mi 21.11.2012
Autor: Thomas0086

habe hier gerechnet:

[mm] x_{n+1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{x_{n}(s)}-s^{3} ds} [/mm]
für
[mm] x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{x_{0}(s)}-s^{3} ds} [/mm]
=
[mm] x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{2s^{4}}-s^{3} ds} [/mm]
=
[mm] x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s^{3}\cdot{}\wurzel{2}-s^{3} ds} [/mm]
=
[mm] x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{s^{3}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1) ds} [/mm]
=
[mm] x_{1}(t)=\bruch{1}{4}t^{4}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1) [/mm]

wenn ich jetzt
[mm] c=\bruch{1}{4}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1) [/mm] setzte komme ich auf das gleiche ergebnis.

hatte mich oben vertan mit dem Exponenten.
Kann ich also einfach sagen es konvergiert gegen [mm] c*t^{4}? [/mm]
oder ist hier c expizit auszurechnen?


Bezug
                                        
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mi 21.11.2012
Autor: MathePower

Hallo Thomas0086,

> habe hier gerechnet:
>  
> [mm]x_{n+1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{x_{n}(s)}-s^{3} ds}[/mm]
> für
>  [mm]x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{x_{0}(s)}-s^{3} ds}[/mm]
> =
>  [mm]x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{2s^{4}}-s^{3} ds}[/mm]
>  
> =
>  [mm]x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s^{3}\cdot{}\wurzel{2}-s^{3} ds}[/mm]
>  
> =
>  [mm]x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{s^{3}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1) ds}[/mm]
>  
> =
>  [mm]x_{1}(t)=\bruch{1}{4}t^{4}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1)[/mm]
>  
> wenn ich jetzt
> [mm]c=\bruch{1}{4}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1)[/mm] setzte komme ich auf
> das gleiche ergebnis.
>  
> hatte mich oben vertan mit dem Exponenten.
>  Kann ich also einfach sagen es konvergiert gegen [mm]c*t^{4}?[/mm]
>  oder ist hier c expizit auszurechnen?
>  


Laut Aufgabe ist c explizit auszurechnen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mi 21.11.2012
Autor: Thomas0086

also wie du schon gesagt hattest habe ich mir ein paar glieder angeschaut und mir ist folgendes auf gefallen:
[mm] (3\cdot{}\wurzel{3\wurzel{6\wurzel{2}-1}-1}-1) [/mm]
also wird aus der vorherigen Konstanten die Wurzel gezogen, mit 3 multipliziert und anschließend 1 abgezogen.
ich habe die ersten 3 ausgerechnet und bekam folgendes:
[mm] x_{1}\approx [/mm] 1.87123
[mm] x_{2}\approx [/mm] 1,80194
[mm] x_{3}\approx [/mm] 1,76355

ich würde jetzt behaupten es konvergiert gegen [mm] \wurzel{3}, [/mm] kann dafür aber nicht den formellen Beweis liefern.

auch wenn ich das jetzt in die AG einsetzt:
[mm] x'(t)=6t\cdot{}\wurzel{x(t)}-t^{3} [/mm]
[mm] \bruch{1}{4}*\wurzel{3}*t^{3}=6t*\wurzel{\wurzel{3}*t^{4}}-t^{3} [/mm]
hätte ich dann da ja
[mm] \bruch{1}{4}*\wurzel{3}=6\wurzel{\wurzel{3}}-1 [/mm]
stehen.
Das ist für mich keine Lösung des AWP.
Wo liegt mein Fehler?

Gruß
Thomas

Bezug
                                                        
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Mi 21.11.2012
Autor: MathePower

Hallo Thimas0086,

> also wie du schon gesagt hattest habe ich mir ein paar
> glieder angeschaut und mir ist folgendes auf gefallen:
>  [mm](3\cdot{}\wurzel{3\wurzel{6\wurzel{2}-1}-1}-1)[/mm]
>  also wird aus der vorherigen Konstanten die Wurzel
> gezogen, mit 3 multipliziert und anschließend 1
> abgezogen.
>  ich habe die ersten 3 ausgerechnet und bekam folgendes:
>  [mm]x_{1}\approx[/mm] 1.87123
>  [mm]x_{2}\approx[/mm] 1,80194
>  [mm]x_{3}\approx[/mm] 1,76355
>  
> ich würde jetzt behaupten es konvergiert gegen [mm]\wurzel{3},[/mm]
> kann dafür aber nicht den formellen Beweis liefern.
>  
> auch wenn ich das jetzt in die AG einsetzt:
>  [mm]x'(t)=6t\cdot{}\wurzel{x(t)}-t^{3}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{4}*\wurzel{3}*t^{3}=6t*\wurzel{\wurzel{3}*t^{4}}-t^{3}[/mm]
>  hätte ich dann da ja
>  [mm]\bruch{1}{4}*\wurzel{3}=6\wurzel{\wurzel{3}}-1[/mm]
>  stehen.
>  Das ist für mich keine Lösung des AWP.
>  Wo liegt mein Fehler?
>  


Der Fehler liegt in der Behauptung.

Die Glieder ergeben sich doch rekursiv gemäß:

[mm]y_{n+1}=\bruch{6*\wurzel{y_{n}}-1}{4}, \ n \in \IN_{0}[/mm]

mit [mm]y_{0}=2[/mm]

Zeige, daß diese Folge konvergiert.


> Gruß
> Thomas


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 21.11.2012
Autor: Thomas0086

also die beschränktheit schaffe ich zu zeigen.
unter der annahme [mm] 1\le y_{n}\le2. [/mm]

dann
[mm] \bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}\le\bruch{6\cdot{}\wurzel{2}-1}{4}<2 [/mm]

nur bei der monotonie happerts:
zzg ist ja [mm] y_{n+1}\le y_{n} [/mm]
Es gilt [mm] y_{1}\le y_{2}. [/mm]
also [mm] y_{n+1}=\bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4} [/mm]
ist das der richtige weg? muss ich da weiter abschätzen und umformen?

Bezug
                                                                        
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Mi 21.11.2012
Autor: MathePower

Hallo Thomas0086,

> also die beschränktheit schaffe ich zu zeigen.
>  unter der annahme [mm]1\le y_{n}\le2.[/mm]
>  
> dann
> [mm]\bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}\le\bruch{6\cdot{}\wurzel{2}-1}{4}<2[/mm]
>  
> nur bei der monotonie happerts:
>  zzg ist ja [mm]y_{n+1}\le y_{n}[/mm]
>  Es gilt [mm]y_{1}\le y_{2}.[/mm]
>  also
> [mm]y_{n+1}=\bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}[/mm]


Zu zeigen ist doch:

[mm]y_{n+1}=\bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}\le y_{n}[/mm]

Das ist entsprechend umzuformen.


>  ist das der richtige weg? muss ich da weiter abschätzen
> und umformen?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:05 Mi 21.11.2012
Autor: Thomas0086

ja das dachte ich mir.
komme aber einfach nicht weiter hier.
danke trotzdem für deine mühen und hilfe

Bezug
                                                                                        
Bezug
Picarditeration und Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Fr 23.11.2012
Autor: matux

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