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Forum "Stochastic Theory" - Poisson Verteilung
Poisson Verteilung < Stochastic Theory < University < Maths <
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Poisson Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:41 Sa 27/05/2017
Author: questionpeter

Aufgabe
Seien X und Y unabhängige zum Parameter [mm] \lambda [/mm] >0 bzw. [mm] \mu>0 [/mm] Poisson-verteilte Zufallsvariablen.

(a) Zeige, dass X+Y Poisson-verteilt zum Parameter [mm] \lambda+\mu [/mm] ist.

(b) Berechne die bedingte W'keiten

P(X=k|X+Y=n), [mm] k,n\in \IN_0. [/mm]

Welche Verteilung besitzt also X gegeben X+Y=n?

Hallo

zu (a): Es wurde folgendes gemacht

[mm] P(Z=z)=\summe^z_{x=0}P(X=x,X+Y=z)=\summe^z_{x=0}P(X=x,Y=z-x) [/mm] ist gemeinsame W'keit. und P(X=x,Y=z-x) =P(X=x)*P(Y=z-x|X=x)

DA X und Y unabh. folgt

P(Y=z-x|X=x)=P(Y=z-x)

also erhalten wir

[mm] P(Z=z)=\summe^z_{x=0}P(X=x)*P(Y=z-x)=\summe^z_{x=0}\bruch{e^{-\lambda*\lambda^x}}{x!}\bruch{e^\mu*\mu^{z-x}}{(z-x)!}=\bruch{e^{-(\lambda+\mu)}}{z!}\summe^z_{x=0}\vektor{z \\ x}\lambda^x\mu^{z-x}=e^{-(\lambda+\mu)}\bruch{(\lambda+\mu)^z}{z} [/mm]

damit ist z Poisson verteilt mit Parameter [mm] \lambda+\mu [/mm]

Meine Frage: Warum kann man folgendes schreiben:

[mm] P(Z=z)=\summe^z_{x=0}P(X=x)*P(Y=z-x) [/mm] und P(X=x,Y=z-x) =P(X=x)*P(Y=z-x|X=x) ?

zu (b)
P(X=k|X+Y=n)=P(X=k|Y=n-k)=P(X=k) da X,Y unabh.

stimmt das? Wie berechne ich die Verteilung von X?

Dankeschön im Voraus.


        
Bezug
Poisson Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:21 So 28/05/2017
Author: luis52


> Meine Frage: Warum kann man folgendes schreiben:
>  
> [mm]P(Z=z)=\summe^z_{x=0}P(X=x)*P(Y=z-x)[/mm] und P(X=x,Y=z-x)
> =P(X=x)*P(Y=z-x|X=x) ?

Moin, ich vermute, dass sich deine Frage auf die letztere Gleichung bezieht. Fuer Ereignisse $A,B_$ mit $P(B)>0_$ gilt die alte Bauernregel [mm] $P(A\cap [/mm] B)= [mm] P(A\mid B)\cdot [/mm] P(B)$.


>  
> zu (b)
>  P(X=k|X+Y=n)=P(X=k|Y=n-k)=P(X=k) da X,Y unabh.
>
> stimmt das?

Nein,

[mm] $P(X=k\mid [/mm] X+Y=n)= [mm] \frac{P(X=k,X+Y=n)}{P(X+Y=n)}$. [/mm]


> Wie berechne ich die Verteilung von X?


Gruebel, gruebel? Wieso die Verteilung von $X_$?


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Poisson Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:23 So 28/05/2017
Author: questionpeter

nochmals danke!

zu (a) meine Frage war, warum man P(Z=z) als [mm] \summe^z_{x=0}P(X=x,X+Y=z) [/mm] schreiben kann?

zu (b) das habe ich mir auch gedacht bzw auf diese Formel angewendet, aber ich dachte, dass es möglich wäre erstmal X+Y=n umzuformen nach Y, so dass man Y=n-k (X=k eingesetzt). Und da laut Aufg.stellung X,Y unabh. sind erhalten wir P(X=k), oder?

Bezug
                        
Bezug
Poisson Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:51 So 28/05/2017
Author: luis52


> nochmals danke!
>  
> zu (a) meine Frage war, warum man P(Z=z) als
> [mm]\summe^z_{x=0}P(X=x,X+Y=z)[/mm] schreiben kann?

Faltung ist das Zauberwort. []Da schau her, S. 39.

>  
> zu (b) das habe ich mir auch gedacht bzw auf diese Formel
> angewendet, aber ich dachte, dass es möglich wäre erstmal
> X+Y=n umzuformen nach Y, so dass man Y=n-k (X=k
> eingesetzt). Und da laut Aufg.stellung X,Y unabh. sind
> erhalten wir P(X=k), oder?

Nein, man erhaelt $(X=k,X+Y=n)=(X=k,Y=n-k)_$.


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Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:00 So 28/05/2017
Author: Gonozal_IX

Hiho,
> > zu (a) meine Frage war, warum man P(Z=z) als
> > [mm]\summe^z_{x=0}P(X=x,X+Y=z)[/mm] schreiben kann?
>  
> Faltung ist das Zauberwort.

Das ist aber etwas mit Kanonen auf Spatzen geschossen (auch wenn es stimmt).
Letzendlich ist es einfach nur eine Zerlegung der Grundmenge in Mögliche Ereignisse von $X$…

@Fragesteller:
Mach dir klar, dass gilt: [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \bigcup_{x\in\IN} \{ X=x\}$ [/mm]

Und damit ist: [mm] $\{X+Y = z\} [/mm] = [mm] \{X+Y = z\} \cap \Omega [/mm] =  [mm] \{X+Y = z\} \cap \bigcup_{x\in\IN} \{ X=x\} [/mm] = [mm] \bigcup_{x\in\IN} \{X+Y = z\} \cap \{X = x\} [/mm] = [mm] \bigcup_{x\in\IN} \{X+Y = z\, X = x\}$ [/mm]

Nun ist aber Y nichtnegativ und damit  [mm] $\{X+Y = z\} \cap \{X = x\} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] falls $z < x$ und daher:

[mm] $\{X+Y = z\} [/mm] =  [mm] \bigcup_{x \le z} \{X+Y = z, X = x\}$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:08 So 28/05/2017
Author: tobit09

Hallo Gono!


> @Fragesteller:
> Mach dir klar, dass gilt: [mm]\Omega = \bigcup_{x\in\IN} \{ X=x\}[/mm]

Das wird schwierig, denn es gilt im Allgemeinen nicht.
(Im Allgemeinen ist lediglich [mm] $\Omega\setminus\bigcup_{x\in\IN} \{ X=x\}$ [/mm] eine $P$-Nullmenge.)

Aber mit geeigneter Argumentation kann dies oBdA angenommen werden.

Analoges gilt für die Nichtnegativität von $Y$: Sie muss nur $P$-fast-sicher gelten.


Eine "schöne" Möglichkeit, dieses Problem "ohne größere Umstände" zu lösen, sehe ich leider noch nicht.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                
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Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:58 So 28/05/2017
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Das wird schwierig, denn es gilt im Allgemeinen nicht.
>  (Im Allgemeinen ist lediglich
> [mm]\Omega\setminus\bigcup_{x\in\IN} \{ X=x\}[/mm] eine
> [mm]P[/mm]-Nullmenge.)

rein formal stimmt das natürlich… aber für diskrete ZV kann man nichtsdestotrotz annehmen, dass die gegebenen Eigenschaften auf ganz [mm] $\Omega$ [/mm] gelten...

> Eine "schöne" Möglichkeit, dieses Problem "ohne größere
> Umstände" zu lösen, sehe ich leider noch nicht.

Schreib bei jedem der Umformungsschritte einfach ein "P" davor, dann stimmt es auch formal…

Natürlich muss man sich deinem Einwand bewusst sein, aber das funktioniert tatsächlich so, dass man die von dir angesprochenen Dinge oBdA für ganz [mm] $\Omega$ [/mm] ausschließen kann.

Ansonsten betrachte einfach [mm] $\overline{\Omega} [/mm] = [mm] \Omega\setminus [/mm] N$ wobei N die von dir angesprochenen Nullmengen umfasst (und damit insbesondere wieder eine Nullmenge ist).

Gruß,
Gono

Bezug
                                                        
Bezug
Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 18:48 So 28/05/2017
Author: tobit09

Danke für deine Ideen! :-)


> > Eine "schöne" Möglichkeit, dieses Problem "ohne größere
> > Umstände" zu lösen, sehe ich leider noch nicht.
>  
> Schreib bei jedem der Umformungsschritte einfach ein "P"
> davor, dann stimmt es auch formal…

Ja, dann stimmen die Gleichheiten, sind aber umständlich sauber zu begründen.


> Natürlich muss man sich deinem Einwand bewusst sein, aber
> das funktioniert tatsächlich so, dass man die von dir
> angesprochenen Dinge oBdA für ganz [mm]\Omega[/mm] ausschließen
> kann.
>  
> Ansonsten betrachte einfach [mm]\overline{\Omega} = \Omega\setminus N[/mm]
> wobei N die von dir angesprochenen Nullmengen umfasst (und
> damit insbesondere wieder eine Nullmenge ist).

Die Idee gefällt mir wesentlich besser als die, die ich bisher als Begründung für "das oBdA" im Kopf hatte!
Vielen Dank für diese Anregung! :-)

Etwas umständlich ist diese Überlegung trotzdem, da man mit einer Ersetzung von [mm] $\Omega$ [/mm] auch $P$ durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm] $\overline{P}$ [/mm] und sämtliche Zufallsgrößen auf [mm] $\Omega$ [/mm] durch Zufallsgrößen auf [mm] $\overline{\Omega}$ [/mm] ersetzen muss.
Dann muss man sich überlegen, dass sämtliche neuen Zufallsgrößen sämtliche vorausgesetzten Eigenschaften von den ursprünglichen Zufallsgrößen "erben".
Schließlich müssen die gewonnenen Resultate für [mm] $\overline{\Omega}$, $\overline{P}$ [/mm] und die neuen Zufallsgrößen wieder in Aussagen über [mm] $\Omega$, [/mm] $P$ und die alten Zufallsgrößen "zurückübersetzt" werden.

Vielleicht hilft eine einmal ausgearbeitete allgemeine "Theorie der Analogien zwischen [mm] $\Omega$, [/mm] $P$, $X$, ... und [mm] $\overline{\Omega},\overline{P},\overline{X}$", [/mm] so dass man sich diese Gedanken nicht mehr bei jeder Aufgabe zu machen braucht?

Bezug
                                                                
Bezug
Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 19:13 So 28/05/2017
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Etwas umständlich ist diese Überlegung trotzdem, da man
> mit einer Ersetzung von [mm]\Omega[/mm] auch [mm]P[/mm] durch eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm]\overline{P}[/mm] und sämtliche
> Zufallsgrößen auf [mm]\Omega[/mm] durch Zufallsgrößen auf
> [mm]\overline{\Omega}[/mm] ersetzen muss.
>  Dann muss man sich überlegen, dass sämtliche neuen
> Zufallsgrößen sämtliche vorausgesetzten Eigenschaften
> von den ursprünglichen Zufallsgrößen "erben".

Öhm… das ist doch aber trivial.

> Vielleicht hilft eine einmal ausgearbeitete allgemeine
> "Theorie der Analogien zwischen [mm]\Omega[/mm], [mm]P[/mm], [mm]X[/mm], ... und
> [mm]\overline{\Omega},\overline{P},\overline{X}[/mm]", so dass man
> sich diese Gedanken nicht mehr bei jeder Aufgabe zu machen
> braucht?

Du brauchst nicht mal ein neues W-Maß… zeige folgendes: Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{F},P)$ [/mm] ein W-Raum und $X$ eine ZV mit P-f.s. Eigenschaft A, so ist X auch eine ZV auf [mm] $(\overline{\Omega},\mathcal{F}_{\overline{\Omega}},P)$ [/mm] mit P-f.s. Eigenschaft A… dabei bezeichnet [mm] \mathcal{F}_\overline{\Omega} [/mm] die [mm] Spur-$\sigma$-Algebra. [/mm]

Gruß,
Gono

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Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:28 So 28/05/2017
Author: tobit09


>  >  Dann muss man sich überlegen, dass sämtliche neuen
> > Zufallsgrößen sämtliche vorausgesetzten Eigenschaften
> > von den ursprünglichen Zufallsgrößen "erben".
>  
> Öhm… das ist doch aber trivial.

Naja, mathematischen Tiefgang haben diese Überlegungen tatsächlich nicht.
Aber man muss sie eben für jede einzelne Eigenschaft anstellen, so dass einige Überlegungen zusammenkommen...


In diesem Fall:

i) Mit $X$ und $Y$ sind auch die neuen Zufallsgrößen [mm] $\overline{X}$ [/mm] und [mm] $\overline{Y}$ [/mm] Poisson-verteilt zu den Parametern [mm] $\lambda$ [/mm] bzw. [mm] $\mu$ [/mm]

ii) Mit $X$ und $Y$ sind auch [mm] $\overline{X}$ [/mm] und [mm] $\overline{Y}$ [/mm] stochastisch unabhängig.

Hilfsaussagen zum Nachweis von i):

iii) Es gilt [mm] $\{\overline{X}\in B\}=\overline{\{X\in B\}}$ [/mm] für alle $B$ aus der Borelschen Sigma-Algebra, wobei für ein Ereignis [mm] $A\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $\overline{A}:=A\cap\overline{\Omega}$ [/mm] das zugehörige Ereignis aus [mm] $\mathcal{F}_{\overline{\Omega}}$ [/mm] bezeichnet sei.
iv) Für jedes Ereignis [mm] $A\in\mathcal{F}$ [/mm] gilt für das entspreche Ereignis [mm] $\overline{A}:=A\cap\overline{\Omega}$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $\overline{P}(\overline{A})=P(A)$. [/mm]

Weitere Hilfsaussage zum Nachweis von ii):
v) Es gilt [mm] $\overline{A_1}\cap\overline{A_2}=\overline{A_1\cap A_2}$ [/mm] für alle [mm] $A_1,A_2\in\mathcal{F}$. [/mm]

Schließlich bei a) die "Rückübersetzung":
vi) Mit [mm] $\overline{X}+\overline{Y}$ [/mm] ist auch $X+Y$ Poisson-verteilt zum Parameter [mm] $\lambda+\mu$ [/mm]

Dazu die Hilfsaussage:
vii) Es gilt [mm] $\overline{X}+\overline{Y}=\overline{X+Y}$. [/mm]


Alles nicht schwer, aber halt viel zu prüfen! :-(


(Im Folgenden möchte ich der Einfachheit halber annehmen, dass die $P$-Nullmenge $N$, für die [mm] $\overline{\Omega}=\Omega\setminus [/mm] N$ gilt, der Eigenschaft [mm] $N\in\mathcal{F}$ [/mm] genügt.)

> > Vielleicht hilft eine einmal ausgearbeitete allgemeine
> > "Theorie der Analogien zwischen [mm]\Omega[/mm], [mm]P[/mm], [mm]X[/mm], ... und
> > [mm]\overline{\Omega},\overline{P},\overline{X}[/mm]", so dass man
> > sich diese Gedanken nicht mehr bei jeder Aufgabe zu machen
> > braucht?
>
> Du brauchst nicht mal ein neues W-Maß…

Doch: $P$ ist ja eine Abbildung [mm] $\mathcal{F}\to[0,1]$, [/mm] nicht etwa eine Abbildung [mm] $\mathcal{F}_{\overline{\Omega}}\to[0,1]$. [/mm]
Wir sollten daher [mm] $\overline{P}$ [/mm] als die Einschränkung [mm] $P|_{\mathcal{F}_{\overline{\Omega}}}$ [/mm] wählen.

Entsprechend wählen wir für jede Zufallsgröße $X$ die zugehörige Zufallsgröße [mm] $\overline{X}$ [/mm] als die Einschränkung von $X$ auf [mm] $\overline{\Omega}$. [/mm]
(Kurz nachzuprüfen: Die Messbarkeit von [mm] $\overline{X}$.) [/mm]


> zeige folgendes:
> Sei [mm](\Omega,\mathcal{F},P)[/mm] ein W-Raum und [mm]X[/mm] eine ZV mit
> P-f.s. Eigenschaft A, so ist X auch eine ZV auf
> [mm](\overline{\Omega},\mathcal{F}_{\overline{\Omega}},P)[/mm] mit
> P-f.s. Eigenschaft A… dabei bezeichnet
> [mm]\mathcal{F}_\overline{\Omega}[/mm] die Spur-[mm]\sigma[/mm]-Algebra.

Mal abgesehen von der fehlenden Unterscheidung zwischen $P$ und [mm] $\overline{P}$ [/mm] sowie  $X$ und [mm] $\overline{X}$ [/mm] ist dies nicht für alle Eigenschaften $A$ richtig, sondern nur für manche.

Soll ich ein Gegenbeispiel geben? ;-)

Bezug
                                                                                
Bezug
Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:12 So 28/05/2017
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> > Du brauchst nicht mal ein neues W-Maß…
>  Doch: [mm]P[/mm] ist ja eine Abbildung [mm]\mathcal{F}\to[0,1][/mm], nicht etwa eine Abbildung [mm]\mathcal{F}_{\overline{\Omega}}\to[0,1][/mm].

Da [mm] $\mathcal{F}_{\overline{\Omega}} \subseteq \mathcal{F}$ [/mm] ist P insbesondere eine Abbildung  [mm]\mathcal{F}_{\overline{\Omega}}\to[0,1][/mm].

Analog für X und Y.

> Soll ich ein Gegenbeispiel geben? ;-)

Ja bitte.
Ich würde gerne eine Eigenschaft sehen, die P-f.s. auf [mm] $\Omega$, [/mm] aber nicht auf [mm] $\overline{\Omega}$ [/mm] gilt… (sogar umgekehrt sollte das gelten…)

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                        
Bezug
Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:47 So 28/05/2017
Author: tobit09


> Da [mm]\mathcal{F}_{\overline{\Omega}} \subseteq \mathcal{F}[/mm]
> ist P insbesondere eine Abbildung  
> [mm]\mathcal{F}_{\overline{\Omega}}\to[0,1][/mm].

Eine Abbildung [mm]\mathcal{F}\to[0,1][/mm] soll gleichzeitig eine Abbildung  [mm]\mathcal{F}_{\overline{\Omega}}\to[0,1][/mm] sein, selbst wenn [mm] $\mathcal{F}_{\overline{\Omega}}$ [/mm] eine echte Teilmenge von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sein sollte???

Was verstehst du denn unter einer Abbildung, wenn sie gleichzeitig eine Abbildung mit verschiedenen Definitionsbereichen sein kann?
(Ich verstehe unter einer Abbildung [mm] $f:M\to [/mm] N$ eine linkstotale rechtseindeutige Relation [mm] $f\subseteq M\times [/mm] N$.)


> > Soll ich ein Gegenbeispiel geben? ;-)
> Ja bitte.
> Ich würde gerne eine Eigenschaft sehen, die P-f.s. auf
> [mm]\Omega[/mm], aber nicht auf [mm]\overline{\Omega}[/mm] gilt… (sogar
> umgekehrt sollte das gelten…)

Gerne:

Ein Ergebnis [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] heiße nicht-einzigartig, wenn ein [mm] $\omega'\in\Omega$ [/mm] mit [mm] $\omega'\neq\omega$ [/mm] existiert.

Nun betrachten wir [mm] $\Omega=\{1,0\}$, $\mathcal{F}:=\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] mit [mm] $P(\{\omega\}):=\omega$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$. [/mm]
Dann gilt die Nicht-Einzigartigkeit auf ganz [mm] $\Omega$, [/mm] insbesondere gilt sie $P$-fast-sicher.

Nun betrachten wir [mm] $\overline{\Omega}$ [/mm] und [mm] $\overline{P}$ [/mm] bezüglich der $P$-Nullmenge [mm] $N:=\{0\}$. [/mm]
Dann gilt die Nicht-Einzigartigkeit für kein Element von [mm] $\overline{\Omega}=\{1\}$, [/mm] insbesondere gilt sie nicht [mm] $\overline{P}$-fast-sicher. [/mm]

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Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:46 So 28/05/2017
Author: luis52

Hm, ich sehe keine *Theorie*, geschweige denn Kanonen, mit denen auf Spatzen geschossen wird. Nur einige Umformungen, mit denen ich hoffte, dass der Fragesteller dadurch ein paar Denkanstoesse bekommt.

Wie dem auch sei, was spricht gegen die folgende Argumetation? Sei [mm] $z\in\IN_0$. [/mm] Dann ist



[mm] $(X+Y=z)=\{\omega\mid\omega\in \Omega,(X+Y)(\omega)=z\}=\bigcup_{x\in\IN_0}\{\omega\mid\omega\in \Omega,X(\omega)=x\,,Y(\omega)=z-x\}=\bigcup_{x=0}^z\{\omega\mid\omega\in \Omega,X(\omega)=x\,,Y(\omega)=z-x\}$. [/mm]
                                                  
Letztere Gleichung gilt, da [mm] $\{\omega\mid\omega\in \Omega,X(\omega)=x\,,Y(\omega)=z-x\}=\emptyset$ [/mm] fuer $x>z_$. Die Summengleichung folgt, da die beteiligten Ereignisse disjunkt sind.


Bezug
                                        
Bezug
Poisson Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 18:38 So 28/05/2017
Author: tobit09

Hi luis52,


> Hm, ich sehe keine *Theorie*, geschweige denn Kanonen, mit
> denen auf Spatzen geschossen wird. Nur einige Umformungen,
> mit denen ich hoffte, dass der Fragesteller dadurch ein
> paar Denkanstoesse bekommt.

Ja, sorry.
Meinen Satz, in dem ich von Theorie gesprochen habe, habe ich nach Studium des von dir verlinkten Dokumentes wieder entfernt.


> Wie dem auch sei, was spricht gegen die folgende
> Argumetation? Sei [mm]z\in\IN_0[/mm]. Dann ist
>  
>
>
> [mm](X+Y=z)=\{\omega\mid\omega\in \Omega,(X+Y)(\omega)=z\}=\bigcup_{x\in\IN_0}\{\omega\mid\omega\in \Omega,X(\omega)=x\,,Y(\omega)=z-x\}=\bigcup_{x=0}^z\{\omega\mid\omega\in \Omega,X(\omega)=x\,,Y(\omega)=z-x\}[/mm].
>  
>                                                    
> Letztere Gleichung gilt, da [mm]\{\omega\mid\omega\in \Omega,X(\omega)=x\,,Y(\omega)=z-x\}=\emptyset[/mm]
> fuer [mm]x>z_[/mm]. Die Summengleichung folgt, da die beteiligten
> Ereignisse disjunkt sind.

Im Wesentlichen ist dies eine mit weniger Zwischenschritten notierte (und damit etwas schwerer nachzuvollziehende) Version von Gonos Argumentation, oder vertue ich mich da gerade?

Natürlich gilt mein Einwand, dass manche der Gleichungen "nur bis auf Nullmengen richtig" sind, hier analog.


Viele Grüße
Tobias

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